争鸣|一道三角复合函数题目的思辨

前言

一家之言，难免有挂一漏万之嫌，欢迎各位批评雅正，谢谢合作。

题目列举

【案例】已知\(f(\sin x)=\cos15x\)，求\(f(\cos x)\)的值【】

$A.\sin15x$ $B.-\sin15x$ $C.\cos15x$ $D.-\cos15x$

网上解法：由于\(\cos x=\sin(\cfrac{\pi}{2}-x)\)，\(f(\sin x)=\cos15x\)，

故\(f(\cos x)=f[\sin(\cfrac{\pi}{2}-x)]=\cos15(\cfrac{\pi}{2}-x)\)

\(=\cos(7\pi+\cfrac{\pi}{2}-15x)=-cos(\cfrac{\pi}{2}-15x)=-\sin15x\)；故选\(B\)；

有人质疑：由于\(\cos x=\sin(\cfrac{\pi}{2}+x)\)，\(f(\sin x)=\cos15x\)，

故\(f(\cos x)=f[\sin(\cfrac{\pi}{2}+x)]=\cos15(\cfrac{\pi}{2}+x)\)

\(=\cos(7\pi+\cfrac{\pi}{2}+15x)=-cos(\cfrac{\pi}{2}+15x)=\sin15x\)；故也可选\(A\)；

也有人解释：选择选项\(A\)，\(B\)都对；

[问题]上述的解法，到底哪个是正确的，如何解释？

[思辨01]:由于\(f(\sin x)=\cos15x\)，\(x\in R\)，令\(x=0\)，则\(\sin0=0\)，

故\(f(\sin x)=f(\sin0)=f(0)=\cos15\times 0=1\)，按照这样的解释，

令\(x=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\cos \cfrac{\pi}{2}=0\)，故\(f(\cos \cfrac{\pi}{2})=f(0)=1\)，

又当\(x=\cfrac{\pi}{2}\)，由于\(-\sin 15x=-\sin 15\times \cfrac{\pi}{2}=-(-1)=1\)，

而\(\sin 15x=\sin 15\times \cfrac{\pi}{2}=-1\)，故选项\(A\)错误，而选项\(B\)正确；

[思辨02]:由于\(f(\sin x)=\cos15x\)，函数\(y=\sin x\)为奇函数，\(y=\cos15x\)为偶函数，

故外函数\(f(t)\)应该为奇函数，这样得到的复合函数\(f(\sin x)\)才是偶函数，

那么上述的\(f(\sin0)=f(0)=1\)，就是有问题的，原因是外函数\(f(t)\)是奇函数，则应该有\(f(0)=0\)或者\(f(0)=\infty\)[此处可以排除这种情形]；

[思辨03]:即使认定选项\(B\)正确，得到\(f(\cos x)=-\sin 15 x\)，也是能发现其中的错误的，

比如，上式中左端内函数\(y=\cos x\)为偶函数，外函数为奇函数，则复合函数\(f(\cos x)\)为偶函数，而右端\(y=-\sin 15x\) 为奇函数，出现了错误；

[错因初探]有可能题目编制人，在编制题目时只考虑了一个或几个角度，没有或者很难做到考虑到所有的角度，才出现这样的尴尬。