射影定理

公式定理💯随心记

【柯西不等式】文字语言：向量形式的不等式关系。符号语言：$(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\geqslant (\sum a_ib_i)^2$；向量形式：$(\vec {a}\cdot\vec {b})^2\leqslant|\vec {a}|^2\cdot|\vec {b}|^2$

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前言

在初中和高中阶段，我们接触和使用的射影定理有以下两种形式。

射影定理 1

直角三角形射影定理，又叫欧几里德 (Euclid) 定理，其内容：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

符号语言：如图，$Rt\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90°$，$AD$ 是斜边 $BC$ 上的高，则有射影定理如下：

$$➊AD^2=BD\cdot DC$$

$$➋AB^2=BD\cdot BC$$

$$➌AC^2=CD\cdot BC$$

证明：这主要是由相似三角形来推出的，

例如，证明 $AD^2=BD\cdot DC$，

在 $\triangle BAD$ 与 $\triangle ACD$ 中，$∠B=∠DAC$，$∠BDA=∠ADC=90°$，

故 $\triangle BAD\sim\triangle ACD$，所以 $\cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}$，

所以得到，$AD^2=BD\cdot DC$. 其余仿此证明；

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

比如由公式➋+➌得到，

$AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2$，

即 $AB^2+AC^2=BC^2$，这就是勾股定理的结论。

射影定理 2

任意三角形射影定理注释：以 “$a$$＝$$b\cdot\cos C$$＋$$c\cdot\cos B$” 为例，$b$、$c$ 在 $a$ 上的射影分别为 $b\cdot\cos C$、$c\cdot\cos B$，故名射影定理。，又称 “第一余弦定理”，其内容为：三角形的任意一边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。

符号语言：设 $\triangle ABC$ 的三边是 $a$、$b$、$c$，它们所对的角分别是 $A$、$B$、$C$，则有：

$➊a＝b\cdot\cos C$$+$$c\cdot\cos B$

$➋b＝c\cdot\cos A$$+$$a\cdot\cos C$

$➌c＝a\cdot\cos B$$+$$b\cdot\cos A$

[证法 1]：设点 $C$ 在直线 $AB$ 上的射影为点 $D$，

则 $AC$、$BC$ 在直线 $AB$ 上的射影分别为 $AD$、$BD$，

且 $AD=b\cdot\cos A$，$BD=a\cdot\cos B$，

故 $c=AD+BD=b\cdot\cos a+a\cdot\cos B$. 同理可证其余。

[证法 2]：由正弦定理，可得：$b=\cfrac{a\sin B}{\sin A}$，$c=\cfrac{a\sin C}{\sin A}$

即 $c=\cfrac{a\sin(A+B)}{\sin A}=\cfrac{a(\sin A\cos B+\cos A\sin B)}{\sin A}$

$=a\cos B+(\cfrac{a\sin B}{\sin A})\cos A=a\cdot\cos B+b\cdot\cos A$. 同理可证其余。

[证法 3]：以向量三角形为案例，

给 $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，两边同乘以向量 $\overrightarrow{CB}$，

得到 $\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{CB}$，

即 $\overrightarrow{CB}^2=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$

即 $\overrightarrow{CB}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}>-|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}>$

即 $\overrightarrow{CB}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos B-|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos(\pi-C)$

即 $a^2=c\cdot a\cdot\cos B+b\cdot a\cdot\cos C$，两边约去 $a$，

得到 $a=c\cdot\cos B+b\cdot\cos C$，即得到射影定理，也称第一余弦定理。

使用场景

引例，如解三角形题目中出现这样的条件： $\cfrac{\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C}{c}=\cfrac{\sin A\sin B}{a\cos B+b\cos A}$，

分析：则我们由射影定理 2，将 $a\cdot\cos B+b\cdot\cos A=c$，代入上式，

即 $\cfrac{\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C}{c}=\cfrac{\sin A\sin B}{c}$，

则得到 $a^2+b^2-c^2=ab$ ，即已知条件等于告诉我们： $a^2+b^2-c^2=ab$ ，那么接下来的思路自然就通畅无阻了.

典例剖析

在 $\triangle ABC$ 中， 内角 $A$， $B$， $C$ 的对边分别是 $a$， $b$，$c$ 若 $a\cos B-b\cos A=\cfrac{c}{2}$，则表达式 $\cfrac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}$ 的最小值为____________.

解析：在 $\triangle ABC$ 中，$c=a \cos B+b \cos A$，[射影定理]

联立 $\left\{\begin{array}{l}c=a\cos B+b\cos A \\ a\cos B-b\cos A=\cfrac{c}{2}\end{array}\right.，$ 解得 $\cos A=\cfrac{c}{4b}$，$\cos B=\cfrac{3c}{4a}$，

所以 $\cfrac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}=\cfrac{a\cdot\cfrac{c}{4b}+b\cdot\cfrac{3c}{4a}}{a\cdot\cfrac{3c}{4a}}$

$=\cfrac{1}{3}(\cfrac{a}{b}+\cfrac{3 b}{a})\geq\cfrac{1}{3}\times 2\sqrt{\cfrac{a}{b}\cdot\cfrac{3b}{a}}$

$=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}$

当且仅当 $\cfrac{a}{b}=\cfrac{3 b}{a}$ 时，等号成立.

故 $\cfrac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}$ 的最小值为 $=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}$；

【2022 高三月考试题】两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上， 若球的体积为 $\cfrac{32\pi}{3}$，两个圆锥的高之比为 $1:3$，则这两个圆锥的体积之和为【$\qquad$】

$A.3\pi$ $B.4\pi$ $C.9\pi$ $D.12\pi$

【解答】解：如图，设球 $O$ 的半径为 $R$， 由题意， $\cfrac{4}{3} \pi R^{3}=\cfrac{32 \pi}{3}$，

可得 $R=2$， 则球 $O$ 的直径为 $4$， 两个圆锥的高之比为 $1:3$， $AO_{1}=1$， $B O_{1}=3$，

由直角三角形中的射影定理可得: $r^{2}=1\times 3$， 即 $r=\sqrt{3}$.

所以这两个圆锥的体积之和为 $V=\cfrac{1}{3} \pi \times(\sqrt{3})^{2} \times(1+3)=4 \pi$， 故选: $B$.

【2022 高三数学三轮模拟冲刺题】已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A$， $B$， $C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $\cfrac{a^2+b^2-c^2}{c}$$=$$\cfrac{ab}{a\cdot\cos B+b\cdot\cos A}$，则 $C$=__________.

解析：由射影定理可知， $a\cdot\cos B+b\cdot\cos A=c$，即已知条件变形为 $\cfrac{a^2+b^2-c^2}{c}=\cfrac{ab}{c}$，则 $a^2+b^2-c^2=ab$，

从而可知，$\cos C=\cfrac{1}{2}$，又 $c\in (0,\pi)$，故 $C=\cfrac{\pi}{3}$ .