恰成立命题
前言
恰成立这类命题是高三数学中不太常见的考查素材。已知函数的单调区间求参数的取值[或范围]的问题、已知函数的定义域[或值域]求参数的取值[或范围]的问题,往往可以归结为恰成立问题;
恰成立命题
分析:由于 \(f'(x)=3x^2+2bx+c\),由于函数 \(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d\) 的单调减区间为 \([-1,2]\) ,
则 \(f'(x)\leqslant 0\) 在区间 \([-1,2]\) 上恒成立,且\(f'(x)\leqslant 0\)的解集为\([-1,2]\)解集刚好是区间 \([1,2]\),不能比它大,也不能比它小,刚刚合适,也就是恰好成立。,
则方程\(3x^2+2bx+c=0\)的两个根分别为\(x_1=-1\),\(x_2=2\),
由韦达定理可知,\(x_1+x_2=-1+2=-\cfrac{2b}{3}\),\(x_1x_2=-1\times 2=\cfrac{c}{3}\)
解得,\(b=-\cfrac{3}{2}\),\(c=-6\);
解析:由于函数\(f(x)\)的单调递减区间是\([-1,4]\),
\(f'(x)=x^2-3x+a\leqslant0\)的解集恰好应该是\([-1,4]\),
则 \(-1\) 和 \(4\) 都是方程\(x^2-3x+a=0\)的根,故实数\(a=(-1)\times4=-4\).
解析:由于函数\(f(x)\)在区间\([-1,4]\)上单调递减,
则\(f'(x)=x^2-3x+a\leqslant 0\)在区间\([-1,4]\)上恒成立,
即\(a\leqslant 3x-x^2\)在区间\([-1,4]\)上恒成立,
又在\(x\in[-1,4]\)上,\((3x-x^2)_{min}=-4\),故\(a\leqslant -4\).
解后反思:函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上单调递减和在开区间\((a,b)\)上单调递减,求参数的取值范围时,一般是有区别的;
函数\(f(x)\)的单调递减区间是\([a,b]\),一般转化为恰成立命题求解;函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递减(或增),一般转化为恒成立命题求解;
典例剖析
解析:由题目可知\(1+3^x+a\cdot 9^x\ge 0\)的解集必须恰好是是\((-\infty,1]\),
即\((\cfrac{1}{9})^x+(\cfrac{1}{3})^x+a\ge 0\)的解集必须恰好是是\((-\infty,1]\),
令\((\cfrac{1}{3})^x=t\),则\(t\in[\cfrac{1}{3},+\infty)\),则\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必须是\([\cfrac{1}{3},+\infty)\),
则\(g(\cfrac{1}{3})=0\),所以\(9a+4=0,a=-\cfrac{4}{9}\)。
反思总结:本题有以下两种常用的变换,
其一令\(3^x=t\in(0,3]\),变换得到\(h(t)=at^2+t+1\ge0\)的解集必须是\((0,3]\);
其二令\((\cfrac{1}{3})^x=t\),则\(t\in[\cfrac{1}{3},+\infty)\),则\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必须是\([\cfrac{1}{3},+\infty)\),
变换二比变换一要好处理、好理解一些。 图像说明
解析:\(f(x)=x^2 -(a^2+a)x+a^3 ≤0\)在区间 \([-1,1]\)上恰成立,则\(f(-1)=0,f(1)=0\),解得\(a= -1\).
分析:本题目属于恰成立命题,
当\(x>0\)时,\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\ge 2\sqrt{a}+2=4\),解得\(a=1\),当且仅当\(x=1\)时取到等号;
当\(x<0\)时,\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\leq -2\sqrt{a}+2=0\),解得\(a=1\),当且仅当\(x=-1\)时取到等号;
综上可知,\(a=1\)。
分析:由第一问可知函数在\((-\cfrac{\sqrt{3a}}{3},\cfrac{\sqrt{3a}}{3})\)上单调递减,
现已知单调递减区间是\((-1,1)\),故这两个区间相等,
即\(\cfrac{\sqrt{3a}}{3}=1\),解得\(a=3\);