2020年全国卷Ⅱ卷理科数学解答题解析版
2020年全国卷Ⅱ卷理科数学解答题解析版
解答题
\(\sum\limits_{i=1}^{20}x_{i}=60\)，\(\sum\limits_{i=1}^{20}y_{i}=1200\)，\(\sum\limits_{i=1}^{20}(x_{i}-\bar{x})^{2}=80\)，\(\sum\limits_{i=1}^{20}(y_{i}-\bar{y})^{2}=9000\)，\(\sum\limits_{i=1}^{20}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=800\)；
(1).求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
分析：样区野生动物平均数为\(\cfrac{1}{20}\sum\limits_{i=1}^{20} y_{i}=\cfrac{1}{20}\times 1200=60\)；
又由于地块数为\(200\)，故该地区这种野生动物的估计值为\(200\times 60=12000\)；
(2).求样本\((x_{i}, y_{i})\)\((i=1,2, \ldots, 20)\)的相关系数(精确到\(0.01)\)；
分析：样本\((x_{i}, y_{i})(i=1,2, \ldots, 20)\)的相关系数为
\(r=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum\limits_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\)\(=\cfrac{800}{\sqrt{80 \times 9000}}=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0.94\)；
(3).根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
理由.
分析：由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
附: 相关系数 \(r=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum\limits_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\), \(\sqrt{2}\approx 1.414\)
(1).求\(C_1\)的离心率；
解：由于椭圆\(C_1\)的右焦点坐标为\(F(c，0)\)，所以抛物线\(C_2\)的方程为\(y^2=4cx\)，其中\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)；
不妨设\(A\)，\(C\)在第一象限，因为椭圆\(C_{1}\) 的方程为 \(\cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\)
所以当 \(x=c\) 时，有\(\cfrac{c^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\) \(\Rightarrow y=\pm \cfrac{b^{2}}{a}\)，
因此\(A\)，\(B\)的纵坐标分别为\(\cfrac{b^{2}}{a}\),\(-\cfrac{b^{2}}{a}\)；
又因为抛物线 \(C_{2}\) 的方程为\(y^{2}=4cx\)，所以当 \(x=c\) 时，有\(y^{2}=4c\cdot c\) \(\Rightarrow y=\pm 2c\)
所以\(C\)，\(D\) 的纵坐标分别为\(2c\)，\(-2c\)，故\(|AB|=\cfrac{2 b^{2}}{a}\)，\(|CD|=4c\)
由\(|CD|=\cfrac{4}{3}|AB|\) 得\(4c=\cfrac{8b^{2}}{3a}\)，两边同乘以\(\frac{3}{4}\)，再同除以\(a\)此时我们需要的是\(a\)与\(c\)的比值关系，故想着必须消去\(b\)，这样的运算能快些。
得到\(3\cdot\cfrac{c}{a}=\cfrac{2b^2}{a^2}=\cfrac{2(a^2-c^2)}{a^2}=2-2(\cfrac{c}{a})^{2}\)
即\(3\cdot\cfrac{c}{a}=2-2(\cfrac{c}{a})^{2}\)，接下来求解以\(\cfrac{c}{a}\)为元的方程即可；
解得\(\cfrac{c}{a}=-2\)(舍去)，\(\cfrac{c}{a}=\cfrac{1}{2}\)，注意椭圆的离心率的范围\(e=\cfrac{c}{a}\in(0,1)\)，圆的\(e=0\)，抛物线的\(e=1\)，双曲线的\(e\in (1,+\infty)\)
故\(C_1\)的离心率为\(\cfrac{c}{a}=\cfrac{1}{2}\)；
(2).
(1).证明：\(AA_1//MN\)，且平面\(A_1AMN\) \(\perp\)平面\(EB_1C_1F\)；
分析：由 \(M\)，\(N\) 分别为 \(BCB_{1}C_{1}\) 的中点， \(MN//BB_{1}\)， 根据条件可得 \(AA_{1}//BB_{1}\)，
可证\(MN//AA_{1}\)，要证平面 \(EB_{1}C_{1}F\perp\) 平面 \(A_{1}AMN\)， 只需证明 \(EF\perp\) 平面 \(A_{1}AMN\) 即可；
证明： 由于\(M\)，\(N\) 分别为 \(BC\)，\(B_{1}C_{1}\) 的中点，故\(MN//BB_{1}\)，
又由于\(AA_1//BB_{1}\)，所以\(MN//AA_{1}\)；
在等边\(\triangle ABC\)中，由于\(M\) 为 \(BC\) 中点，则\(BC\perp AM\)，
又由于侧面 \(BB_{1}C_{1}C\) 为矩形， 则有\(BC\perp BB_{1}\)，
又 \(MN//BB_{1}\)，\(MN\perp BC\)，\(MN\cap AM=M\)， \(MN\)，\(AM\subsetneqq\) 平面 \(A_{1}AMN\)，
所以\(BC\perp\)平面 \(A_{1}AMN\)；
又由于\(B_{1}C_{1}//BC\)，且 \(B_{1}C_{1}\not\subset\)平面 \(ABC\)，\(BC\subsetneqq\) 平面 \(ABC\)，
所以\(B_{1}C_{1}//\)平面 \(ABC\)，
又由于\(B_{1}C_{1}\subsetneqq\) 平面 \(EB_{1}C_{1}F\)，且平面 \(EB_{1}C_{1}F\cap\) 平面\(ABC=EF\)，
所以\(B_{1}C_{1}//EF\)，则有\(\quad EF//BC\)，
由于\(BC\perp\)平面 \(A_{1}AMN\)，则\(EF\perp\)平面 \(A_{1}AMN\)，
由于\(EF\subsetneqq\) 平面 \(EB_{1}C_{1}F\)， 故平面 \(EB_{1}C_{1}F\perp\) 平面\(A_{1}AMN\).
(2).
(1). 讨论 \(f(x)\) 在区间 \((0, \pi)\) 的单调性；
解： \(f'(x)=(\sin^2x)'\cdot\sin2x+\sin^2x\cdot(\sin2x)'\)
\(=(2\sin x\cdot\cos x)\cdot(\sin 2 x)+\sin^2x(\cos2x\cdot 2)\) \(\quad\)注释注意，此处是复合函数的求导，\((\sin^2x)'\)\(=\)\(2\)\(\sin x\)\(\cdot\)\(\cos x\)，\((\sin2x)'=2\cos2x\)；\(\quad\).
\(=2\sin x\cos x\sin2x+2\sin^{2}x\cos2x\)
\(=2\sin x(\sin2x\cdot\cos x+\cos2x\cdot\sin x)\)
\(=2\sin x\cdot\sin 3x\)
将函数\(y=\sin x\)和\(y=\sin 3x\) 的图像做在同一个坐标系中，如图所示，只研究\(x\in (0,\pi)\)段上即可；
当 \(x \in\left(0, \cfrac{\pi}{3}\right) \cup\left(\cfrac{2 \pi}{3}, \pi\right)\) 时, \(f^{\prime}(x)>0 ;\) 当 \(x \in\left(\cfrac{\pi}{3}, \cfrac{2 \pi}{3}\right)\) 时, \(f^{\prime}(x)<0\).
所以 \(f(x)\) 在区间 \(\left(0, \cfrac{\pi}{3}\right)\)，\(\left(\cfrac{2 \pi}{3}, \pi\right)\)上单调递增，
在区间 \(\left(\cfrac{\pi}{3}, \cfrac{2 \pi}{3}\right)\) 单调递减.
(2). 证明: \(|f(x)| \leqslant \cfrac{3 \sqrt{3}}{8}\).
证明：由 (1) 可知其单调性， 则 \(f(x)\) 在区间 \((0, \pi)\)上的极值情况为
极大值为 \(f\left(\cfrac{\pi}{3}\right)=\cfrac{3\sqrt{3}}{8}\)，极小值为 \(f\left(\cfrac{2\pi}{3}\right)=-\cfrac{3\sqrt{3}}{8}\)，
又由于区间端点值 \(f(0)=f(\pi)=0\)，故\(f(x)\) 在区间 \([0, \pi]\)上的最值情况为
最大值为 \(f\left(\cfrac{\pi}{3}\right)=\cfrac{3\sqrt{3}}{8}\)，最小值为 \(f\left(\cfrac{2\pi}{3}\right)=-\cfrac{3\sqrt{3}}{8}\)，
且 函数 \(y=\sin^2x=\cfrac{1-\cos2x}{2}\) 的 \(T=\pi\)， \(y=\sin2x\)的 \(T=\pi\)，
故猜想函数 \(f(x)=\sin^2x\cdot\sin 2x\)的周期为\(\pi\)，
验证：\(f(x+\pi)=\sin^2(x+\pi)\cdot\sin2(x+\pi)=(-\sin x)^2\cdot(\sin 2x)=f(x)\)，故\(T=\pi\)；
结合\(f(x)\) 是周期为 \(\pi\) 的周期函数，故 \(|f(x)|\leqslant \cfrac{3 \sqrt{3}}{8}\)。
(3). 设 \(n\in N^{*}\)， 证明: \(\sin^{2}x\sin^{2}2x\sin^{2}4x\cdots\sin^{2}2^{n}x\leqslant \cfrac{3^{n}}{4^{n}}\).
证明： \(\left(\sin^{2}x\sin^{2}2x\sin^{2}4x\cdots\sin^{2}2^{n}x\right)^{\frac{3}{2}}\)此处为什么要施加\(\frac{3}{2}\)次方，是为了得到结果的三次方，进一步的目的是为了能拆分为，比如这样的形式，\(\sin^3x=\sin x\cdot \sin^2x\)，\(\sin^32x=\sin 2x\cdot \sin^22x\)，以便于使用上一步的结论，\(|f(2x)|\)\(\leqslant\)\(\frac{3\sqrt{3}}{8}\)，其中在高中数学学业质量评价中对水平三[大学自主招生层次]的要求有这样一句话，能在现有命题的基础上得到新的命题；\(\quad\).
\(=\left|\sin^{3}x\sin^{3}2x\cdots\sin^{3}2^{n}x\right|\)
\(=|\sin x|\cdot|\sin^{2}x\sin^{3}2x\cdots\sin^{3}2^{n-1}\sin2^{n}x|\cdot|\sin^{2}2^{n}x|\)
\(=|\sin x|\cdot|(\sin^{2}x\cdot\sin2x)(\sin^{2}2x\cdot\sin 2^2x)(\sin^22^2x\cdots)\cdots(\sin^{2}2^{n-1}\sin2^{n}x)|\cdot|\sin^{2}2^{n}x|\)
\(=|\sin x|\cdot\left|f(x)\cdot f(2x) \cdots f\left(2^{n-1}x\right)\right|\cdot\left|\sin^{2}2^{n}x\right|\)
\(\leqslant\left|f(x)\cdot f(2x) \cdots f\left(2^{n-1}x\right)\right|\)
\(=|f(x)|\cdot|f(2x)|\cdot|f(2^2x)|\cdots \cdot|f(2^{n-1}x)|\leqslant(\cfrac{3\sqrt{3}}{8})^n\)，
即\(\left(\sin^{2}x\sin^{2}2x\sin^{2}4x\cdots\sin^{2}2^{n}x\right)^{\frac{3}{2}}\leqslant(\cfrac{3\sqrt{3}}{8})^n\)，
两边同时施行\(\cfrac{2}{3}\)次方，得到
则 \(\sin^{2}x\sin^{2}2x\cdots\sin^22^{n}x\leqslant\left(\cfrac{3\sqrt{3}}{8}\right)^{\frac{2n}{3}}=(\cfrac{3^{\frac{3}{2}}}{2^3})^{\frac{2n}{3}}=\cfrac{3^{n}}{4^{n}}\).
选做题
(1).将\(C_{1}\)，\(C_{2}\)的参数方程化为普通方程；
分析：\(C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=4\cos^{2}\theta\\y=4\sin ^{2} \theta\end{array}\right.\) (\(\theta\)为参数)，两式相加，即可消去参数；
即得到方程为\(x+y=4\)，又由于\(\cos^2\theta\in [0,1]\)，故\(x=4\cos^2\theta\in [0,4]\)此处实际涉及到求函数的值域，这样才能保证新元和旧元的取值范围的一致性\(\quad\)，
故\(C_1\)的普通方程为\(x+y=4\)；\((0\leqslant x\leqslant 4)\)此处也可以通过限制\(0\)\(\leqslant\)\(y\)\(\leqslant\)\(4\)来将直线变化为线段，但是由于\(x\)值和\(y\)值的一一对应性，故只需要限制一个变量即可；\(\quad\)；
对于曲线\(C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}①\\y=t-\frac{1}{t}②\end{array}\right.\) (\(t\)为参数)，注意消参技巧；
①的平方得到\(x^2=t^2+\cfrac{1}{t^2}+2\)；②的平方得到\(y^2=t^2+\cfrac{1}{t^2}-2\)；提示其实\(x\)\(=\)\(t\)\(+\)\(\cfrac{1}{t}\)，就是对勾函数，\(y\)\(=\)\(t\)\(-\)\(\cfrac{1}{t}\)就是仿对勾函数
两式相减，得到\(x^2-y^2=4\)；此时该如何限制？又由于\(x\)\(=\)\(t\)\(+\)\(\cfrac{1}{t}\)，即\(|x|\)\(=\)\(|t\)\(+\)\(\cfrac{1}{t}|\)\(=\)\(|t|\)\(+\)\(|\cfrac{1}{t}|\)\(\geqslant2\)，\(y\)\(=\)\(t\)\(-\)\(\frac{1}{t}\)\(\in\) \(R\)；和双曲线的\(x\)和\(y\)取值一致，故不需要特别限制；
故所求的\(C_2\)的普通方程为\(x^2-y^2=4\)；
(2).以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，设\(C_{1}\)，\(C_{2}\)的交点为\(P\)，求圆心在极轴上，且经过极点和\(P\)的圆的极坐标方程.
分析：由\(\left\{\begin{array}{l}{x+y=4①}\\{x^2-y^2=4②}\end{array}\right.\)，将\(y=x-4\)代入②式，得到\(\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.\)，
故点\(P(\cfrac{5}{2},\cfrac{3}{2})\)，由图可知，圆心在极轴上，设圆心为\((x_0,0)\)，则\(r=x_0\)，
则圆的方程为\((x-x_0)^2+y^2=x_0^2\)，由于点\(P(\cfrac{5}{2},\cfrac{3}{2})\)在圆上，
则\((\cfrac{5}{2}-x_0)^2+(\cfrac{3}{2})^2=x_0^2\)，解得\(x_0=\cfrac{17}{10}\)；
故圆的极坐标方程为\(\rho=\cfrac{17}{5}\cos\theta\)利用圆心为\((a,0)\)的圆的极坐标方程为\(\rho=2a\cos\theta\)得到结论；；
或者由\((x-\cfrac{17}{10})^2+y^2=(\cfrac{17}{10})^2\)，得到\(x^2-2\times\cfrac{17}{10}x+(\cfrac{17}{10})^2+y^2=(\cfrac{17}{10})^2\)，
即\(x^2+y^2-\cfrac{17}{5}x=0\)，即\(\rho^2-\cfrac{17}{5}\rho\cdot\cos\theta=0\)，转化为极坐标方程为\(\rho=\cfrac{17}{5}\cos\theta\)，
(1).当 \(a=2\) 时，求不等式 \(f(x)\geqslant 4\) 的解集；
分析： 当\(a=2\) 时，\(f(x)=|x-4|+|x-3|=\left\{\begin{array}{l}{7-2x，x\leqslant 3}\\{1，3<x\leqslant 4}\\{2x-7，x>4}\end{array}\right.\)
当 \(x \leqslant 3\) 时，\(f(x)=4-x+3-x=7-2x \geq 4\)， 解得\(: x \leqslant \cfrac{3}{2}\)；
当 \(3<x\leqslant 4\) 时， $ f(x)=4-x+x-3=1 \geq 4$，无解；
当 \(x > 4\) 时， \(f(x)=x-4+x-3=2x-7 \geq 4\)，解得 \(: x \geq \cfrac{11}{2}\)；
综上所述 \(: f(x) \geq 4\) 的解集为 \(\{x \mid x \leq \cfrac{3}{2}\) 或 \(x \geq \cfrac{11}{2}\}\)
(2).若 \(f(x) \geqslant 4\)，求 \(a\) 的取值范围；
分析：\(f(x)=|x-a^{2}|+|x-2a+1| \geq |(x-a^{2})-(x-2a+1)|=|-a^{2}+2a-1|=(a-1)^{2}\)
故由\((a-1)^{2} \geqslant 4\)，解得 $ a \leqslant -1$ 或 \(a \geqslant 3\)
当\(-1<a<3\)时，\(f(a^2)=|a^2-2a+1|=(a-1)^2<4\)；
所以\(a\) 的取值范围为 \((-\infty,-1]\cup [3,+\infty)\)；
