辅助角公式
辅助角公式可以说是三角函数中最高频的考查目标了，所以有必要弄清楚其来龙去脉，使用场景，常用形式等等，烂熟于心，灵活运用才是正道。
前言
辅助角公式在三角变换中的角色太重要了。三角变换中的许多变形都要由这个公式来完成最终的华丽转身，摇身一变为正弦型\(f(x)=A\sin(\omega x+\phi)+k\)或余弦型\(g(x)=A\cos(\omega x+\phi)+k\)，从而完成求周期，求值域、求单调性，求对称性，求奇偶性等等的解题要求。
辅助角公式
变形前的模样：\(3\sin x+4\cos x\)；\(\sin x+\cos x\)；\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm\cfrac{1}{2}cos\theta\)；\(\sqrt{3}sin\theta\pm cos\theta\)；
抽象后的模样：\(a\sin\theta+b\cos\theta\)，其中系数\(a,b\in R\)；一般情形下\(a\neq 0\)，\(b\neq 0\)，
常用变形依据：
\(\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)\)[此处是逆向使用公式；化为正弦型，不容易出错]
\(\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\)[此处是逆向使用公式；化为余弦型，很容易出错]
具体变形过程：[1]
备注：其中辅助角 \(\phi\) 满足条件 \(tan\phi=\cfrac{b}{a}\)，由于有辅助角 \(\phi\) 的参与，使得原来的两种三角函数 \(\sin\theta\) 和 \(\cos\theta\) 的线性表示就可以转化为一种三角函数[正弦或者余弦]，所以这个公式好多人就随口称之为辅助角公式，也有人称为化一公式。此处针对辅助角 \(\phi\) 主要强调其存在性而不是唯一性，比如上述变形的结果 \(\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)\) ，也可以等价写成\(\sqrt{a^2+b^2}\)\(\sin(\theta+2k\pi+\phi)\)，\(k\in Z\)，由于辅助角 \(\phi\) 主要强调其存在性而不是唯一性，由最简原则可知，我们令 \(k=0\) ，即得到结果 \(\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)\)，
在实际学习过程中，如果呆板的利用上述公式，会使得我们的学习变得很被动，我们可以将 \(a\)、\(b\) 中的公因式先提取到最外层，使得 \(a\)、\(b\) 变得更小，更好操作，比如
- 在教学实践中，在使用辅助角公式之前，往往多见先使用下述的三角变换[非常高频的使用]；
二倍角正弦公式的逆用：\(2\sin\theta cos\theta=\sin2\theta\)；
二倍角余弦公式的逆用：\(2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta=\cos2\theta\)；
然后将二者的结果的线性表示\(a\sin2\theta+b\cos2\theta\)，\(a，b\)是其相关的实数系数，再利用辅助角公式化一即可；
- 若题目中出现\(\sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cos(2x+\cfrac{\pi}{3})\)，往往是将\(2x+\cfrac{\pi}{3}\)看做一个整体来变形[此时同时考查三角变换和整体思想]，比如
➊ \(\sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cos(2x+\cfrac{\pi}{3})\)\(=\sqrt{2}[\sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos(2x+\cfrac{\pi}{3})\cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}]\)
\(=\sqrt{2}\sin[(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{4}]\)\(=\sqrt{2}\sin(2x+\cfrac{7\pi}{12})=\sqrt{2}\cos(2x+\cfrac{\pi}{12})\)
➋ \(f(x)=\sin(2x-\theta+\cfrac{\pi}{6})-\sqrt{3}\cos(2x-\theta+\cfrac{\pi}{6})\)
\(=2\sin(2x-\theta+\cfrac{\pi}{6}-\cfrac{\pi}{3})=2\sin(2x-\theta-\cfrac{\pi}{6})\)；
- 注意：形如\(\sin(x+\cfrac{\theta}{2})\cdot\cos(x+\cfrac{\theta}{2})\)的结构，不是使用辅助角公式作变形，原因是其不符合使用条件；
\(\sin(x+\cfrac{\theta}{2})\cdot\cos(x+\cfrac{\theta}{2})=\cfrac{1}{2}\sin(2x+\theta)\)，
高频变形
下述的三角变换在教学实践和各类考试中出现的频次很高，需要我们烂熟于心：
应用场景
应用于三角函数求周长类的题目中，比如
- 在\(\Delta ABC\)中，已知\(\angle A=\cfrac{\pi}{3}\)，求\(\sin B+\sin C\)的取值范围[核心变形，重点理解和掌握]
分析：\(\sin B+\sin C=\sin B+\sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)\)；
\(=\sin B+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\cfrac{1}{2}\sin B\)
\(=\cfrac{3}{2}\sin B+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos B\)
\(=\sqrt{3}(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin B+\cfrac{1}{2}\cos B)\)
\(=\sqrt{3}\sin(B+\cfrac{\pi}{6})\)
应用于三角函数求面积类的题目中，比如
- 在\(\Delta ABC\)中，已知\(\angle A=\cfrac{\pi}{3}\)，求\(sinB\cdot sinC\)的取值范围[核心变形，重点理解和掌握]
分析：\(sinB\cdot sinC=sinB\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)\)；
\(=\sin B(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\cfrac{1}{2}\sin B)\)
\(=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin B\cdot \cos B+\cfrac{1}{2}\sin^2B\)
\(=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\sin2B+\cfrac{1}{4}(2\sin^2B)\)
\(=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\sin2B+\cfrac{1}{4}(1-\cos2B)\)
\(=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\sin2B-\cfrac{1}{4}\cos2B+\cfrac{1}{4}\)
\(=\cfrac{1}{2}(\sin2B\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos2B\cdot\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{4}\)
\(=\cfrac{1}{2}\sin(2B-\cfrac{\pi}{6})+\cfrac{1}{4}\)
需要注意
通过下面的题目，我们可以体会到将 \(a\sin x+b\cos x\) 转化为正弦型的思路不仅使用辅助角公式一种，还可以是使用和差化积转化，也可以是结合诱导来转化，当系数含有根式时，辅助角公式也可能是操作难度最大的一种。
解法1：我们最容易想到的思路，打开整理结合辅助角公式，即
\(f(x)=\sin(4x+\cfrac{\pi}{3})+\sin(4x-\cfrac{\pi}{6})=\cfrac{\sqrt{3}+1}{2}\sin 4x+\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\cos 4x\)
到此，思维暂时受阻，\(\sqrt{(\cfrac{\sqrt{3}+1}{2})^2+(\cfrac{\sqrt{3}-1}{2})^2}=\sqrt{2}\)，\(\sin15^{\circ}=\sin\cfrac{\pi}{12}=\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)，
\(=\sqrt{2}(\sin4x\cdot\cfrac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}{\sqrt{2}}+\cos 4x\cdot\cfrac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sqrt{2}})\)
\(=\sqrt{2}(\sin 4x\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\cos 4x\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})\)
\(=\sqrt{2}(\sin 4x\cos\cfrac{\pi}{12}+\cos 4x\sin\cfrac{\pi}{12})\)
\(=\sqrt{2}\sin(4x+\cfrac{\pi}{12})\)
解法2：使用和差化积公式\(\sin\alpha\)\(+\)\(\sin\beta\)\(=\)\(2\sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\cfrac{\alpha-\beta}{2}\)，此时就能感受到和差化积公式的作用了，以此题为例，第二个因式中没有变量，只剩下角了。
\(f(x)=\sin(4x+\cfrac{\pi}{3})+\sin(4x-\cfrac{\pi}{6})\)
\(=2\sin\cfrac{(4x+\frac{\pi}{3})+(4x-\frac{\pi}{6})}{2}\cos\cfrac{(4x+\frac{\pi}{3})-(4x-\frac{\pi}{6})}{2}\)
\(=2\sin(4x+\cfrac{\pi}{12})\cos\cfrac{\pi}{4}\)
\(=\sqrt{2}\sin(4x+\cfrac{\pi}{12})\)
解法3：使用广义互余公式化简，我们使用比较多的广义互余公式是 \(\sin(\theta+\cfrac{\pi}{6})\)\(=\)\(\cos(\cfrac{\pi}{3}-\theta)\)，其中两个角中字母的系数互为相反数，如 \((\theta+\cfrac{\pi}{6})\)\(+\)\((\cfrac{\pi}{3}-\theta)\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{2}\)，但实际考查中可能是两个角中字母的系数相同，此时它们的和不是 \(\cfrac{\pi}{2}\) ，但是其差\((\theta+\cfrac{\pi}{6})\)\(-\)\((\theta-\cfrac{\pi}{3})\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{2}\)，比如实战中的 \(\sin(4x+\cfrac{\pi}{3})\)\(+\)\(\sin(4x-\cfrac{\pi}{6})\)，两个角 \((4x+\cfrac{\pi}{3})-(4x-\cfrac{\pi}{6})=\cfrac{\pi}{2}\)，此时只要利用关系 \(\sin(4x-\cfrac{\pi}{6})\)\(=\)\(-\cos(4x+\cfrac{\pi}{3})\)，也能简化运算，具体如下
\(f(x)=\sin(4x+\cfrac{\pi}{3})+\sin(4x-\cfrac{\pi}{6})\)
\(=\sin(4x+\cfrac{\pi}{3})+\sin(4x+\cfrac{\pi}{3}-\cfrac{\pi}{2})\)
\(=\sin(4x+\cfrac{\pi}{3})+\sin[(4x+\cfrac{\pi}{3})-\cfrac{\pi}{2}]\)
\(=\sin(4x+\cfrac{\pi}{3})-\cos(4x+\cfrac{\pi}{3})\)
\(=\sqrt{2}\left[\sin(4x+\cfrac{\pi}{3})\cdot\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cos(4x+\cfrac{\pi}{3})\cdot\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right]\)
\(=\sqrt{2}\sin(4x+\cfrac{\pi}{12})\)
相关链接
1.三角函数的值域
为什么能令\(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\phi\)，\(\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\phi\)的原因：
对我们而言，\(-\sqrt{a^2+b^2}\leqslant a\leqslant \sqrt{a^2+b^2}\)，所以有
由于\(-1\leqslant\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\leqslant 1\)，则 \(-1\leqslant\cos\phi\leqslant 1\)，
\(-1\leqslant\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\leqslant 1\)，则 \(-1\leqslant\sin\phi\leqslant 1\)，
且\((\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1\)，又 \(\sin^2\phi+\cos^2\phi=1\)，
故令\(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\phi\)，\(\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\phi\)是完全合理的；
当然，我们也可以令\(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\phi\)，\(\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\phi\)，
不过这样做的话，上述公式的变形过程会有符号的变化，容易出错，
故我们一般利用\(\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)\)来变形，
很少使用\(\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\)； ↩︎
