参数方程消参法习题

前言

认清参数，选取方法，按步骤消参，注意消参前后曲线的对应性。

典例剖析

判断参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{1+4t+t^2}{1+t^2} \\y=\cfrac{6+2t^2}{1+t^2} \end{array}\right.\) (\(t\) 为参数) 表示的曲线形状.

解答： 由题可知，\(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{1+4t+t^{2}}{1+t^{2}}=1+\cfrac{4 t}{1+t^{2}}， ①\\ y=\cfrac{6+2t^{2}}{1+t^{2}}=2+\cfrac{4}{1+t^{2}}，②\end{array}\right.\)

由 ① 得 \(x-1=\cfrac{4t}{1+t^{2}}\) ，③

由 ② 得 \(y-2=\cfrac{4}{1+t^{2}}\) ，④

\(③\div ④\)，得到 \(\cfrac{x-1}{y-2}=t\)， 代入 ④， 得到

\((x-1)^{2}+(y-4)^{2}=4\)

由 ④ 知 \(\cfrac{4}{1+t^{2}}>0\)， 所以 \(y>2\),

所以参数方程的普通方程为\((x-1)^{2}+(y-4)^{2}=4(2<y \leqslant 6)\)， 不包括点 \((1,2)\).

直线型消参

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{53}}\)复习题二\(A\)组第11题(5)】将参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{1-t}{1+t} ①\\y=\cfrac{2t}{1+t} ②\end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

法1：代入消元法， 由①得到，\(t=\cfrac{1-x}{x+1}\)，

代入②式，得到，\(y=\cfrac{2\times\frac{1-x}{x+1}}{1+\frac{1-x}{x+1}}=1-x\)，即\(x+y-1=0\)；

又由于 \(x=\cfrac{1-t}{1+t}=-1+\cfrac{2}{1+t}\)，故\(x\neq -1\)，则\(y\neq 2\)，

即参数方程化为普通方程为 \(x+y-1=0\)，\(x\neq -1\)；

故其刻画的是一条直线，其中不包括点\((-1,2)\)。

法2：加减消元法，由于\(x=\cfrac{1-t}{1+t}=\cfrac{-t-1+2}{1+t}=-1+\cfrac{2}{1+t}\)，

\(y=\cfrac{2t}{1+t}=\cfrac{2t+2-2}{1+t}=2-\cfrac{2}{1+t}\)，

故将参数方程变形为 \(\left\{\begin{array}{l}x=-1+\cfrac{2}{1+t} \\y=2-\cfrac{2}{1+t} ②\end{array}\right.\)

两式相加，得到，\(x+y=1\)，即\(x+y-1=0\)，

又由于 \(x=\cfrac{1-t}{1+t}=-1+\cfrac{2}{1+t}\)，故\(x\neq -1\)，则\(y\neq 2\)，

即参数方程化为普通方程为 \(x+y-1=0\)，\(x\neq -1\)；

故其刻画的是一条直线，其中不包括点\((-1,2)\)。

圆型消参

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{43}}\) \(B\)组第1题】求动点 \(A(\sin\theta+\cos\theta,\sin\theta-\cos\theta)\) (\(\theta\)为参数)的轨迹方程；

法1：由题目可知， \(\left\{\begin{array}{l}x=\sin\theta+\cos\theta\quad①\\y=\sin\theta-\cos\theta\quad②\end{array}\right.\)

将两式平方再相加，得到 \(x^2+y^2=2\)。

法2：反解法，由\(\left\{\begin{array}{l}x=\sin\theta+\cos\theta\quad①\\y=\sin\theta-\cos\theta\quad②\end{array}\right.\)

反解得到 \(\sin\theta=\cfrac{x+y}{2}\)，\(\cos\theta=\cfrac{x-y}{2}\)，

由 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，得到 \((\cfrac{x+y}{2})^2+(\cfrac{x-y}{2})^2=1\).

整理得到， \(x^2+y^2=2\)。

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{43}}\) \(A\)组第2题】求圆 \(\left\{\begin{array}{l}x=3\sin\varphi+4\cos\varphi,\\y=4\sin\varphi-3\cos\varphi \end{array}\right.\) (\(\varphi\) 为参数)的半径.

解析：由\(\left\{\begin{array}{l}x=3\sin\varphi+4\cos\varphi ①\\y=4\sin\varphi-3\cos\varphi ② \end{array}\right.\) ，

两式平方相加，\(①^2+②^2\)，得到

\(x^2+y^2=9\sin^2\varphi+24\sin\varphi\cos\varphi+16\cos^2\varphi+16\sin^2\varphi-24\sin\varphi\cos\varphi+9\cos^2\varphi\)

\(x^2+y^2=25\sin^2\varphi+25\cos^2\varphi=25\)，

即\(x^2+y^2=5^2\)，故半径为 \(r=5\).

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{53}}\)复习题二\(A\)组第11题(4)】将参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{1-t^2}{1+t^2} ① \\y=\cfrac{2t}{1+t^2} ② \end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析： \(①^2+②^2\)，得到 \(x^2+y^2=1\)，

又由于 \(-1<x=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\leqslant 1\)

即 \(x^2+y^2=1\)，(\(x\neq -1\))；

故曲线为圆心在 \((0,0)\)，半径为\(1\)的圆，不包括圆上的点\((-1,0)\)。

[补充说明]：本题目涉及到的参数方程其实与三角函数的万能公式相关，令 \(t=\tan\frac{\theta}{2}\)，

则 \(\sin\theta=2\sin\cfrac{\theta}{2}\cos\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{2\sin\cfrac{\theta}{2}\cos\cfrac{\theta}{2}}{\sin^2\cfrac{\theta}{2}+\cos^2\cfrac{\theta}{2}}=\cfrac{2\tan\cfrac{\theta}{2}}{1+\tan^2\cfrac{\theta}{2}}=\cfrac{2t}{1+t^2}\) ；

\(\cos\theta=\cos^2\cfrac{\theta}{2}-\sin^2\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\cos^2\cfrac{\theta}{2}-\sin^2\cfrac{\theta}{2}}{\cos^2\cfrac{\theta}{2}+\sin^2\cfrac{\theta}{2}}=\cfrac{1-\tan^2\cfrac{\theta}{2}}{1+\tan^2\cfrac{\theta}{2}}=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\)；

【2021届宝鸡市质检2文理科数学第22题改编】消参求曲线 \(C：\left\{\begin{array}{l}x=4\cos\theta+\sin\varphi,\\y=3\sin\theta+\cos\varphi\end{array}\right.\) (\(\varphi\) 为参数)的普通方程.

解析：首先移项，得到 \(\left\{\begin{array}{l}x-4\cos\theta=\sin\varphi,\\y-3\sin\theta=\cos\varphi\end{array}\right.\)，

再两边平方，相加得到，\((x-4\cos\theta)^2+(y-3\sin\theta)^2=1\)，

即普通方程为\((x-4\cos\theta)^2+(y-3\sin\theta)^2=1\)，刻画的是圆心在动点 \((4\cos\theta,3\sin\theta)\)，半径为 \(1\) 的圆；

[引申提问]圆心在什么曲线上运动？

设圆心坐标为 \((m,n)\)，则可得到圆心的参数方程如下，

由\(\left\{\begin{array}{l}m=4\cos\theta\\n=3\sin\theta\end{array}\right.\) (\(\theta\) 为参数)，

分别化为分数，得到\(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{m}{4}=\cos\theta\\\cfrac{n}{3}=\sin\theta\end{array}\right.\)

平方相加得到，\(\cfrac{m^2}{4^2}+\cfrac{n^2}{3^2}=1\)，

即动圆心在中心为 \((0,0)\)，长轴为 \(8\)，短轴为\(6\)，焦点在横轴上的椭圆上运动。

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{53}}\)复习题二\(A\)组第11题(6)】将参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{2}{1+t^2} ①\\y=\cfrac{2t}{1+t^2} ②\end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析：两式相比，得到 \(\cfrac{x}{y}=\cfrac{1}{t}\)，则 \(t=\cfrac{y}{x}\)，

代入①式，得到 \(x=\cfrac{2}{(\frac{y}{x})^2}\)，整理得到 \(x^2+y^2-2x=0\)，

又由于 \(x=\cfrac{2}{1+t^2}\)，即 \(x\neq 0\)，则 \(y\neq 0\)，

故所求的普通方程为 \(x^2+y^2-2x=0\)，且\(x\neq 0\)，

即此曲线为圆心在点 \((1,0)\) ，半径为 \(1\)的圆 ，且挖去点 \((0,0)\)。

椭圆型消参

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{53}}\)复习题二\(A\)组第11题(4)改编】将参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{1-t^2}{1+t^2} \\y=\cfrac{8t}{1+t^2} \end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析： 先将参数方程变形为 \(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{1-t^2}{1+t^2} ① \\\cfrac{y}{4}=\cfrac{2t}{1+t^2} ② \end{array}\right.\)

\(①^2+②^2\)，得到 \(x^2+\cfrac{y^2}{16}=1\)，

又由于 \(-1<x=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\leqslant 1\)

即 \(x^2+\cfrac{y^2}{16}=1\)，(\(x\neq -1\))；

故曲线为中心在 \((0,0)\)，长轴为 \(8\)，短轴为\(2\)，焦点在 \(y\) 上的椭圆，但不包括椭圆上的点\((-1,0)\)。

【北师大选修教材补充】消参求曲线 \(C：\left\{\begin{array}{l}x=2\cos\theta+3\sin\theta,\\y=2\cos\theta-3\sin\theta\end{array}\right.\) (\(\theta\) 为参数)的普通方程.

解析：将两式相加减，反解得到 \(\cos\theta=\cfrac{x+y}{4}\)， \(\sin\theta=\cfrac{x-y}{6}\)，

由 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，得到 \((\cfrac{x+y}{4})^2+(\cfrac{x-y}{6})^2=1\). [椭圆]

双曲线型消参

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{53}}\)复习题二\(A\)组第11题(1)】将参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+2t+3}①\\y=\sqrt{t^2+2t+2}② \end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析：由于 \(x=\sqrt{t^2+2t+3}=\sqrt{(t+1)^2+2}\geqslant \sqrt{2}\)，

\(y=\sqrt{t^2+2t+2}=\sqrt{(t+1)^2+1}\geqslant 1\)，

则\(①^2-②^2\)，得到 \(x^2-y^2=1\)，\(x\geqslant \sqrt{2}\)，\(y\geqslant 1\)，

故曲线的普通方程为 \(x^2-y^2=1\)，(\(x\geqslant \sqrt{2}\)，\(y\geqslant 1\))，为双曲线的一部分；

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{53}}\)复习题二\(A\)组第11题(3)】将参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=t+\cfrac{1}{t}-1\\y=t-\cfrac{1}{t}+1\end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析：将参数方程变形为 \(\left\{\begin{array}{l}x+1=t+\cfrac{1}{t} ①\\y-1=t-\cfrac{1}{t}②\end{array}\right.\)

则 \(①^2-②^2\)，得到 \((x+1)^2-(y-1)^2=4\)，

即 \(\cfrac{(x+1)^2}{4}-\cfrac{(y-1)^2}{4}=1\)，

又由于 \(x=t+\cfrac{1}{t}-1\geqslant 1\) 或 \(x=t+\cfrac{1}{t}-1\leqslant -3\)，

故曲线为中心在 \((-1,1)\)，实轴和虚轴都是\(4\)的等轴双曲线。

抛物线型消参

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{53}}\)复习题二\(A\)组第11题(2)】将参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\sin t+\cos t ①\\y=\sin t\cdot\cos t② \end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线.

解析：给①式平方，得到 \(x^2=1+2\sin t\cdot\cos t\)，

又\(y=\sin t\cdot\cos t\)，代入上式，得到，\(x^2=1+2y\)，

又\(x=\sin t+\cos t=\sqrt{2}\sin(t+\cfrac{\pi}{4})\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)，

\(y=\sin t\cdot\cos t=\cfrac{1}{2}\sin2t\in [-\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}]\)，

故普通方程为 \(x^2=1+2y\)，( \(x\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]\) )，为抛物线的一部分；

【2020 \(\cdot\) 全国Ⅲ卷改编】求曲线 \(C\) 的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x=2-t-t^{2},\\y=2-3t+t^{2}\end{array}\right.\)，(\(t\) 为参数且 \(t\neq 1\))的普通方程。

解析：由曲线 \(C\) 的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x=2-t-t^{2}①,\\y=2-3t+t^{2}②\end{array}\right.\)，(\(t\) 为参数且 \(t\neq 1\))，

①+②整理得到，\(t=1-\cfrac{x+y}{4}\)，

代入 ① 式整理得到曲线 \(C\) 的普通方程为：\((4-x-y)^2+12x-4y-16=0\)，