三角方程的解法

公式定理💯随心记

复数的除法：设 $z_{_{1}}$$=$$a+bi$ ，$z_{_{2}}$$=$$c+di$ ， $a,b,c,d\in R$，则 $z_{_{1}}\div z_{_{2}}=\cfrac {a+bi}{c+di}=\cfrac {ac+bd}{c^2+d^2}+\cfrac {bc-ad}{c^2+d^2} i;$

---

前言

• 首先必须明确，解三角方程，应该属于解超越方程，和解代数方程的思路不一样了，应该数形结合求解；
• 解三角方程的方法和思路基本上和解三角不等式是并行的，可以类比进行；

必备技能

• 函数图像的解读能力
• 作三角函数 $y=sinx$ 和 $y=cosx$ 的图像、作正弦线、余弦线的能力
• 用不等式表达单位圆中区域的能力

例说解法

解三角方程： $2sinA=1，A$ 为三角形的一个内角。

解析：由题可知，$\sin A=\cfrac{1}{2}$，做出函数 $y=\cfrac{1}{2}$ 和函数 $y=\sin A$ 在其定义域 $(0,\pi)$ 上的图像，

如图所示，对应的自变量 $A=\cfrac{\pi}{6}$ 或 $A=\cfrac{5\pi}{6}$

故方程的根：$A=\cfrac{\pi}{6}$ 或 $A=\cfrac{5\pi}{6}$

解三角方程： $2sinA=1$.

解析：由题可知，$\sin A=\cfrac{1}{2}$，由于函数 $y=\sin A$ 有周期性，

选 $[0,2\pi]$ 为一个基本周期，做出函数 $y=\cfrac{1}{2}$ 和函数 $y=\sin A$ 在其定义域 $(0,2\pi)$ 上的图像，

如图所示，对应的自变量 $A=\cfrac{\pi}{6}$ 或 $A=\cfrac{5\pi}{6}$

再拓展到 $R$，得到方程的根：$A=2k\pi+\cfrac{\pi}{6}$ 或 $A=2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)$。

类比思考

解三角方程： $2sin(3A+\cfrac{\pi}{4})=1$.

提示：$3A+\cfrac{\pi}{4}=2k\pi+\cfrac{\pi}{6}$ 或 $3A+\cfrac{\pi}{4}=2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)$，求解 $A$ 即可。

【2016$\cdot$ 上海卷】【解三角方程】方程 $3sinx=1+cos2x$ 在区间 $[0，2\pi]$ 上的解为_______________。

分析：采用升幂降角公式，得到 $3sinx=1+1-2sin^2x$，

整理为 $2sin^2x+3sinx-2=0$，即 $(sinx+2)(2sinx-1)=0$

解得 $sinx=-2$(舍去)，或 $sinx=\cfrac{1}{2}$，

再由 $sinx=\cfrac{1}{2}$，$x\in[0，2\pi]$，

采用图像可得，$x=\cfrac{\pi}{6}$ 或 $x=\cfrac{5\pi}{6}$。

【2019 唐山模拟】已知函数 $f(x)=\sin x-\sin 3x$ ，$x\in [0,2\pi]$ ，则 $f(x)$ 的所有零点之和等于_________.

解析: $f(x)=\sin x-\sin (2x+x)=\sin x-\sin 2x \cos x-\cos 2x\sin x$

$=\sin x-2\sin x\left(1-\sin^{2}x\right)-\left(1-2\sin ^{2}x\right)\sin x$

$=\sin x-(3\sin x-\left.4\sin ^{3}x\right)=4\sin^3x-2\sin x$

$=2 \sin x\left(2\sin^{2} x-1\right)$.

令 $f(x)=0$, 得 $\sin x=0$ 或 $\sin x=$ $\pm \cfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 上的所有零点为 $x=0$， $\cfrac{\pi}{4}$， $\cfrac{3\pi}{4}$， $\pi$， $\cfrac{5\pi}{4}$， $\cfrac{7\pi}{4}$， $2\pi$，

所以所有零点之和为 $\cfrac{\pi}{4}+\cfrac{3\pi}{4}+\pi+\cfrac{5\pi}{4}+\cfrac{7\pi}{4}+2\pi=7\pi$.

典例剖析

【2022 届高三一轮复习资料用题改编】 已知函数 $f(x)=2\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{6}\right)+1$ .

(1). 求函数 $f(x)$ 在区间 $[-\cfrac{\pi}{3},\cfrac{5\pi}{6}]$ 上的单调性；

法 1：利用 $R$ 上的单调区间和给定区间求交集法；

令 $2k\pi-\cfrac{\pi}{2}\leqslant 2x-\cfrac{\pi}{6}\leqslant 2k\pi+\cfrac{\pi}{2}$，$(k\in Z)$，

解得 $R$ 上的单调递增区间为 $[k\pi-\cfrac{\pi}{6},k\pi+\cfrac{\pi}{3}]$，$(k\in Z)$，

将其和给定区间 $[-\cfrac{\pi}{3},\cfrac{5\pi}{6}]$ 求交集，得到单调递增区间为 $[-\cfrac{\pi}{6},\cfrac{\pi}{3}]$；

令 $2k\pi+\cfrac{\pi}{2}\leqslant 2x-\cfrac{\pi}{6}\leqslant 2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}$，$(k\in Z)$，

解得 $R$ 上的单调递减区间为 $[k\pi+\cfrac{\pi}{3},k\pi+\cfrac{5\pi}{6}]$，$(k\in Z)$，

将其和给定区间 $[-\cfrac{\pi}{3},\cfrac{5\pi}{6}]$ 求交集，得到单调递减区间为 $[-\cfrac{\pi}{3},-\cfrac{\pi}{6}]$ 和 $[\cfrac{\pi}{3},\cfrac{5\pi}{6}]$ ；

法 2：利用整体思想求解，

由于 $-\cfrac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant \cfrac{5\pi}{6}$，则 $-\cfrac{2\pi}{3}\leqslant 2x\leqslant \cfrac{5\pi}{3}$，则有 $-\cfrac{5\pi}{6}\leqslant 2x-\cfrac{\pi}{6}\leqslant \cfrac{3\pi}{2}$，

以 $2x-\cfrac{\pi}{6}$ 的整体为横轴，做函数图像，结合图像可知，

当 $-\cfrac{5\pi}{6}\leqslant 2x-\cfrac{\pi}{6}\leqslant -\cfrac{\pi}{2}$ 时，即 $-\cfrac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant -\cfrac{\pi}{6}$ 时，函数单调递减，

当 $-\cfrac{\pi}{2}\leqslant 2x-\cfrac{\pi}{6}\leqslant \cfrac{\pi}{2}$ 时，即 $-\cfrac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant \cfrac{\pi}{3}$ 时，函数单调递增，

当 $\cfrac{\pi}{2}\leqslant 2x-\cfrac{\pi}{6}\leqslant \cfrac{3\pi}{2}$ 时，即 $\cfrac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant \cfrac{5\pi}{6}$ 时，函数单调递减，

故得到单调递减区间为 $[-\cfrac{\pi}{3},-\cfrac{\pi}{6}]$ 和 $[\cfrac{\pi}{3},\cfrac{5\pi}{6}]$，单调递增区间为 $[-\cfrac{\pi}{6},\cfrac{\pi}{3}]$；

(2). 若 $f(x)=0$， $x\in\left(-\cfrac{\pi}{2},\pi\right)$， 求 $x$ 的值.

分析：本题目的求解本质是解三角方程；

法一： 由 $f(x)=0$， 得 $2\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{6}\right)+1=0$，

所以， $\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{6}\right)=-\cfrac{1}{2}$，

又 $x\in\left(-\cfrac{\pi}{2}, \pi\right)$， $2x-\cfrac{\pi}{6}\in\left(-\cfrac{7\pi}{6}, \cfrac{11\pi}{6}\right)$，

所以 $2x-\cfrac{\pi}{6}=-\cfrac{\pi}{6}$ 或 $2x-\cfrac{\pi}{6}=-\cfrac{5\pi}{6}$ 或 $2x-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{7\pi}{6}$，

解得 $x=0$ 或 $x=-\cfrac{\pi}{3}$ 或 $x=\cfrac{2\pi}{3}$ .

法二：由 $f(x)=0$， 得 $2\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{6}\right)+1=0$，

所以， $\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{6}\right)=-\cfrac{1}{2}$，

所以 $2x-\cfrac{\pi}{6}=2k\pi+\cfrac{7\pi}{6}$($k\in Z$)，或 $2x-\cfrac{\pi}{6}=2n\pi+\cfrac{11\pi}{6}$($n\in Z$)，

故当 $k=-1$ 时，则有 $2x-\cfrac{\pi}{6}=-2\pi+\cfrac{7\pi}{6}$ 即 $x=-\cfrac{\pi}{3}\in\left(-\cfrac{\pi}{2},\pi\right)$，满足题意；

当 $k=0$ 时，则有 $2x-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{7\pi}{6}$ 即 $x=\cfrac{2\pi}{3}\in\left(-\cfrac{\pi}{2},\pi\right)$，满足题意；

当 $n=-1$ 时，则有 $2x-\cfrac{\pi}{6}=-2\pi+\cfrac{11\pi}{6}$ 即 $x=0\in\left(-\cfrac{\pi}{2},\pi\right)$，满足题意；

故 $x=0$ 或 $x=-\cfrac{\pi}{3}$ 或 $x=\cfrac{2\pi}{3}$ .

(3). 将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $\cfrac{\pi}{3}$ 个单位长度， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 $2$ 倍 (纵坐标不变) 得到函数 $g(x)$ 的图象。 若曲线 $y=h(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=\cfrac{\pi}{4}$ 对称， 求函数 $h(x)$ 在 $\left(-\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{2\pi}{3}\right)$ 上的值域 .

解析：将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $\cfrac{\pi}{3}$ 个单位长度，

可得 $y=2\sin\left[2\left(x+\cfrac{\pi}{3}\right)-\cfrac{\pi}{6}\right]+1=2\sin\left(2 x+\cfrac{\pi}{2}\right)+1=2\cos2x+1$ 的图象，

再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 $2$ 倍 (纵坐标不变)， 得到函数 $g(x)$$=2\cos x+1$ 的图象，

又曲线 $y=h(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=\cfrac{\pi}{4}$ 对称设函数 $h(x)$ 上的任意一点坐标为 $P$$(x$$,$$y)$，则点 $P$ 关于直线 $x$$=$$\cfrac{\pi}{4}$ 的对称点坐标为 $P'$$($$\cfrac{\pi}{2}$$-$$x$$，$$y)$，故将点 $P'$ 代入函数 $y=g(x)$ 的解析式，整理即得到函数 $h(x)$ 的解析式；此方法是相关点法；，

所以，$h(x)=g\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)=2\cos\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)+1=2\sin x+1$

由于 $x \in\left(-\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{2\pi}{3}\right)$，所以， $\sin x\in\left(-\cfrac{1}{2}, 1\right]$， 则 $2\sin x+1\in(0,3]$

故函数 $h(x)$ 在 $\left(-\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{2 \pi}{3}\right)$ 上的值域为 $(0,3]$.

〔对照题目〕 已知函数 $f(x)=2\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{6}\right)+1$ ，若 $f(x)\geqslant0$， $x\in\left(-\cfrac{\pi}{2},\pi\right)$， 求 $x$ 的取值范围 .

分析：类比解三角方程，我们来求解三角不等式；

解析： 由 $f(x)\geqslant0$， 得 $2\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{6}\right)+1\geqslant0$，

所以， $\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{6}\right)\geqslant-\cfrac{1}{2}$，

又 $x\in\left(-\cfrac{\pi}{2}, \pi\right)$， $2x-\cfrac{\pi}{6}\in\left(-\cfrac{7\pi}{6}, \cfrac{11\pi}{6}\right)$，

故有 $-\cfrac{7\pi}{6}<2x-\cfrac{\pi}{6}\leqslant -\cfrac{5\pi}{6}$，或 $-\cfrac{\pi}{6}\leqslant 2x-\cfrac{\pi}{6}\leqslant \cfrac{7\pi}{6}$，

解得 $-\cfrac{\pi}{2}<x\leqslant -\cfrac{\pi}{3}$ 或 $0\leqslant x\leqslant \cfrac{2\pi}{3}$；

【2020・北京西城模拟摘编】函数 $f(x)=\cos(\pi x+\phi)(0<\phi<\cfrac{\pi}{2})$ 的部分图像如图所示.

(1). 写出 $\phi$ 及图中 $x_0$ 的值；

解：由于图像经过点 $(0,\cfrac{\sqrt{3}}{2})$，故满足 $\cos\phi=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$，

又由于 $0<\phi<\cfrac{\pi}{2}$，故 $\phi=\cfrac{\pi}{6}$，

又由图可知，$\cos(\pi x_0+\cfrac{\pi}{6})=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$，

此处注意，以 $\pi x_0+\cfrac{\pi}{6}$ 这个整体为横轴作函数图像，取 $[-\pi,\pi]$ 为一个基本周期，

很显然，在一个基本周期内的三角方程的解为 $\pi x_0+\cfrac{\pi}{6}=-\cfrac{\pi}{6}$，或 $\pi x_0+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{6}$，

那么在整个实数范围内，$\pi x_0+\cfrac{\pi}{6}=2k\pi-\cfrac{\pi}{6}$，或 $\pi x_0+\cfrac{\pi}{6}=2k\pi+\cfrac{\pi}{6}$，$k\in Z$，

解得 $x_0=2k$ 或 $x_0=-\cfrac{1}{3}+2k$，$k\in Z$，

由于函数 $f(x)=\cos(\pi x+\cfrac{\pi}{6})$ 的最小正周期为 $2$，故结合图像舍去 $x_0=2k$，

故 $x_0=-\cfrac{1}{3}+2k$，$k\in Z$，令 $k=1$，则 $x_0=\cfrac{5}{3}$.

【2019 $\cdot$ 张家界模拟】将函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x$ 的图像向左平移 $t(t>0)$ 个单位后，得到函数 $g(x)$ 的图象，若 $g (x)=g (\cfrac {\pi}{12}-x)$， 则实数 $t$ 的最小值为 【$\quad$】

$A.\cfrac{5\pi}{24}$ $B.\cfrac{7\pi}{24}$ $C.\cfrac{5\pi}{12}$ $D.\cfrac{7\pi}{12}$

法 1：由题意得，$f(x)=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin(2x-\cfrac{\pi}{6})$，

则 $g(x)=2\sin[2(x+t)-\cfrac{\pi}{6}]=2\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})$，

又由题意得， $g(x)=g(\cfrac{\pi}{12}-x)$， 则变换得到下式，

则 $2\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})=2\sin[2(\cfrac{\pi}{12}-x)+2t-\cfrac{\pi}{6}]=-2\sin(2x-2t)$

即 $\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})=-\sin(2x-2t)$，

故有 $2x+2t-\cfrac{\pi}{6}=2x-2t+(2k+1)\pi$，$k\in Z$，

即 $4t=(2k+1)\pi+\cfrac{\pi}{6}$，$k\in Z$，

又由于 $t>0$，故当 $k=0$ 时，$t_{\min}=\cfrac{7\pi}{24}$，故选 $B$.

法 2：由题意得，$f(x)=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin(2x-\cfrac{\pi}{6})$，

则 $g(x)=2\sin[2(x+t)-\cfrac{\pi}{6}]=2\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})$，

又由题意得， $g(x)=g(\cfrac{\pi}{12}-x)$， 即 $x=\cfrac{\pi}{24}$ 为函数 $g(x)$ 的对称轴，

即 $x=\cfrac{\pi}{24}$ 能使得函数 $g(x)$ 的值取到最值；

故 $2\times\cfrac{\pi}{24}+2t-\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}$，$k\in Z$；

整理为 $t=\cfrac{kt}{2}+\cfrac{7\pi}{24}$，$k\in Z$；

又由于 $t>0$，故当 $k=0$ 时，$t_{\min}=\cfrac{7\pi}{24}$，故选 $B$.

把函数 $f(x)=2 \cos\left(2x-\cfrac{\pi}{4}\right)$ 的图象向左平移 $m(m>0)$ 个单位， 得到函数 $g(x)=$$2\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象， 则 $m$ 的最小值是【$\qquad$】

$A.\cfrac{7}{24}\pi$ $B.\cfrac{17}{24}\pi$ $C.\cfrac{5}{24}\pi$ $D.\cfrac{19}{24}\pi$

解析：把函数 $f(x)=2\cos\left(2x-\cfrac{\pi}{4}\right)$ 的图象向左平移 $m(m>0)$ 个单位，

得到 $f(x)=$ $2\cos\left[2(x+m)-\cfrac{\pi}{4}\right]=2\cos\left(2x+2m-\cfrac{\pi}{4}\right)$ 的图象，

而 $g(x)=2\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{3}\right)=2\cos\left[\cfrac{\pi}{2}-\left(2x-\cfrac{\pi}{3}\right)\right]$

$=2\cos\left(\cfrac{5\pi}{6}-2x\right)=2\cos\left(2x-\cfrac{5\pi}{6}\right)$

即 $2\cos\left(2x+2m-\cfrac{\pi}{4}\right)=2\cos\left(2x-\cfrac{5\pi}{6}\right)$ 对任意 $x$ 恒成立，即自变量相差 $2k\pi$，

故 $2m-\cfrac{\pi}{4}=-\cfrac{5 \pi}{6}+2k\pi$， $k\in Z$， 得 $m=-\cfrac{7 \pi}{24}+k\pi$， $k\in Z$，

由于 $m>0$， 当 $k=1$ 时， $m$ 最小， 此时 $m=\pi-\cfrac{7\pi}{24}=\cfrac{17\pi}{24}$，故选 $B$ .

〔解后反思〕两个函数图像完全相同或关于 $x$ 轴对称的情形：

若函数 $y=\sin(2x+\theta)$ 和函数 $y=\sin(2x-2\theta+t)$ 图像完全重合，即对任意 $x$ 恒成立，则由 $\sin(2x+\theta)$$=$$\sin(2x-2\theta+t)$ 从数的角度刻画为 $\sin(2x$$+$$\theta)$$=$$\sin(2x$$-$$2\theta$$+$$t)$，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像完全重合；，可以得到 $2x+\theta=2x-2\theta+t+2k\pi$，$k\in Z$；

若函数 $y=\sin(2x+\theta)$ 和函数 $y=\sin(2x-2\theta+t)$ 的图像关于 $x$ 轴对称，即对任意 $x$ 恒成立，则由 $\sin(2x+\theta)$$=$$-$$\sin(2x$$-$$2\theta$$+$$t)$ 从数的角度刻画为 $\sin(2x$$+$$\theta)$$=$$-$$\sin(2x$$-$$2\theta$$+$$t)$，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像关于 $x$ 轴对称；，可以得到 $2x+\theta=2x-2\theta+t+(2k+1)\pi$，$k\in Z$；