三角恒等式的证明

前言

涉及三角恒等式的证明问题，在高考中不是很多。其用到的数学变形基本和三角变换中用到的一致，比如相关的博文：三角函数式化简。

例题收集

求证：$\cfrac{sin(2\alpha+\beta)}{sin\alpha}-2cos(\alpha+\beta)=\cfrac{sin\beta}{sin\alpha}$

【人教2019A版 $P_{230}$ 15题(2)】求证：$\cfrac{\tan\alpha\tan2\alpha}{\tan2\alpha-\tan\alpha}+\sqrt{3}(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)=2\sin(2\alpha-\cfrac{\pi}{3})$

提示：切化弦+通分+降幂升角公式+辅助角公式；

求证：$(tan\alpha+\cfrac{1}{tan\alpha})\cdot \cfrac{1}{2}sin2\alpha-2cos^2\alpha=-cos2\alpha $

分析：切化弦，

左式$=(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}+\cfrac{cos\alpha}{sin\alpha})\cdot sin\alpha cos\alpha-2cos^2\alpha$

$=\cfrac{1}{sin\alpha cos\alpha}\cdot sin\alpha cos\alpha-2cos^2\alpha$$=1-2cos^2\alpha$$=-cos2\alpha$

常用结论

已知三倍角公式如下：[高考不予考察，仅仅用于拓宽思维使用]

$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$；

$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos^3\theta$；

$\tan3\theta=\cfrac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$；

[问题]：如何推导三倍角公式？

$\sin3\theta=\sin(2\theta+\theta)=sin2\theta\cdot\cos\theta+\cos2\theta\cdot\sin\theta$

$=(2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta$

$=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta$

$=3\sin\theta-4\sin^3\theta$

万能公式

三角万能公式[由于$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ 都可以用 $t=\tan\frac{\theta}{2}$来刻画，故称之为万能公式]，高考中不做考察要求；(其中$\theta\neq 2k\pi+\pi$，且$\theta\neq k\pi+\cfrac{\pi}{2}$，$k\in Z$；)

$\sin\theta=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$；$\cos\theta=\cfrac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$；$\tan\theta=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}$

若令 $\tan\frac{\theta}{2}=t$，则上述公式变得更加规整：

\[\sin\theta=\cfrac{2t}{1+t^2}\quad\cos\theta=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\quad\tan\theta=\cfrac{2t}{1-t^2} \]

证明：按照二倍角公式展开，利用二次齐次式，分子分母同除，即可证明；

$\sin\theta=2\sin\cfrac{\theta}{2}\cos\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{\sin^2\frac{\theta}{2}+\cos^2\frac{\theta}{2}}=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$;

$\cos\theta=\cos^2\cfrac{\theta}{2}-\sin^2\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}{\sin^2\frac{\theta}{2}+\cos^2\frac{\theta}{2}}=\cfrac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$

$\tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\cfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$

证明：法1，切化弦，然后分子分母同乘，即可证明；

\[\tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\cfrac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}}=\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} \]

\[\tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\cfrac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}}=\cfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \]

故有，$\tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\cfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$

法2：由$\sin\alpha\cdot\sin\alpha=1^2-\cos^2\alpha=(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)$，

即$\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\cfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$，连结证明也可。

思路补充，法3： $\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\cfrac{\sin\alpha\cdot(1-\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)\cdot(1-\cos\alpha)}=\cfrac{\sin\alpha\cdot(1-\cos\alpha)}{\sin^2\alpha}=\cfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$

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