2020年全国卷Ⅱ卷文科数学选填题解析版

选择题

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第1题】己知集合 \(A=\{x||x|<3，x\in Z\}\)，\(B=\{x||x|>1，x\in Z\}\)，则\(A\cap B=【\quad】\)

$A.\varnothing$ $B.\{-3,-2,2,3\}$ $C.\{-2,0,2\}$ $D.\{-2,2\}$

分析：因为 \(A=\{x||x|<3, x \in Z\}=\{-2,-1,0,1,2\}\)，\(B=\{x\|x|>1, x \in Z\}=\{x \mid x>1\) 或 \(x<-1, x \in Z\}\)，所以 \(A \cap B=\{2,-2\}\)，故选: \(D\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第2题】\((1-i)^{4}=【\quad】\)

$A.-4$ $B.4$ $C.-4i$ $D.4i$

分析：\((1-i)^{4}=[(1-i)^{2}]^{2}=(1-2i+i^{2})^{2}=(-2i)^{2}=-4\)，故选: \(A\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第3题】如图，将钢琴上的\(12\)个键依次记为\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(\ldots\)，\(a_{12}\)，设\(1\leq i<\)\(j<k\leq12\)，若\(k-j=3\)且\(j-i=4\)，则称\(a_i\)，\(a_j\)，\(a_k\)为原位大三和弦；若\(k-j=4\)且\(j-i=3\)，则称\(a_i\)，\(a_j\)，\(a_k\)为原位小三和弦；这\(12\)个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为\(【\quad】\)

$A.5$ $B.8$ $C.10$ $D.15$

分析：根据题意可知，原位大三和弦满足: \(k-j=3\), \(j-i=4\)，依次列举得到，

\(i=1, j=5, k=8 ; \quad i=2, j=6, k=9 ; \quad i=3, j=7, k=10 ; \quad i=4, j=8, k=11\)，\(i=5, j=9, k=12\)，共\(5\)个；

原位小三和弦满足 : \(k-j=4\)，\(j-i=3\)，依次列举得到，

\(i=1, j=4, k=8 ; \quad i=2, j=5, k=9 ; \quad i=3, j=6, k=10 ; \quad i=4, j=7, k=11\)，\(i=5, j=8, k=12\)， 共\(5\)个；

故个数之和为 \(10\)，故选: \(C\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第4题】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成\(1200\)份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压。为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压\(500\)份订单未配货，预计第二天的新订单超过\(1600\)份的概率为\(0.05\)，志愿者每人每天能完成\(50\)份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于\(0.95\)，则至少需要志愿者【\(\quad\)】

$A.10$ $B.18$ $C.24$ $D.32$

分析：由题意，第二天新增订单数为\(500+1600-1200=900\)，设需要志愿者\(x\)名，

则由\(\cfrac{50x}{900}\geqslant 0.95\)，解得\(x\geqslant 17.1\)，

故需要志愿者\(18\)名。故选：\(B\)。

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第5题】已知单位向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) 的夹角为\(60°\)，则下列向量中与\(\vec{b}\) 垂直的是【】

$A.\vec{a}+2\vec{b}$ $B.2\vec{a}+\vec{b}$ $C.\vec{a}-2\vec{b}$ $D.2\vec{a}+\vec{b}$

分析：由己知可得 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \cos60^{\circ}=1\times1\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\)；

对于选项\(A\)，因\((\vec{a}+2\vec{b})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{b}^{2}=\cfrac{1}{2}+2\times1=\cfrac{5}{2}\neq 0\)，所以本选项不符合题意；

对于选项\(B\)，因\((2\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{b}=2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^{2}=2\times\cfrac{1}{2}+1=2\neq 0\)，所以本选项不符合題意；

对于选项\(C\)，因\((\vec{a}-2\vec{b})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{b}^{2}=\cfrac{1}{2}-2\times 1=-\cfrac{3}{2}\neq 0\)，所以本选项不符合题意；

对于选项\(D\)，因\((2\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{b}=2\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}^{2}=2\times\cfrac{1}{2}-1=0\)，所以本选项符合题意.

故选: \(D\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第6题】记\(S_{n}\)为等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和。若\(a_5-a_3=12\)，\(a_6-a_4=24\)，则\(\cfrac{S_{n}}{a_{n}}\)=【】

$A.2^{n-1}$ $B.2-2^{1-n}$ $C.2-2^{n-1}$ $D.2^{1-n}-1$

分析：设等比数列的公比为 \(q\)，由\(a_{5}-a_{3}=12\)，\(a_{6}-a_{4}=24\)

可得 \(\left\{\begin{array}{l}{a_1q^{4}-a_{1} q^{2}=12} \\ {a_1q^{5}-a_{1} q^{3}=24}\end{array}\right.\) 运算技巧两式作商，得到\(\cfrac{a_1q^2(q^2-1)}{a_1q^3(q^2-1)}=\cfrac{1}{2}\)，故得到\(q=2\)，代入可得\(a_1=1\);\(\quad\) \(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{a_{1}=1}\end{array}\right.\)

所以 \(a_{n}=a_{1} q^{n-1}=2^{n-1}\)，\(S_{n}=\cfrac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\cfrac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1\)

因此 \(\cfrac{S_{n}}{a_{n}}=\cfrac{2^{n}-1}{2^{n-1}}=2-2^{1-n}\)，故选：\(B\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第7题】执行如下的程序框图，若输入的\(k=0\)，\(a=0\)，则输出的\(k\)为【\(\quad\)】

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$

分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程

开始时，\(k=0\)，\(a=0\)

第1次循环, \(a=2\times 0+1=1\)，\(k=0+1=1\)，\(1>10\)，为否；

第2次循环， \(a=2\times 1+1=3\)， \(k=1+1=2\)，\(3>10\)，为否；

第3次循环， \(a=2\times 3+1=7\)， \(k=2+1=3\)， \(7>10\)， 为否；

第4次循环， \(a=2\times 7+1=15\)，\(k=3+1=4\)，\(15>10\)，为是；

退出循环，输出\(k=4\)，故选：\(C\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第8题】若过点\((2，1)\)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 \(2 x-y-3=0\) 的距离为【\(\quad\)】

$A.\cfrac{\sqrt{5}}{5}$ $B.\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $C.\cfrac{3\sqrt{5}}{5}$ $D.\cfrac{4\sqrt{5}}{5}$

分析：由于圆上的点\((2，1)\)在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为 \((a, a)\)，则圆的半径为 \(a\)，圆的标准方程为 \((x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}\)，

由题意可得 \((2-a)^{2}+(1-a)^{2}=a^{2}\)，可得 \(a^{2}-6a+5=0\)，解得 \(a=1\) 或 \(a=5\)，

所以圆心的坐标为\((1,1)\) 或 \((5,5)\)；

圆心 \((1,1)\) 到直线 \(2 x-y-3=0\) 的距离均为 \(d_{1}=\cfrac{|2 \times 1-1-3|}{\sqrt{5}}=\cfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)

圆心 \((5,5)\) 到直线 \(2 x-y-3=0\) 的距离均为 \(d_{2}=\cfrac{|2 \times 5-5-3|}{\sqrt{5}}=\cfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)

则圆心到直线 \(2 x-y-3=0\) 的距离为 \(\cfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)，故选：\(B\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第9题】设 \(O\) 为坐标原点，直线 \(x=a\) 与双曲线 \(C:\)\(\cfrac{x^{2}}{a^{2}}\)\(-\)\(\cfrac{y^{2}}{b^{2}}\)\(=\)\(1\)\((a>0\)$， $$b>0)$ 的两条渐近线分别交于\(D\)，\(E\)两点，若\(\triangle ODE\)的面积为\(8\)，则\(C\)的焦距的最小值为【\(\quad\)】

$A.4$ $B.8$ $C.16$ $D.32$

分析：由于\(C: \cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\)，则双曲线的渐近线方程是 \(y=\pm \cfrac{b}{a} x\)，

直线 \(x=a\) 与双曲线 \(C: \cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\) 的两条渐近线分别交于 \(D\)， \(E\) 两点，

不妨设点\(D\)在第一象限，点\(E\)在第四象限，

联立 \(\left\{\begin{array}{ll}x=a & \\ y=\cfrac{b}{a}x\end{array}\right.\)，故解得 \(\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=b\end{array}\right.\)；

联立 \(\left\{\begin{array}{ll}x=a & \\ y=-\cfrac{b}{a} x \end{array}\right.\)， 解得\(\left\{\begin{array}{l}x=a\\ y=-b\end{array}\right.\)；

则\(|ED|=2b\)，故\(\Delta ODE\) 面积为 \(: S_{\triangle ODE}=\cfrac{1}{2} a \times 2b=ab=8\)，

又由于\(C: \cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\)，

故其焦距为 \(2c=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq 2\sqrt{2ab}=2\sqrt{16}=8\)，

当且仅当 \(a=b=2 \sqrt{2}\) 取等号， 故\(C\) 的焦距的最小值为\(8\)，则选 \(B\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第10题】设函数 \(f(x)=x^{3}-\cfrac{1}{x^{3}}\)， 则 \(f(x)\)是 【\(\quad\)】

$A.$奇函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增

$B.$奇函数，且在$(0,+\infty)$上单调递减

$C.$偶函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增

$D.$偶函数，且在$(0,+\infty)$上单调递减

分析：因为函数 \(f(x)=x^{3}-\cfrac{1}{x^{3}}\) 定义域为 \(\{x \mid x \neq 0\}\)，其关于原点对称，

又 \(f(-x)=-f(x)\)，所以函数 \(f(x)\) 为奇函数；

又因为函数 \(y=x^{3}\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增，在 \((-\infty, 0)\) 上单调递增，

而 \(y=\cfrac{1}{x^{3}}=x^{-3}\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递减，在 \((-\infty, 0)\) 上单调递减，

所以函数 \(f(x)=x^{3}-\cfrac{1}{x^{3}}\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增，在 \((-\infty, 0)\) 上单调递增，故选 : \(A\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第11题】已知\(\triangle ABC\)是面积为\(\cfrac{9\sqrt{3}}{4}\) 的等边三角形，且其顶点都在球 \(O\) 的球面上。 若球 \(O\) 的表面积为\(16\pi\)，则 \(O\) 到平面 \(ABC\) 的距离为【\(\quad\)】

$A.\sqrt{3}$ $B.\cfrac{3}{2}$ $C.1$ $D.\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

分析：根据球 \(O\)的表面积和 \(\triangle ABC\) 的面积，可求得球 \(O\) 的半径 \(R\) 和 \(\triangle ABC\) 外接圆半径 \(r\)，由球的性质可知所求距离 \(d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}\)；

解：设球 \(O\) 的半径为 \(R\)， 则 \(4 \pi R^{2}=16 \pi\)， 解得 \(R=2\)，

设 \(\triangle ABC\) 外接圆半径为 \(r\)， 边长为 \(a\)，

由于\(\triangle ABC\) 是面积为 \(\cfrac{9 \sqrt{3}}{4}\) 的等边三角形，

故\(\cfrac{1}{2} a^{2} \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{9 \sqrt{3}}{4}\)，

解得 \(a=3\)，所以\(r=\cfrac{2}{3} \times \sqrt{a^{2}-\cfrac{a^{2}}{4}}=\cfrac{2}{3} \times \sqrt{9-\cfrac{9}{4}}=\sqrt{3}\)，

所以球心 \(O\) 到平面 \(ABC\) 的距离 \(d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{4-3}=1\)，故选：\(C\).

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第12题】若\(2^x-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}\)，则【\(\quad\)】

$A.\ln (y-x+1)>0$ $B.\ln (y-x+1)<0$ $C.\ln|x-y|>0$ $D.\ln|x-y|<0$

分析：要顺利解答本题目，需要先将原不等式作等价转化，\(2^x-3^{-x}<2^{y}-3^{-y}\)，

这样我们就能看到上述不等式的两端，是同结构的，故想到构造函数，

解析：令\(f(t)=2^t-3^{-t}\)，则\(t\in R\)，且\(f(t)\)在\(t\in R\)上单调递增\(y\)\(=\)\(2^t\)为增函数，\(y\)\(=\)\(-3^{-t}\)为增函数，增+增=增，故\(f(t)\)\(=\)\(2^t\)\(-\)\(3^{-t}\)为增函数。单调性的给出方式，

故原不等式等价于\(f(x)<f(y)\)，由\(f(t)\)单调递增，得到\(x<y\)，

故\(y-x>0\)，\(y-x+1>1\)，则\(ln(y-x+1)>0\)；故选\(A\)；

填空题

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第13题】若\(\sin x=-\cfrac{2}{3}\), 则\(\cos2x=\)____________.

分析：由于\(\cos2x=1-2\sin^2x=1-2(-\cfrac{2}{3})^2=\cfrac{1}{9}\)

引申：往年的考法特点请参阅：正切值的给出方式；

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第14题】记\(S_n\)为等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，若\(a_1=-2\)，\(a_2+a_6=2\)，则\(S_{10}\)=___________.

分析：由于\(\{a_{n}\}\)是等差数列，且 \(a_{1}=-2, a_{2}+a_{6}=2\)

设 \(\{a_{n}\}\) 等差数列的公差为 \(d\)，根据等差数列通项公式: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

可得 \(a_{1}+d+a_{1}+5 d=2\)，即: \(-2+d+(-2)+5 d=2\)

整理可得 : \(6d=6\) 解得 : \(d=1\)

根据等差数列前 \(n\) 项和公式: \(S_{n}=n a_{1}+\cfrac{n(n-1)}{2}d\)，\(n\in N^{*}\)

可得 \(S_{10}=10(-2)+\cfrac{10 \times(10-1)}{2}=-20+45=25\)

则\(S_{10}=25\)，故答案为 : \(25\)

引申：往年的考法特点请参阅：数列的考察角度整理Ⅰ

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第15题】若\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\left\{\begin{array}{l}{x+y\geqslant -1}\\{x-y\geqslant -1}\\{2x-y\leqslant 1}\end{array}\right.\)，则\(z=x+2y\)的最大值为___________.

分析：提示\(z=x+2y\)的最大值为\(8\)；示意图如下；

引申：往年的考法特点请参阅：线性规划习题

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第16题】设有下列四个命题:

\(p_{1}\)：两两相交且不过同一点的三条直线两两相交的三条直线的交点个数要么只有一个，要么只有三个，没有只有两个交点的情形；当只有一个交点时，三条直线交于一点，此三条直线要么共面，要么不共面；当交点只有三个时，此三条直线必然共面；必在同一平面内；

\(p_{2}\)：过空间中任意三点有且仅有一个平面；

\(p_{3}\)：若空间两条直线不相交，贝这两条直线平行；

\(p_{4}\)：若直线 \(l\subset\)平面 \(\alpha\)，直线 \(m \perp\) 平面 \(\alpha\)，则 \(m \perp l\)；

则下述命题中所有真命题的序号是___________.

①\(p_1\land p_4\)；\(\quad\) ②\(p_1\land p_2\)；\(\quad\) ③\(\neg p_2\vee p_3\)；\(\quad\) ④\(\neg p_3\vee \neg p_4\)；

详解：对于命题 \(p_{1}\)， 可设 \(l_{1}\) 与 \(l_{2}\) 相交，这两条直线确定的平面为 \(\alpha\)，如图所示，

若\(l_{3}\) 与 \(l_{1}\) 相交，则交点 \(A\) 在平面 \(\alpha\) 内；同理，\(l_{3}\) 与 \(l_{2}\) 的交点 \(B\) 也在平面 \(\alpha\) 内；

所以， \(AB\subsetneqq\alpha\)，即 \(l_{3}\subsetneqq\alpha\)，命题 \(p_{1}\) 为真命题；

对于命题 \(p_{2}\)，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题 \(p_{2}\) 为假命题；

对于命题 \(p_{3}\) ，空间中任意两条直线的位置关系有三种：相交、平行或异面，故命题 \(p_{3}\) 为假命题；

对于命题 \(p_{4}\)，若直线 \(m\perp\) 平面 \(\alpha\)，则 \(m\) 垂直于平面 \(\alpha\) 内所有直线，即命题 \(p_{4}\) 为真命题；

综上可知， \(p_{1}\)，\(p_{4}\) 为真命题，\(p_{2}\)，\(p_{3}\)为假命题；\(p_{1}\wedge p_{4}\)为真命题，\(p_{1}\wedge p_{2}\) 为假命题；\(\neg p_{2}\vee p_{3}\)为真命题， \(\neg p_{3}\vee\neg p_{4}\)为真命题；

故答案为: ①③④.

引申：常用逻辑用语习题