解三角形 | 三角变换的方向总结

公式定理💯随心记

复数的乘法：设 $z_{_{1}}$$=$$a+bi$ ，$z_{_{2}}$$=$$c+di$ ， $a,b,c,d\in R$，则 $z_{_{1}}\cdot z_{_{2}}=(ac-bd)+(ad+bc) i;$

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前言

方向分析

【2017$\cdot$ 全国卷 I 改编】$\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、 $b$、 $c$， 已知 $\sin B$$+$$\sin A$$(\sin C$$-$$\cos C)$$=$$0$， $a=2$， $c=\sqrt{2}$，则 $C$=________.

分析一：由题目的已知和求解内容，确定变形方向，由于题目已知了边 $a$ 和边 $c$，要求解角 $C$，结合正弦定理，我们猜想，肯定需要由给定的其他条件要得到角 $A$；故针对 $\sin B$$+$$\sin A$$(\sin C$$-$$\cos C)$$=$$0$ 思考，如何能得到角 $A$，而不是其他的；也正因为这样，我们针对上述条件中的三个角，想到将角 $B$ 转化，因为题目与它无关；故采用 $\sin B$$=$$\sin(A+C)$，然后展开即可；

分析二：由给出的表达式确定变形方向，$\sin B$$+$$\sin A$$(\sin C$$-$$\cos C)$$=$$0$ 思考，如果将 $\sin A$ 分配进去，得到 $\sin A\sin C$ 和 $\sin A\cos C$ 这两个部分，我们发现他们都是两角和或者两角差的展开式的某一部分，故联想到改写，$\sin B=\sin(A+C)$，然后展开即可；

解析：由 $\sin B$$+$$\sin A$$(\sin C$$-$$\cos C)$$=$$0$，得到 $\sin(A+C)$$+$$\sin A\sin C-\sin A\cos C$$=$$0$

打开得到，$\sin A\cos C+\cos A\sin C+\sin A\sin C-\sin A\cos C=0$

整理得到，$\cos A\sin C+\sin A\sin C=0$，即 $(\cos A+\sin A)\sin C=0$，

约掉 $\sin C$，得到 $\sin A+\cos A=0$，即 $\tan A=-1$，由 $A\in (0,\pi)$，

故 $A=\cfrac{3\pi}{4}$，再结合 $a=2$， $c=\sqrt{2}$，使用正弦定理得到

$\sin C=\cfrac{c\cdot\sin A}{a}=\cfrac{\sqrt{2}\sin\cfrac{3\pi}{4}}{2}=\cfrac{1}{2}$，又 $C\in (0,\cfrac{\pi}{4})$，

故 $C=\cfrac{\pi}{6}$.

应用举例

设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、 $b$、 $c$，若 $2\sin A\cos B=\sin C$ ，则 $\triangle ABC$ 的形状为【$\qquad$】

$A.\textbf {直角三角形}$ $B.\textbf {等腰三角形}$ $C.\textbf {等腰直角三角形}$ $D.\textbf {等边三角形}$

分析：由条件 $2\sin A\cos B=\sin C$ 得到，

$2\sin A\cos B=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，

整理得到 $\sin A\cos B-\cos A\sin B=0$，即 $\sin(A-B)=0$，

故 $A=B$，即为等腰三角形。

法 2：角化边，$2\cdot\cfrac{a}{2R}\cdot \cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cfrac{c}{2R}$，变形整理得到，

$a^2+c^2-b^2=c^2$，即 $a^2=b^2$，则 $a=b$，故为等腰三角形。

【2020 安徽模拟】已知 $a\cos (B-C)=\cos A(2\sqrt{3}\cdot b\cdot \sin C-a)$，

(1). 求角 $A$；

分析：本题目的三角变换的方向不好分析，稍不注意就会陷入变换的坑里面，跳不出来；一般题目中出现 $\cos(B-C)$ 都是我们需要变换注意的地方，同时应该注意要消去角 $B$ 和 $C$，不过为了达到这一目的，需要将 $\cos A=-\cos(B+C)$ 打开整理，与 $\cos(B-C)$ 的展开式合并整理，这样结果一下子就清爽多了。

解析：由角化边得到，$\sin A\cos(B-C)=\cos A(2\sqrt{3}\sin B\sin C-\sin A)$，

即 $\sin A(\cos B\cos C+\sin B\sin C)=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A-\sin A\cos A$，

即 $\sin A(\cos B\cos C+\sin B\sin C+\cos A)=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A$，

即 $\sin A[\cos B\cos C+\sin B\sin C-\cos(B+C)]=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A$，

则 $\sin A(\cos B\cos C+\sin B\sin C-\cos B\cos C+\sin B\sin C)=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A$，

即 $2\sin A\sin B\sin C=2\sqrt{3}\sin B\sin C\cos A$，

即 $\sin A=\sqrt{3}\cos A$，即 $\tan A=\sqrt{3}$，

由于 $A\in (0,\pi)$，故 $A=\cfrac{\pi}{3}$；

(2). 若三角形的周长 $C_{\triangle ABC}=8$，其外接圆的半径为 $R=\sqrt{3}$，求三角形的面积 $S$.

分析：由于 $\cfrac{a}{\sin A}=2R=6$，$A=\cfrac{\pi}{3}$， 故 $a=3$，

又由于三角形的周长 $C_{\triangle ABC}=8$，则 $b+c=5$，

由 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，即 $3^2=(b+c)^2-2bc-bc$，即 $3^2=5^2-3bc$，

故 $bc=\cfrac{16}{3}$，$S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}bc\sin A=\cfrac{1}{2}\times \cfrac{16}{3}\times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{4\sqrt{3}}{3}$.

【2024 高一数学联考】在锐角 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$， $B$， $C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$，且 $2c\sin(B-A)$$=$$2a\sin A\cos B$$+$$b\sin2A$，则 $\cfrac{c}{a}$ 的取值范围是 ____________________.

解析： 由 $2c\sin(B-A)=2a\sin A\cos B+b\sin2A$，边化角，

得到 $2\sin C\sin(B-A)=2\sin A\sin A\cos B+\sin B\sin2A$，

即 $2\sin C\sin(B-A)=2\sin A\sin A\cos B+2\sin B\sin A\cos A=2\sin A(\sin A\cos B+\cos A\sin B)$，

即 $2\sin C\sin(B-A)=2\sin A\sin(A+B)=2\sin A\sin C$，由于 $\sin C\neq 0$，约去，

得到 $\sin(B-A)=\sin A$，又由于 $0<A,B,C<\cfrac{\pi}{2}$，

故 $0<B-A<\cfrac{\pi}{2}$，$0<A<\cfrac{\pi}{2}$，

则得到 $B-A=A$，即 $B=2A$，所以 $C=\pi-3A$，

由 $\left\{\begin{array}{l}{0<A<\cfrac{\pi}{2}}\\{0<2A<\cfrac{\pi}{2}}\\{0<\pi-3A<\cfrac{\pi}{2}}\end{array}\right.\quad$，

解得 $\cfrac{\pi}{6}<A<\cfrac{\pi}{4}$，则有 $\cfrac{\sqrt{2}}{2}<\cos A<\cfrac{\sqrt{3}}{2}$，

故 $\cfrac{1}{2}<\cos^2A<\cfrac{3}{4}$，

又由正弦定理得到，$\cfrac{c}{a}=\cfrac{\sin C}{\sin A}$

$=\cfrac{\sin 3}{\sin A}=\cfrac{\sin(2A+A)}{\sin A}=\cfrac{\sin2A\cos A+\cos2A\sin A}{\sin A}$

$=2\cos^2A+\cos2A=4\cos^2A-1\in(1,2)$ .

[解后反思]：此题目的难点是三角变换的方向的选择，如果将题目中的 $\sin(B-A)$ 打开，那么题目的难度就大多了。