新题型|结构不良题
前言
选择支和解答题结合后,产生了一种新的题型——选择解答题[不妨先这样定义其名称],对不同的选择方案,其解答结果往往不太一样;后来参加培训,专家称这类题目为条件不良或结构不良试题。
结构不良题型是新课改地区新增加的题型,所谓结构不良题型就是给出一些条件,另外的条件题目中给出多个,学生可以从中选择 \(1\) 个或者 \(2\) 个作为条件,进行解题。
典例剖析
(1). 求数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式.
(2). 求数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和.
解析:[第一种选择],选择条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\),和条件②:$ b_{2} b_{4}=4$,
(1). 设 \(\{a_{n}\}\) 的公差为 \(d\), 由题意可得 \(a_{1}=1\),\((a_{1}+d)+(a_{1}+3 d)=10\),
解得 \(a_{1}=1\), \(d=2\), 则 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2n-1\), \(n\in N^{*}\).
(2). 设 \(\{b_{n}\}\) 的公比为 \(q(q>0)\), 由题意可得 \(b_{2}=1\),\(b_{4}=4\),
则 \(q^{2}=\cfrac{b_{4}}{b_{2}}=4\), 解得 \(q=2\), \(b_{1}=\cfrac{1}{2}\),
所以数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(\cfrac{\frac{1}{2}(1-2^{n})}{1-2}=2^{n-1}-\cfrac{1}{2}\).
[第二种选择]:若选择条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\),条件③: \(b_{4}=a_{5}\);
则 (1).简解得到\(a_1=1\),\(d=2\),则 \(a_n=2n-1\);
(2). 简解得到,\(b_1=\cfrac{1}{3}\),\(q=3\),则 \(S_n=\cfrac{1}{6}(3^n-1)\);
[第三种选择]:若选择条件②:\(b_{2}b_{4}=4\),条件③: \(b_{4}=a_{5}\);
则 (1). 由\(b_2=1\)以及\(b_{2}b_{4}=4\),得到\(b_4=4\) 且 \(q=2\),则\(a_5=b_4=4\),
故\(d=\cfrac{a_5-a_1}{5-1}=\cfrac{3}{4}\),则得到 \(a_n=\cfrac{3}{4}n+\cfrac{1}{4}\);
(2). 由 \(q=2\)且\(b_2=1\) ,得到\(b_1=\cfrac{1}{2}\),简解得到 \(S_n=\cfrac{1}{2}(2^n-1)\);
已知\(\triangle ABC\)的内角\(A\),\(B\),\(C\)的对边为\(a\),\(b\),\(c\),_____________,\(A=\cfrac{\pi}{3}\),\(b=\sqrt{2}\),求\(\triangle ABC\)的面积;
分析:由①\(b^2+\sqrt{2}ac=a^2+c^2\)可得,\(\cos B=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\),则\(B=\cfrac{\pi}{4}\);
由②\(a\cos B=b\sin A\)可得,\(\sin A\cos B=\sin B\sin A\),即\(\sin B=\cos B\),则\(B=\cfrac{\pi}{4}\);
由③\(\sin B+\cos B=\sqrt{2}\)可得,\(\sqrt{2}sin(B+\cfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\),即\(sin(B+\cfrac{\pi}{4})=1\),则\(B=\cfrac{\pi}{4}\);
故不论选择哪一个,通过不同的变形,都会得到条件\(B=\cfrac{\pi}{4}\),故原问题等价于:
已知\(\triangle ABC\)的内角\(A\),\(B\),\(C\)的对边为\(a\),\(b\),\(c\),\(B=\cfrac{\pi}{4}\),\(A=\cfrac{\pi}{3}\),\(b=\sqrt{2}\),求\(\triangle ABC\)的面积;
则由正弦定理\(\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}\),可得\(a=\sqrt{3}\),
故\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}ab\sin C=\cfrac{1}{2}ab\sin (A+B)\)
\(=\cfrac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}\times\sin(\cfrac{\pi}{4}+\cfrac{\pi}{3})\)
\(=\cfrac{3+\sqrt{3}}{4}\);
① \(b^{2}+c^{2}=52\); ② \(\triangle ABC\) 的面积为 \(3\sqrt{15}\), ③ \(\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-6\);
在 \(\triangle ABC\) 中,角 \(A\), \(B\), \(C\) 所对的边分别为 \(a\), \(b\), \(c\), 在方案______ 中,又已知 \(b-c=2\), \(A\) 为钝角, \(\sin A=\cfrac{\sqrt{15}}{4}\).
(1).求边 \(a\) 的长;
(2).求 \(\sin (2C-\cfrac{\pi}{6})\) 的值.
解析:方案一,选择条件①:
(1).由\(\left\{\begin{array}{l}b^2+c^2=52\\b-c=2\end{array}\right.,\) 解得\(\left\{\begin{array}{l}b=6\\c=4\end{array}\right.,\)
由于\(A\) 为钝角, 则\(\sin A=\cfrac{\sqrt{15}}{4}\), \(\cos A=-\cfrac{1}{4}\),
则 \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=36+16-2\times 6\times 4 \times(-\cfrac{1}{4})=64\);
故 \(a=8\);
(2)由余弦定理得到, \(\cos C=\cfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\cfrac{64+36-16}{2\times 8\times 6}=\cfrac{7}{8}\),
故有 \(\sin C=\sqrt{1-\cfrac{49}{64}}=\cfrac{\sqrt{15}}{8}\),
则有\(\cos 2C=2\cos^{2}C-1=\cfrac{17}{32}\), \(\sin2C=2\sin C\cos C=\cfrac{7\sqrt{15}}{32}\),
则有 \(\sin(2C-\cfrac{\pi}{6})=\sin 2C\cos\cfrac{\pi}{6}-\cos2C\sin\cfrac{\pi}{6}\)
\(=\cfrac{7\sqrt{15}}{32}\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{17}{32}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{21\sqrt{5}-17}{64}\);
方案二,选择条件②:
(1). 由 \(\sin A=\cfrac{\sqrt{15}}{4}\), \(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}bc\sin A=\cfrac{\sqrt{15}}{8}bc=3\sqrt{15}\),
解得,\(bc=24\),
由\(\left\{\begin{array}{l}b^2+c^2=52\\b-c=2\end{array}\right.,\) 解得\(\left\{\begin{array}{l}b=6\\c=4\end{array}\right.,\)
由于\(A\) 为钝角, \(\sin A=\cfrac{\sqrt{15}}{4}\), 则\(\cos A=-\cfrac{1}{4}\),
则 \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=36+16-2\times 6\times 4 \times(-\cfrac{1}{4})=64\);
故 \(a=8\);
(2)由余弦定理得到, \(\cos C=\cfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\cfrac{64+36-16}{2\times 8\times 6}=\cfrac{7}{8}\),
故有 \(\sin C=\sqrt{1-\cfrac{49}{64}}=\cfrac{\sqrt{15}}{8}\),
则有\(\cos 2C=2\cos^{2}C-1=\cfrac{17}{32}\), \(\sin2C=2\sin C\cos C=\cfrac{7\sqrt{15}}{32}\),
则有 \(\sin(2C-\cfrac{\pi}{6})=\sin 2C\cos\cfrac{\pi}{6}-\cos2C\sin\cfrac{\pi}{6}\)
\(=\cfrac{7\sqrt{15}}{32}\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{17}{32}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{21\sqrt{5}-17}{64}\);
方案三,选择条件③:
(1). 由于\(A\) 为钝角, \(\sin A=\cfrac{\sqrt{15}}{4}\), 则\(\cos A=-\cfrac{1}{4}\),
\(\overrightarrow{AB^{2}}\)\(+\)\(\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{BC}\)\(=\)\(\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\((\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(\overrightarrow{BC})\)\(=\)\(\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AC}\)\(=\)\(bc\cos A=-6\),
解得,\(bc=24\),
由\(\left\{\begin{array}{l}b^2+c^2=52\\b-c=2\end{array}\right.,\) 解得\(\left\{\begin{array}{l}b=6\\c=4\end{array}\right.,\)
由于\(A\) 为钝角, \(\sin A=\cfrac{\sqrt{15}}{4}\), 则\(\cos A=-\cfrac{1}{4}\),
则 \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=36+16-2\times 6\times 4 \times(-\cfrac{1}{4})=64\);
故 \(a=8\);
(2)由余弦定理得到, \(\cos C=\cfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\cfrac{64+36-16}{2\times 8\times 6}=\cfrac{7}{8}\),
故有 \(\sin C=\sqrt{1-\cfrac{49}{64}}=\cfrac{\sqrt{15}}{8}\),
则有\(\cos 2C=2\cos^{2}C-1=\cfrac{17}{32}\), \(\sin2C=2\sin C\cos C=\cfrac{7\sqrt{15}}{32}\),
则有 \(\sin(2C-\cfrac{\pi}{6})=\sin 2C\cos\cfrac{\pi}{6}-\cos2C\sin\cfrac{\pi}{6}\)
\(=\cfrac{7\sqrt{15}}{32}\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{17}{32}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{21\sqrt{5}-17}{64}\);
在数列 \(\{a_{n}\}\) 中, \(a_{1}=1\) ,_____________, 其中 \(n \in N^{*}\),
(1)求 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式;
(2)若 \(a_{1}\), \(a_{n}\), \(a_{m}\) 成等比数列,其中 \(m\), \(n\in N^{*}\), 且 \(m>n>1\),求 \(m\) 的最小值.
解析:当选择①时,
(1).当 \(n=1\) 时, 由 \(S_{1}=a_{1}=1\), 得 \(p=0\),
当 \(n \geqslant 2\) 时,由题意得 \(S_{n-1}=(n-1)^{2}\), 则\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2n-1(n\geqslant 2)\),
经检验, \(a_{1}=1\) 符合上式, 故 \(a_{n}=2 n-1(n \in N^{*})\).
(2). 由 \(a_{1}\), \(a_{n}\), \(a_{m}\) 成等比数列,得 \(a_{n}^{2}=a_{1}\cdot a_{m}\) ,
即 \((2n-1)^{2}=1\times(2m-1)\),化简得 \(m=2 n^{2}-2 n+1=2(n-\cfrac{1}{2})^{2}+\cfrac{1}{2}\),
由于\(m, n\) 是大于 \(1\) 的正整数,且 \(m>n\),
所以 当 \(n=2\) 时, \(m\) 有最小值为 \(5\).
当选择②时:
(1). 由\(a_{n}=a_{n+1}-3\), 则\(a_{n+1}-a_{n}=3\),
故数列 \(\{a_{n}\}\) 是公差 \(d=3\) 的等差数列.
所以 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=3n-2\) \((n\in N^{*})\)
(2). 由 \(a_{1}\), \(a_{n}\), \(a_{m}\) 成等比数列,得 \(a_{n}^{2}=a_{1}\cdot a_{m}\),
即 \((3n-2)^{2}=1\times(3m-2)\),化简得, \(m=3n^{2}-4n+2=3(n-\cfrac{2}{3})^{2}+\cfrac{2}{3}\),
由于\(m, n\) 是大于 \(1\) 的正整数,且 \(m>n\),
所以 当 \(n=2\) 时, \(m\) 有最小值为 \(6\).
当选择③时:
(1). 由 \(2a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}\), 得 \(a_{n+1}-a_{n}=a_{n+2}-a_{n+1}\),
故 数列 \(\{a_{n}\}\) 是等差数列, 又 \(a_{1}=1\), \(a_{6}=a_{1}+5d=11\),
故\(d=2\),则 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2n-1 (n\in N^{*})\),
(2). 由 \(a_{1}\), \(a_{n}\), \(a_{m}\) 成等比数列,得 \(a_{n}^{2}=a_{1}\cdot a_{m}\),
即 \((2n-1)^{2}=1\times(2m-1)\),化简得 \(m=2n^{2}-2n+1=2(n-\cfrac{1}{2})^{2}+\cfrac{1}{2}\),
由于\(m, n\) 是大于 \(1\) 的正整数,且 \(m>n\),
所以 当 \(n=2\) 时, \(m\) 有最小值为 \(5\).
解析:由于 \(a\sin C=\sqrt{3} c \cdot \cos A\), 故\(\sin A \sin C=\sqrt{3} \sin C \cos A\),
又 \(\sin C \neq 0\), \(\sin A=\sqrt{3} \cos A\), 即 \(\tan A=\sqrt{3}\),
又由于 \(A \in(0, \pi)\), 则 \(A=\cfrac{\pi}{3}\),
若选 ① ,由于\(\cos B=-\cfrac{3}{5}<-\cfrac{1}{2}\), \(B\in(\cfrac{2\pi}{3}, \pi)\), 则 \(A+B+C>\pi\),三角形不存在;
因此, 只能选择 ② 和 ③,此时, \(\cos A=\cfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\cfrac{(b+c)^{2}-2bc-a^{2}}{2bc}\),
所以 \(\cfrac{1}{2}=\cfrac{6-2bc}{2bc}\), \(bc=2\),
与 \(b+c=2\sqrt{3}\) 联立, 解得 \(b=\sqrt{3}+1\), \(c=\sqrt{3}-1\);或 \(b=\sqrt{3}-1\), \(c=\sqrt{3}+1\),
所以符合条件的 \(\triangle ABC\) 存在,且 \(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}bc\sin A=\cfrac{1}{2}\times 2\times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\) 。
〔解后反思〕:常见的这类题目,往往是任意三选二,都有结果;但是题目难度一旦加大后,就可能出现选择某个选择支会出现矛盾,这时候就需要我们仔细分析,认真判断。如本题,若选择 ① ,则三角形是不存在的。