直线参数方程何时必须化为标准形式
直线的参数方程在使用时，为什么要转化为标准形式，何为标准形式，怎么转化为标准形式，都是我们必清楚的问题。
前言
在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：
①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的\(Rt\triangle\)来求解决；
②弦长公式，即\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|\)来求解；
③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；
思路引申
当涉及到的是直线和圆时，此时思路①最简单快捷；但是从思路可移植的角度来思考[比如问题变化为直线和圆锥曲线相交得到的弦长问题]，思路③应该是最值得掌握的思路，此时思路①已经不能用了，思路②的运算量往往比较大，容易出错；
但思路③有个问题，在使用直线的参数方程时，必须要检验其是参数方程的标准形式，否则结果往往会出错；在此有两个问题：其一，为什么使用直线的参数方程的几何意义求弦长问题简单？其二，为什么必须将直线的参数方程的非标准形式转化为标准形式？
问题解析
预备知识：
- 借助一维数轴来理解\(t\)的几何意义
我们知道，一维数轴上的点和实数是一一对应的，如图所示，水平放置的数轴，其上的点\(A\)、\(O\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)分别代表实数\(-2\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)；动点对应的实数标记为\(t\)，那么\(t=2\)就对应点\(C\)，\(t=-2\)就对应点\(A\)，\(t=0\)就对应点\(O\)，\(t=1\)就对应点\(B\)，当变量\(t\)取遍所有的实数，那么动点就能代表数轴上所有的实数。这时候实数\(t\)就是数轴上的动点的一维坐标。
作用：此时若求线段的长度，则线段\(AB=|t_A-t_B|=|-2-1|=3\);线段\(BD=\)\(|t_B-t_D|\)\(=|1-3|\)\(=2\);
接下来，我们利用如下的参数方程[已经是标准形式]来求线段长或弦长；
在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cfrac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)，
问题1：为什么使用直线的参数方程的几何意义求弦长问题简单？
当\(t_0=0\)时，其对于点\(P_0(2，1)\)；当\(t_1=1\)时，其对于点\(P_1(2+\cfrac{\sqrt{2}}{2}，1+\cfrac{\sqrt{2}}{2})\)；
此时求线段\(|P_0P_1|\)的长度，可以用如下的两个思路来求解：
思路①：\(|P_0P_1|=\sqrt{(2+\cfrac{\sqrt{2}}{2}-2)^2+(1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}-1)^2}=\sqrt{(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^2+(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^2}=1\)；
思路②：\(|P_0P_1|=|t_0-t_1|=|0-1|=1\)；
很显然，思路②的运算简单的多，只是好些同学不懂得为什么要这样计算？
很显然，思路 ① 采用的是两个点的二维坐标来运算，而思路 ② 是利用两个点的一维坐标来计算，如上图所示，点\(P_0\)类似于数轴中的原点，那么点\(P_1\)是数轴右方的第一个单位点，点\(P_2\)是数轴右方的第二个单位点，故\(|P_0P_1|\)的长应该是一个单位。故利用一维坐标肯定比二维坐标计算量要小。
问题2：为什么必须将直线的参数方程的非标准形式转化为标准形式？
预备知识：在平面直角坐标系\(xoy\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)，
如上图所示，当\(t_0=0\)时，对应上图中的点\(A(2,1)\)，当\(t_1=1\)时，对应上图中的点\(B(3,3)\)，
此时\(|AB|=\sqrt{(2-3)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}\)；其长度不是一个单位长，故其不是参数方程的标准形式，
在教学实践中，我们常用参数\(t\)前面的两个系数的平方和是否等于\(1\)来判断是否为标准形式；
如上，\(1^2+2^2=5\neq 1\)，故上述的参数方程不是标准形式。
如果直线的参数方程不是标准形式，则其参数\(t\)的几何意义就不是动点到定点的有向线段的数量，类似于我们不用标准的米尺测量人的身高，则测量的身高数据一定是不准确的；故使用前必须保证其为标准形式；
那么，如何将参数方程的非标准形式转化为标准形式呢，请参照下述例题中的具体解法来体会。
- 非标准形式化为标准形式的思路
\(\begin{cases}x=x_0+at=x_0+\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \sqrt{a^2+b^2}t \\y=y_0+bt=y_0+\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \sqrt{a^2+b^2}t\end{cases}(t为参数)\)，
再令\(\sqrt{a^2+b^2}t=m\)，则得到\(\begin{cases}x=x_0+cos\theta m\\y=y_0+sin\theta m\end{cases}(m为参数)\)，这才是标准形式；
此时的参数\(m\)的几何意义才是定点到动点的有向线段的数量。
举例，将非标准形式 \(\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\sqrt{2}t}\\{y=3+\sqrt{2}t}\end{array}\right.\) (\(t\)为参数)， 变形为直线的参数方程的标准形式 \(\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\cfrac{\sqrt{2}}{2}(2t)}\\{y=3+\cfrac{\sqrt{2}}{2}(2t)}\end{array}\right.\) (\(2t\)为参数)
案例分析
解析：将直线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=-\cfrac{\sqrt{3}}{2} t\\y=2+\cfrac{t}{2}\end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)代人曲线方程 \(y^{2}-3 x^{2}=0\)，
得 \(t^{2}-t-2=0\)，解得 \(t_{1}=2\)， \(t_{2}=-1\)，
由参数的儿何意义知，截得的线段长为 \(|t_1-t_2|=|2-(-1)|=3\).
(1)、 求\(\odot C\)的参数方程；
分析：将\(\rho^2=x^2+y^2\)，\(y=\rho\cdot sin\theta\)，代入\(\odot C\)的极坐标方程\(\rho^2-4\rho sin\theta-12=0\)，
得到\(\odot C\)的直角坐标方程为\(x^2+y^2-4y-12=0\)，即\(x^2+(y-2)^2=16=4^2\)，
故\(\odot C\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=2+4sin\theta}\end{array}\right.\) (\(\theta\)为参数，\(\theta\in [0，2\pi)\))。
(2)、求直线\(l\)被\(\odot C\)截得的弦长。
【法1】几何方法，利用\(Rt\Delta\)求解，将直线\(l\)的参数方程消参，得到其普通方程为\(2x-y-3=0\)，
则圆心\((0，2)\)到直线的距离为\(d=\cfrac{|-2-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\)，
则直线\(l\)被\(\odot C\)截得的弦长为\(2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{11}\)。
【法2】弦长公式，设直线和圆的交点为\(A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)\)，
联立得到方程组，\(\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x^2+y^2-4y-12=0}\end{array}\right.\)
消去\(y\)得到，\(x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0\)，整理得到，\(5x^2-20x+9=0\)，
由韦达定理得到，\(x_1+x_2=4\)，\(x_1x_2=\cfrac{9}{5}\)，
由弦长公式得到，\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)\(=\sqrt{1+2^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{5}\sqrt{16-\cfrac{36}{5}}=2\sqrt{11}\)。
【法3】利用直线的参数方程求解，需要先判断参数方程是否为标准形式；若不是，还需要转化为标准形式。
直线\(l\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.(t为参数)\)，
(此时千万要注意，弦长\(|AB|\neq |t_1-t_2|\)，原因是这个参数方程不是标准形式的)
将其做如下的转化，
\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t}\\{y=1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t}\end{array}\right.(t为参数)\)，
令\(\sqrt{5}t=m\)，则其参数方程的标准形式为
\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot m}\\{y=1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot m}\end{array}\right.(m为参数)\)，
[此时参数\(m\)的几何意义才是动点到定点的距离的数量，千万要注意，即弦长\(|AB|=|m_1-m_2|=\sqrt{1^2+2^2}|t_1-t_2|\)]
将直线\(l\)的参数方程的标准形式代入圆的普通方程得到，
\((2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}m)^2+(1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}m)^2-4(1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}m)-12=0\)
整理为\(m^2-11=0\)，令直线和圆的两个交点\(A，B\)分别对应的参数为\(m_1，m_2\)，
则\(m_1+m_2=0\)，\(m_1m_2=-11\)，
此时弦长\(|AB|=|m_1-m_2|=\sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}=\sqrt{4\times 11}=2\sqrt{11}\)。
或者简单求解如下：
将直线\(l\)的参数方程\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.(t为参数)\)，代入圆的普通方程\(x^2+(y-2)^2=4^2\)中，
得到 \((2+t)^2+(2t-1)^2=4^2\)，整理得到\(5t^2-11=0\)，
解得\(t_1=-\cfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\)，\(t_2=\cfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\)，则\(|t_1-t_2|=\cfrac{2\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\)
故\(|AB|=\sqrt{1^2+2^2}|t_1-t_2|=\sqrt{5}\times \cfrac{2\sqrt{11}}{\sqrt{5}}=2\sqrt{11}\);
解后反思：
- 非标准形式化为标准形式的思路
\(\begin{cases}x=x_0+at=x_0+\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \sqrt{a^2+b^2}t \\y=y_0+bt=y_0+\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \sqrt{a^2+b^2}t\end{cases}(t为参数)\)，
再令\(\sqrt{a^2+b^2}t=m\)，则得到\(\begin{cases}x=x_0+cos\theta m\\y=y_0+sin\theta m\end{cases}(m为参数)\)，这才是标准形式；
此时的参数\(m\)的几何意义才是定点到动点的有向线段的数量。
(1). 求曲线 \(C\) 的参数方程以及直线 \(l\) 的极坐标方程.
解析：由 \(\rho=r\)，得到 \(\rho^2=r^2\)，则其普通方程为 \(x^2+y^2=r^2\) ，
则其参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{array}\right.\) (\(\theta\) 为参数) .
直线 \(l\) 的参数方程消参后得到，\(x-y=4\)，将 \(x=\rho\cos\theta\)， \(y=\rho\sin\theta\)代入
得到 \(\rho\cos\theta-\rho\sin\theta=4\)，整理得到 \(\rho\cos(\theta+\cfrac{\pi}{4})=2\sqrt{2}\)，
即直线 \(l\) 的极坐标方程为 \(\rho\cos(\theta+\cfrac{\pi}{4})=2\sqrt{2}\) .
(2). 若点 \(M(4,0)\)，直线 \(l\) 与曲线 \(C\) 交于 \(P\)、 \(Q\) 两点，且 \(\cfrac{1}{|MP|}-\cfrac{1}{|MQ|}=\sqrt{2}\)，求 \(r\) 的值.
解析：将 直线 \(l\) 的参数方程化为标准形式， \(\left\{\begin{array}{l}x=4+\cfrac{\sqrt{2}}{2}n\\y=\cfrac{\sqrt{2}}{2}n\end{array}\right.\) (\(n\) 为参数，且 \(n=\sqrt{2}t\)) .
将其代入曲线 \(C\) 的普通方程 \(x^2+y^2=r^2\)中 ，整理得到 \(n^2+4\sqrt{2}n+16-r^2=0\)，
由于\(r>4\)，故\(\Delta=(4\sqrt{2})^2-4(16-r^2)>0\)，
设点 \(P\)、 \(Q\) 对应的参数分别为 \(n_1\)，\(n_2\)，则由韦达定理可得，
\(n_1+n_2=-4\sqrt{2}<0\)，\(n_1n_2=16-r^2<0\)，由于 \(\cfrac{1}{|MP|}-\cfrac{1}{|MQ|}=\sqrt{2}\)，
则 \(|MP|<|MQ|\)，即 \(|MP|=|n_1|=n_1>0\)， \(|MQ|=|n_2|=n_2<0\)，
\(\cfrac{1}{|MP|}-\cfrac{1}{|MQ|}=\cfrac{|MQ|-|MP|}{|MP||MQ|}=\cfrac{-n_2-n_1}{|n_1n_2|}\)
\(=\cfrac{-(n_1+n_2)}{r^2-16}=\cfrac{4\sqrt{2}}{r^2-16}=\sqrt{2}\)，
解得，\(r=2\sqrt{5}\)(舍去负值)，故\(r=2\sqrt{5}\).
