争鸣|函数性质的综合应用辨析

前言

一家之言，难免有挂一漏万之嫌，欢迎各位批评雅正，谢谢合作。

案例分析

【2017天津一中月考】已知定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)满足\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)，且当\(0<x\leq \cfrac{3}{2}\)时，\(f(x)=log_2(3x+1)\)，则\(f(2015)\)=【】

$A.-1$ $B.-2$ $C.1$ $D.2$

资料解法：由\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)和奇函数\(f(-x)=-f(x)\)，

可得到\(f(\cfrac{3}{2}+x)=-f(x)\)，即\(T=3\) ; 周期性

\(f(2015)=f(3\times 672-1)=f(-1)=-f(1)\)，

又由\(0<x\leq \cfrac{3}{2}\)时，\(f(x)=log_2(3x+1)\)，

可得\(f(2015)=-f(1)=-log_2(3\times1+1)=-2\)。故选\(B\);

解后反思：这个题目其实是有问题的，理由如下：

由\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)和奇函数\(f(-x)=-f(x)\)，

可得到\(f(\cfrac{3}{2}+x)=-f(x)\)，即\(T=3\) ;

则\(f(2015)=f(3\times 671+2)=f(2)\)，

由\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)可得，

\(f(2)=f(\cfrac{3}{2}+\cfrac{1}{2})=f(-\cfrac{1}{2})=-f(\cfrac{1}{2})\)

\(=-log_2(3\times \cfrac{1}{2}+1)=-log_2\cfrac{5}{2}\neq -2\)，故没有选项可供选择。

那么哪一个解法对呢？其实本身是这个题目有问题。分析如下：

\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)，说的是函数的对称性，其对称轴是直线\(x=\cfrac{3}{4}\)，

又给定函数满足\(0<x\leq \cfrac{3}{2}\)时，\(f(x)=log_2(3x+1)\)，

可以看出来在\((0，\cfrac{3}{2}]\)上单调递增，

这样的两条性质是不可能同时成立的。