直二面角与直三面角

前言

二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

详述：平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，每一部分都叫作半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。

二面角也可以看作是从一条直线出发的一个半平面绕着这条直线旋转，它的最初位置和最终位置组成的图形。

二面角的平面角的大小，与其顶点在棱上的位置无关。如果两个二面角能够完全重合，则说它们是相等的．如果两个二面角的平面角相等，那么这两个二面角相等。反之，相等二面角的平面角相等。

平面角：以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

直二面角

定义：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

判断：①利用定义；②利用其平面角；

图形：如图，\(\alpha-l-\beta\)为直二面角，其平面角为\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)；

三面角[超纲]

有公共端点并且不在同一平面内的三条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形叫作三面角，组成三面角的射线叫作三面角的棱；相邻两棱间的平面部分叫作三面角的面；每个面内由两条棱组成的角叫作三面角的面角；相邻两个面间的二面角叫作三面角的二面角。

直三面角是指三个面角都是直角的三面角。直三面角的各个二面角都是直二面角，反之，三个二面角都是直二面角的三面角是直三面角。

分类：单直三面角、双直三面角、三直三面角[俗称墙角]

定义：直三面角是指三个面角都是直角的三面角。

判断：①定义

图形：

典例剖析

如果三棱锥三个侧面两两垂直，证明：三棱锥的三条侧棱也两两垂直。

如图，已知：三棱锥\(O-ABC\)的三个侧面分别为\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)，且\(\alpha\perp\beta\)，\(\alpha\perp\gamma\)，\(\beta\perp\gamma\)，\(\alpha\cap\beta=m\)，\(\alpha\cap\gamma=l\)，\(\beta\cap\gamma=n\)，

求证：\(l\perp m\)，\(l\perp n\)，\(m\perp n\)，

分析：[同一法]过点\(C\)做\(CD\perp \beta\)，垂足为点\(D\)，

由于点\(C\in l\)，点\(C\in \alpha\)，且\(\alpha\perp\beta\)，则\(D\in \alpha\)过一个平面的垂面内一点，做该平面的垂线，则垂线一定在该垂面内；\(\quad\)；

同理，点\(C\in l\)，点\(C\in \gamma\)，且\(\gamma\perp\beta\)，则\(D\in \gamma\)；

由于\(D\in \alpha\)，\(D\in \gamma\)，\(\alpha\cap\gamma=l\)，则点\(D\in l\)，

故点\(D\)和点\(O\)是同一个点，故\(CO\perp\beta\)，即\(l\perp\beta\)；

又\(m\in \beta\)，\(n\in \beta\)，则\(l\perp m\)，\(l\perp n\)，

同理可证\(n\perp m\)，\(n\perp l\)；

综上所述，\(l\perp m\)，\(l\perp n\)，\(m\perp n\)，俗称墙角；

【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论\(a^2+b^2=c^2\)，类比到空间会得到什么结论？

注意：平面内的直角三角形\(\Rightarrow\)空间中的直三面角，如图所示，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)两两垂直，

过点\(P\)做下底面\(ABC\)的垂线，垂足是\(O\)，连接\(AO\)并延长交\(BC\)于点\(D\)，则由\(PA\perp\)面\(PBC\)可知，

\(PA\perp BC\)，从而可知\(AD\perp\) \(BC\)，\(PD\perp\)\(BC\)，

令\(S_{\Delta PAB}=S_1\)，\(S_{\Delta PBC}=S_2\)，\(S_{\Delta PAC}=S_3\)，\(S_{\Delta ABC}=S\)，则有\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)

证明如下：\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=\cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)；

而\(S^2=\cfrac{1}{4}BC^2\cdot AD^2\)，\(BC^2=b^2+c^2\)，\(AD^2=PA^2+PD^2\)，\(PD^2=\cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}(等面积法)\)，

故代入得到\(S^2=\cfrac{1}{4}(b^2+c^2)(a^2+\cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2})=\cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)，故有\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)。

【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论\(cos^2A+cos^2B=1\)，类比到空间会得到什么结论？

注意：平面内的直角三角形\(\Rightarrow\)空间中的直三面角，

如图所示，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)两两垂直，过点\(P\)做下底面\(ABC\)的垂线，垂足是\(O\)，

连接\(AO\)并延长交\(BC\)于点\(D\)，则由\(PA\)\(\perp\)面\(PBC\)可知，\(PA\)\(\perp\)\(BC\)，从而可知\(AD\)\(\perp\)\(BC\)，\(PD\)\(\perp\)\(BC\)，

即\(\angle PDO=\alpha\)为侧面\(PBC\)和下底面\(ABC\)的夹角，同理\(\angle PEO=\beta\)为侧面\(PAB\)和下底面\(ABC\)的夹角，

\(\angle PFO=\gamma\)为侧面\(PAC\)和下底面\(ABC\)的夹角，

则\(cos\alpha=sin\angle PAD=\cfrac{PD}{AD}\)，

故\(cos^2\alpha=sin^2\angle PAD=\cfrac{PD^2}{AD^2}\)\(=\cfrac{\cfrac{1}{4}PD^2\cdot BC^2}{\cfrac{1}{4}AD^2\cdot BC^2}=\cfrac{(S_\Delta PBC)^2}{(S_\Delta ABC)^2}\)；

同理\(cos^2\beta=sin^2\angle PCE=\cfrac{PE^2}{CE^2}=\cfrac{\cfrac{1}{4}PE^2\cdot AB^2}{\cfrac{1}{4}CE^2\cdot AB^2}=\cfrac{(S_\Delta PAB)^2}{(S_\Delta ABC)^2}\)；

故\(cos^2\gamma=sin^2\angle PBF=\cfrac{PF^2}{BF^2}=\cfrac{\cfrac{1}{4}PF^2\cdot AC^2}{\cfrac{1}{4}BF^2\cdot AC^2}=\cfrac{(S_\Delta PAC)^2}{(S_\Delta ABC)^2}\)；

又由上题可知，\((S_\Delta PAC)^2+(S_\Delta PBC)^2+(S_\Delta PAB)^2=(S_\Delta ABC)^2\)，

即\(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=\cfrac{(S_\Delta PAC)^2+(S_\Delta PBC)^2+(S_\Delta PAB)^2}{(S_\Delta ABC)^2}=1\).

故有\(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1\)

【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论\(\cfrac{1}{CD}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)，类比到空间会得到什么结论？

分析：平面内的直角三角形\(\Rightarrow\)空间中的直三面角，

在直角三角形中，用等面积法很容易证明\(\cfrac{1}{CD}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)；

右图中，在直角三角形\(PAD\)中，容易得到\(\cfrac{1}{PO}=\cfrac{1}{PA}+\cfrac{1}{PD}\)；

在直角三角形\(PBC\)中，容易得到\(\cfrac{1}{PD}=\cfrac{1}{PB}+\cfrac{1}{PC}\)；

故有\(\cfrac{1}{PO}=\cfrac{1}{PA}+\cfrac{1}{PB}+\cfrac{1}{PC}\)；