勾股定理相关及引申

前言

勾股定理：\(3^2+4^2=5^2\)，

中高阶：\(3^n+4^n[<? =? >?]5^n\)，\(n\geqslant 3\)

典例剖析

【2021届宝鸡市一检文科数学第12题】 直线 \(y=ax+c\) 与曲线 \(y=e^{x}\) 相切于点 \((x_{0}, e^{x_{0}})\) ，且 \(x_{0}\in[0,1]\)，设 \(b=\log _{5}(3^{a}+4^{a})\)， 则 \(a\) 与 \(b\) 的大小关系是 【\(\quad\)】

$A.a=b$ $B.a > b$ $C.a < b$ $D.以上均有可能$

解析：由直线 \(y=ax+c\) 与曲线 \(y=e^{x}\) 相切于点 \((x_{0}, e^{x_{0}})\)可知 ，则切线斜率为 \(k=a\) 且 \(k=e^{x_0}\)，

则\(a=e^{x_0}\)，又由于\(x_{0}\in[0,1]\)，故\(a\in [1,e]\)，问题转换为：

当 \(a\in [1,e]\) 时，比较 \(b=\log _{5}(3^{a}+4^{a})\) 与 \(a\)的大小关系；

注意到 \(b\) 为对数式，故想到将 \(a\) 对数化为 \(a=log_55^a\)，

比较\(b=\log _{5}(3^{a}+4^{a})\) 与 \(a=log_55^a\) 的大小，这样只需要比较 \(3^a+4^a\) 与 \(5^a\) 的大小关系，

注意到，\(3^2+4^2=5^2\)，我们想到需要针对 \(a\) 分类讨论，可以使用验证法；

当\(a=1\)时，\(3^1+4^1>5^1\)，故\(b>a\)；

当\(a=2\)时，\(3^2+4^2=5^2\)，故\(b=a\)；

当\(a=\cfrac{5}{2}\)时，\(3^{\frac{5}{2}}+4^{\frac{5}{2}}\approx48.2\)，\(5^{\frac{5}{2}}=25\sqrt{5}\approx57.5\)，故\(b<a\)；

故选\(D\)；

补充：①\(7\leqslant 3^a+4^a\leqslant 3^e+4^e\)，\(5\leqslant 5^a\leqslant 5^e\)； 其中 \(1\leq a\leq e\)；

②\(\cfrac{3^a+4^a}{5^a}=(\cfrac{3}{5})^a+(\cfrac{4}{5})^a\)； \(\cos\theta\)，\(\sin\theta\)；

③证明，若\(n\geqslant 3，n\in N^*\)，则\(3^n+4^n<5^n\)；

证明：由于\(n\geqslant 3，n\in N^*\)，

故\((\cfrac{3}{5})^n<(\cfrac{3}{5})^2\)，\((\cfrac{4}{5})^n<(\cfrac{4}{5})^2\)，

\((\cfrac{3}{5})^n+(\cfrac{4}{5})^n<(\cfrac{3}{5})^2+(\cfrac{4}{5})^2=1\)，

故\(3^n+4^n<5^n\)；

【2020\(\cdot\)河北正定模拟】已知 \(a\)、 \(b\)、 \(c\) 是 \(\triangle ABC\) 的内角 \(A\)、 \(B\)、 \(C\) 对应的三边，若满足 \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)， 即 \((\cfrac{a}{c})^{2}+(\cfrac{b}{c})^{2}=1\)， 则 \(\triangle ABC\) 为直角三角形， 类比此结论可知，若满足 \(a^{n}+b^{n}=c^{n}\) \((n\in N^*, n\geqslant3)\)， 则 \(\triangle ABC\) 的形状为 【\(\quad\)】

$A.$锐角三角形

$B.$直角三角形

$C.$钝角三角形

$D.$以上都有可能

解析 : 由题意知角 \(C\) 最大， \(a^{n}+b^{n}=c^{n}\) \((n \in N^*， n\geqslant3)\)，

即 \((\cfrac{a}{c})^{n}+(\cfrac{b}{c})^{n}=1\) \((n \in N^*， n\geqslant3)\)，

又 \(c>a\)， \(c>b\)，故 \(0<\cfrac{a}{c}<1\)， \(0<\cfrac{b}{c}<1\)，

则有 \((\cfrac{a}{c})^2>(\cfrac{a}{c})^3>(\cfrac{a}{c})^4>(\cfrac{a}{c})^5>\cdots\)， \((\cfrac{b}{c})^2>(\cfrac{b}{c})^3>(\cfrac{b}{c})^4>(\cfrac{b}{c})^5>\cdots\)，

所以 \((\cfrac{a}{c})^{2}+(\cfrac{b}{c})^{2}>(\cfrac{a}{c})^{n}+(\cfrac{b}{c})^{n}=1\)，

即 \(a^{2}+b^{2}>c^{2}\)， 所以 \(\cos C=\cfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)\(>0\)，

所以 \(0<C<\cfrac{\pi}{2}\)， 故 \(\triangle ABC\) 为锐角三角形.

【2021届宝鸡市一检理科数学第12题】 设 \(1<a<2\)， \(m=\log _{4}(2^{a}+3^{a})\)， \(n=\log _{5}(3^{m}+4^{m})\)， 则 【\(\quad\)】

$A.n=2$ $B.n >2$ $C.n <2$ $D.以上均有可能$

法1： 不等式性质法，因为 \(1<a<2\)， 所以 \(5<2^{a}+3^{a}<13\)，

所以 \(1<\log_{4}5<m<\log_{4}13<2\)，

所以 \(1<m<2\)， 所以 \(7<3^{m}+4^{m}<25\)，

所以 \(1<\log _{5}7<n<\log _{5}25=2\)

所以 \(n<2\)， 故选 \(C\) .

法2：估值计算法，

令\(a=\cfrac{3}{2}\)，\(2^{\frac{3}{2}}+3^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}=\sqrt{50}=7\)

\(m=log_47\approx log_48=\cfrac{3}{2}log_22=\cfrac{3}{2}\)；

当\(m=\cfrac{3}{2}\)时，\(3^{\frac{3}{2}}+4^{\frac{3}{2}}\approx 13.2\)，

\(n=\log _{5}(3^{m}+4^{m})=\log_513.2<\log_5 25=2\)，故\(n<2\)，故选 \(C\) ；