视角的转换

前言

在高中数学的学习中，有好几个数学素材，需要转化视角来学习和使用。

三角求值

• 视角1：需要将形如\(\theta+\cfrac{\pi}{4}\)的角看成两个角的和；比如下述解法1；三角函数的解答题中常用此视角；

已知\(\sin(\theta-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，则\(\sin2\theta\)的值为【】

$A.\cfrac{7}{9}$ $B.-\cfrac{7}{9}$ $C.\cfrac{2}{9}$ $D.-\cfrac{2}{9}$

[法1]：从数的角度分析，借助三角函数的变换求解；将已知的角看成两个角\(\theta\)和\(\cfrac{\pi}{4}\)的差，

由于\(\sin(\theta-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，即\(\sin\theta\cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cos\theta\cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\),

整理得到，\(\sin\theta-\cos\theta=\cfrac{4}{3}\)，两边平方得到\(1-\sin2\theta=\cfrac{16}{9}\)

则\(\sin2\theta=-\cfrac{7}{9}\)，故选\(B\);

• 视角2：需要将形如\(\theta+\cfrac{\pi}{4}\)的角看成一个整体角；比如下述解法；三角函数的选择或填空题目中多见用此视角；

[法2]：从数的角度分析，借助三角函数的变换求解；将已知的角\(\theta-\cfrac{\pi}{4}\)看成一个整体角，

\(\sin2\theta=\cos(\cfrac{\pi}{2}-2\theta)=\cos2(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cos2(\theta-\cfrac{\pi}{4})\)

\(=1-2\sin^2(\theta-\cfrac{\pi}{4})=1-2\cdot (\cfrac{2\sqrt{2}}{3})^2=-\cfrac{7}{9}\)，故选\(B\);

• 视角3：由数的角度分析转换到从形的角度分析；

[法3]：从形的角度分析，借助三角函数线求解；学生的思路，不太准确；

做平面直角坐标系和单位圆，由\(\sin(\theta-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)可知，

则角\(\theta-\cfrac{\pi}{4}\)的终边位于射线\(OA\)或\(OB\)上，其关于\(y\)轴对称，

将其顺时针旋转\(\cfrac{\pi}{4}\)，得到角\(\theta\)的终边位于射线\(OC\)或\(OD\)上，其关于\(y=-x\)轴对称，

将角\(\theta\)乘以\(2\)倍，则得到角\(2\theta\)的终边位于射线\(OM\)或\(ON\)上，其关于\(y\)轴对称，

结合图像，如果做其正弦线，可知首先排除选项\(A\)，\(C\)，比较选项\(B\)，\(D\)，

可知应该排除\(D\)，而选\(B\)；

垂直平行

【2016江苏高考卷】如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，点\(F\)在侧棱\(BB_1\)上，且\(B_1D\perp A_1F\)，\(A_1C_1\perp A_1B_1\)。

求证：(1)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\). 详细分析过程

证明：因为\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，

则有 \(DE//AC//A_1C_1\)， 故由

\[\left.\begin{array}{l}{DE//A_1C_1}\\{直线 A_1C_1\subset 平面 A_1C_1F}\\{DE\not\subset 平面 A_1C_1F }\end{array}\right\}\Rightarrow 直线DE//平面A_1C_1F \]

备注：关于线面位置的表示符号，已经变换过多次，转换为你所对应使用的版本即可；另外，这种书写形式的逻辑关系非常清晰，建议使用。倒过来就是分析，顺过去就是证明过程。

求证：(2) 平面 \(B_1DE\perp\) 平面 \(A_1C_1F\).

证明1： 结合题目的已知条件，可得

\(\left.\begin{array}{l}{A_1C_1\perp A_1B_1，已知}\\{A_1C_1\perp A_1A，由直三棱柱可知}\\{A_1A\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\cap A_1B=A_1}\end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\perp 平面 ABB_1A_1\)

又由于 \(DE//A_1C_1\)，则 \(DE\perp\) 平面 \(ABB_1A_1\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(ABB_1A_1\)，故 \(DE\perp A_1F\)，即 \(A_1F\perp DE\)，

\(\left.\begin{array}{l}{A_1F\perp B_1D，已知}\\{A_1F\perp DE，已证}\\{B_1D\subset 平面B_1DE}\\{DE\subset 平面B_1DE}\\{B_1D\cap DE=D}\end{array}\right\}\Rightarrow 直线 A_1F\perp平面 B_1DE\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(A_1C_1F\)，故 平面 \(B_1DE\perp\) 平面 \(A_1C_1F\).

证明2： 结合题目的已知条件，可得

\(\left.\begin{array}{l}{A_1C_1\perp A_1B_1，已知}\\{A_1C_1\perp A_1A，由直三棱柱可知}\\{A_1A\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\cap A_1B=A_1}\end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\perp 平面 ABB_1A_1\)

又由于 \(DE//A_1C_1\)，则 \(DE\perp\) 平面 \(ABB_1A_1\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(ABB_1A_1\)，故 \(DE\perp A_1F\)，即 \(A_1F\perp DE\)，

\(\left.\begin{array}{l}{A_1F\perp B_1D，已知}\\{A_1F\perp DE，已证}\\{B_1D\subset 平面B_1DE}\\{DE\subset 平面B_1DE}\\{B_1D\cap DE=D}\end{array}\right\}\Rightarrow 直线 A_1F\perp平面 B_1DE\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(A_1C_1F\)，故 平面 \(A_1C_1F\) \(\perp\) 平面 \(B_1DE\).

体积求解

【2017凤翔中学第二次月考理科第19题】如图，\(\Delta ABC\)和\(\Delta BCD\)所在平面互相垂直，且\(AB=\)\(BC=BD\)\(=2\)，\(\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ}\)，\(E、F、G\)分别是\(AC、DC、AD\)的中点，

(1)求证：\(EF\perp\)平面\(BCG\)

分析提示：只要证明\(AD\perp\)平面\(BCG\)

(2)求三棱锥\(D-BCG\)的体积。

分析：在平面\(ABC\)内，作\(AO\perp BC\)，交\(CB\)延长线于\(O\)，由平面\(ABC\perp BCD\)，可知\(AO\perp 平面BDC\)，

由\(G\)到平面\(BCD\)距离\(h\)是\(AO\)长度的一半，在\(\Delta AOB\)中，\(AO=AB\cdot sin60^{\circ}=\sqrt{3}\)，

故\(V_{D-BCG}\)[视角1，不易求解]=\(V_{G-BCD}\)[视角2，容易求解]

\(=\cfrac{1}{3}S_{\Delta DBC}\cdot h\)\(=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot BC\)\(\cdot sin120^{\circ}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(=\cfrac{1}{2}\).

函数转化

已知\(a\in[-1,1]\)时不等式\(x^2+(a-4)x+4-2a>0\)恒成立，则\(x\)的取值范围是多少？

分析：我们一般习惯上将 \(x^2+(a-4)x+4-2a\) 看成是关于 \(x\) 的一元二次函数，将 \(a\) 看成系数，若变换视角，将主辅元换位，那么 \(x^2+(a-4)x+4-2a\)也可以整理成 \((x-2)a+x^2-4x+4\)，从而不等式的左端也看成关于\(a\)的一次函数，方便我们的解题。

记为\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\)，则由 \(f(a)>0\) 对于任意的 \(a\in[-1,1]\) 恒成立，

只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可，即\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\)，

解得\(x<1\)或\(x>3\)，则\(x\)的取值范围是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).

【2017铜川模拟】不等式\(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\)对于任意的\(a，b\in R\)恒成立，则实数\(\lambda\)的取值范围为_____________。

法1：(将\(b\)和\(\lambda\)看做系数)将不等式转化为\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)对任意的\(a\in R\)恒成立，

则\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)，

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

法2：变量集中策略，当\(b=0\)时，即\(a^2\ge 0\)恒成立，\(\lambda\in R\)；

当\(b\neq 0\)时，原不等式等价于\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)，

令\(\cfrac{a}{b}=t\in R\)，即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)对任意的\(t\in R\)恒成立，

则\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)，

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

综上所述(两种情况取交集)，实数\(\lambda\)的取值范围为\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

向量求解

【2020北京人大附中高一试题】若平面向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)满足\(|\vec{a}+\vec{b}|=1\)，\(\vec{a}+\vec{b}\)平行于\(x\)轴，\(\vec{b}=(2,-1)\)，则\(\vec{a}\)=__________。

法1：将向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)看成两个单个向量，设\(\vec{a}=(x,y)\)，\(\vec{b}=(2,-1)\)，

则\(\vec{a}+\vec{b}=(2+x,y-1)\)，由\(\vec{a}+\vec{b}\)平行于\(x\)轴，可得\(y=1\)

由\(|\vec{a}+\vec{b}|=1\)，可得到\(\sqrt{(2+x)^2+(1-1)^2}=1\)，解得\(x=-1\)或\(x=-3\)，

故\(\vec{a}=(-1,1)\)或\(\vec{a}=(-3,1)\).

法2：将\(\vec{a}+\vec{b}\)视为一个整体，由\(\vec{a}+\vec{b}\)平行于\(x\)轴，则\(\vec{a}+\vec{b}=(1,0)\)或\(\vec{a}+\vec{b}=(-1,0)\);

当\(\vec{a}+\vec{b}=(1,0)\)时，\(\vec{a}=(1,0)-\vec{b}=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)\)；

当\(\vec{a}+\vec{b}=(-1,0)\)时，\(\vec{a}=(-1,0)-\vec{b}=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1)\)；

等体积法

如下图所示，\(OA\)，\(OB\)，\(OC\)两两垂直，求\(V_{O-ABC}\)的体积；

分析：当题目要求，求解\(V_{O-ABC}\)的体积时，我们一般会将\(ABC\)作为底面，然后想到从点\(O\)向底面\(ABC\)引垂线段，求得其长度，即为高线，这是最普通的想法；如果这样想，就没有借助题目中的直三面角[墙角]，如果将\(OBC\)看作底面，则\(OA\)顺势就是三棱锥的高，此时就用到了视角的转化。

\(V_{O-ABC}=V_{A-OBC}=\cfrac{1}{3}\cdot S\cdot h=\cfrac{1}{3}\cdot(\cfrac{1}{2}\cdot OB\cdot OC)\cdot OA\)；

数列通项

已知正项数列\(\{a_n\}\)的\(a_1=1\)，\((n+1)a_{n+1}-na_n=0\)，求数列的通项公式。

法1：如果能将\((n+1)a_{n+1}\)和\(na_n\)都视为整体，则容易知道数列\(\{na_n\}\)是首项为1，公差为0的等差数列，

故\(na_n=1+(n-1)\cdot 0\)，即\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)。

法2：如果变形为\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+1}\)，则可以使用累乘法。

\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=\cfrac{n-1}{n}， \]

\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n-2}{n-1}， \]

\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-3}{n-2}， \]

\[\cdots，\cdots， \]

\[\cfrac{a_2}{a_1}=\cfrac{1}{2}， \]

以上\(n-1\)个式子相乘得到，当\(n\ge 2\)时，

\(\cfrac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\cdot \cdots \cfrac{a_2}{a_1}=\cfrac{n-1}{n} \cdot \cfrac{n-2}{n-1} \cdot\cfrac{n-3}{n-2}\cdot \cdots\cfrac{1}{2}\)，

即\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{1}{n}\)，故\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\ge 2)\)，

当\(n=1\)时，\(a_1=1\)满足上式，故所求通项公式\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)。

超越不等式

求解\(2^x<\)\(\;\;3\)将常数指数化，得到\(3\)\(=\)\(2^{log_23}\)，即\(2^x<2^{log_23}\)，利用指数函数\(y\)\(=\)\(2^x\)的单调性，得到\(x<log_23\)；\(\quad\); 解得\(x<log_23\)；

分析：对于公式，\(a^{log_aN}=N\)，一般都是由左往右使用，其功能是由繁化简；此时是由右往左使用\(N=a^{log_aN}\)[视角转换]，其功能是由简化繁，实现了常数指数化，便于使用指数函数的单调性；

求解\(log_2x<\cfrac{3}{2}=log_22^{\frac{3}{2}}\)；解得\(0<x<2^{\frac{3}{2}}\)

分析：对于公式，\(log_ab^n=n\cdot log_ab\)，一般都是由左往右使用，其功能是由繁化简；此时是由右往左使用\(n\cdot\)\(log_ab\)\(=\)\(log_ab^n\)[视角转换]，其功能是由简化繁，实现了常数对数化，便于使用对数函数的单调性；

【2017铜川模拟】不等式\(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\)对于任意的\(a，b\in R\)恒成立，则实数\(\lambda\)的取值范围为_____________。

法1：(将\(b\)和\(\lambda\)看做系数)将不等式转化为\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)对任意的\(a\in R\)恒成立，

则\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)，

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

法2：变量集中策略，当\(b=0\)时，即\(a^2\ge 0\)恒成立，\(\lambda\in R\)；

当\(b\neq 0\)时，原不等式等价于\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)，

令\(\cfrac{a}{b}=t\in R\)，即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)对任意的\(t\in R\)恒成立，

则\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)，

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

综上所述(两种情况取交集)，实数\(\lambda\)的取值范围为\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

线性规划

\(z=2x+y\) ，即\(z=z(x,y)=2x+y\)，是关于\(x\)和\(y\)的二元函数，

\(y=-2x+z\)，\(z\)是 \(y\)截距，这样就具有了形的特征，

函数与导数

【2021届黄冈八模测试卷一第12题】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}xlnx,&x>0\\x+1,&x\leqslant0\end{array}\right.，\) 若\(x_1\neq x_2\)，且\(f(x_1)\)\(=\)\(f(x_2)\)，则\(|x_1-x_2|\)的最大值为【】

$A.1$ $B.\sqrt{2}$ $C.2$ $D.2\sqrt{2}$

解析：首先做出函数 \(y=f(x)\) 的图像，注意分段函数\(y=x\cdot \ln x\)的图像的做法；用导数判断其单调性，在\((0,\cfrac{1}{e}]\)上单调递减，在\([\cfrac{1}{e},+\infty)\)上单调递增，用方程\(x\cdot \ln x=0\)求解函数的零点\(x=0\)和\(x=1\)；\(\quad\)

则直线 \(y=k\) 和函数 \(y=f(x)\) 的交点的横坐标分别为 \(x_1\) 和 \(x_2\) ，

则原问题转化为求线段 \(|AB|\) 的长度的最大值[视角1]；

由于直线 \(y=x+1\) 的倾斜角为固定角 \(\cfrac{\pi}{4}\)若题目中的直线型函数变化，比如\(y\)\(=\)\(2x\)\(+\)\(1\)，同样的方法和思路可解；\(\quad\)，

则可以将此距离转化为 点\(B(x_2)\) 到直线 \(y=x+1\) 的垂线段的长度[视角2]的 \(\sqrt{2}\) 倍；

而此长度又可以转化为曲线 \(y=x\cdot \ln x\) 上的动点到直线 \(y=x+1\) 的距离的最大值，

此时常将直线 \(y=x+1\) 做斜向平移，到和曲线相切的位置，得到的切点就是所要求的动点[视角3]，

从而和导数建立关联已经掌握的类型；

设斜率为 \(1\) 的直线 \(y=x+m\) 和曲线 \(y=x\cdot \ln x\) 相切于点 \(P(x_0,y_0)\) ，

则由 \(\ln x_0+1=1\)，可得 \(x_0=1\) ，代入 \(y=x\cdot \ln x\) 求得 \(y_0=0\) ，故切点为 \((1,0)\) ；

则点 \((1,0)\) 到直线 \(y=x+1\) 的距离为 \(\sqrt{2}\) ，故所求的距离为 \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) ，故选\(C\).

解后反思：将题目中的直线型函数和曲线型函数稍作变化，就是另外一个题目，解法思路是相同的，转换视角即可求解。

定积分

【2016宝鸡市质量检测一第15题】抛物线\(y^2=x\)与直线\(x-2y-3=0\)围成的平面图形的面积是_____________。

法1：以\(x\)为元积分，

\(S=\displaystyle\int_{0}^{1} [\sqrt{x}-(-\sqrt{x})]\,dx+\displaystyle\int_{1}^{9} (\sqrt{x}-\cfrac{x}{2}+\cfrac{3}{2})\,dx\)

\(=2\cdot\cfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\Big|_0^1+\cfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\Big|_1^9+\cfrac{3}{2}\cdot x\Big|_1^9-\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{x^2}{2}\Big|_1^9\)

\(=\cfrac{32}{3}\)

法2：以\(y\)为元积分，

\(S=\displaystyle\int_{-1}^{3}(2y+3-y^2)\;dy=\cfrac{32}{3}\)