正方体的截面

前言

正方体的截面问题涉及空间想象能力，动态观点看问题，线面位置关系等，内涵比较大。

面面平行的性质：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

案例研究

• 正方体截面的探究

【目的】结合正方体截面设计的问题串，引导学生完成探究、发现、证明新问题的过程，积累数学探究的经验。

【情境】用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的?启发学生提出逐渐深入的系列问题，引导学生进行逐渐深刻的思考。

学生可以自主或在教师引导下提出一些问题，例如：

（1）给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，面出这些截面的示意图。

例如，可以按照截面图形的边数进行分类，比如三角形，四边形，五边形，六边形等等。

（2）如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形?为什么？

（3）如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形?为什么？

（4）还能截出哪些多边形?为什么？然后进一步探讨：

（5）能否截出正五边形?为什么？

（6）能否截出直角三角形?为什么？

（7）有没有可能截出边数超过6的多边形?为什么?

（8）是否存在正六边形的截面？为什么？

最后思考：

（9）截面面积最大的三角形是什么形状的三角形？为什么？

【分析】这是一个跨度很大的数学问题串，可以针对不同学生，设计不同的教学方式，通过多种方法实施探究。例如，

①可以通过切萝卜块观察，启发思路；

②也可以在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同摆放位置、不同水量时的液体表面的形状；

还可以借助信息技术直观快捷地展示各种可能的截面。

但是，观察不能代替证明。探究的难点是分类找出所有可能的截面，并证明哪些形状的截面一定存在或者一定不存在。可以鼓励学生通过操作观察，形成猜想，证明猜想。像这样逐渐深入的探究过程，有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力，在具体事情中提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养，积累教学探索的经验。

典例剖析

正方体 \(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的棱长为\(1\)， 动点\(P\)，\(Q\) 分别在棱\(BC\)，\(CC_{1}\) 上， 过点 \(A\)， \(P\)， \(Q\) 的平面截该正方体所得的截面记为\(S\)，设\(BP=x\)， \(CQ=y\)，其中\(x\)， \(y\in[0,1]\)，下列命题:

①当 \(x=0\) 时， \(S\) 为矩形，其面积最大为 \(1\)；

分析：当 \(x=0\) 时， \(S\) 为矩形，其面积最大时为矩形\(ABC_1D_1\)，故最大面积为\(\sqrt{2}\)，故①错误；

②当 \(x=y=\cfrac{1}{2}\) 时， \(S\) 为等腰梯形；

分析：如上图，由于\(x=y=\cfrac{1}{2}\)，容易证明\(AP=D_1Q\)，而\(PQ//AD_1\)，故截面\(S\) 为等腰梯形；故②正确；

③当 \(x=\cfrac{1}{2}\)，\(y\in(\cfrac{1}{2}, 1)\) 时, 设 \(S\) 与棱 \(C_{1}D_{1}\) 的交点为 \(R\)，则 \(RD_{1}=2-\cfrac{1}{y}\)；

分析：设 \(S\) 与棱 \(C_{1}D_{1}\) 的交点为 \(R\)，延长\(DD_1\)，使\(DD_1\cap QR=N\)，

连接\(AN\)交\(A_1D_1\)于\(T\)，连接\(TR\)，可证\(AN//PQ\)一个平面和两个平行平面都相交，则所得的交线互相平行；\(\quad\)，

故可知\(\triangle PCQ\sim \triangle AD_1N\)，则\(\cfrac{PC}{AD}=\cfrac{CQ}{DN}=\cfrac{1}{2}\)，

即\(\cfrac{y}{DN}=\cfrac{1}{2}\)，故\(DN=2y\)，则\(D_1N=2y-1\)；

又由于\(\triangle NRD_1\sim \triangle QRC_1\)，可得\(\cfrac{C_1R}{D_1R}=\cfrac{C_1Q}{D_1N}\)，

令\(RD_1=x\)，即\(\cfrac{1-x}{x}=\cfrac{1-y}{2y-1}\)，利用合比定理，得到

\(\cfrac{1-x+x}{x}=\cfrac{1-y+2y-1}{2y-1}\)，即\(\cfrac{1}{x}=\cfrac{y}{2y-1}\)

可得\(x=RD_1=2-\cfrac{1}{y}\)，故③正确；

④当 \(y=1\) 时， 以 \(B_1\)为顶点，\(S\) 为底面的棱锥的体积为定值\(\cfrac{1}{3}\)； 其中正确的命题为_______________.

分析：当 \(y=1\) 时， 以 \(B_1\)为顶点，\(S\) 为底面的棱锥\(B_1-PC_1MA\)的体积为

\(V_{B_1-PC_1MA}=2V_{B_1-PC_1M}=2V_{P-B_1C_1M}=2\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{2}\times 1\times 1\times 1=\cfrac{1}{3}\)，故④正确；

综上所述，正确的命题为②③④；