内函数为三角的复合函数的单调性

前言

复合函数中，有一类是内函数为三角函数的复合函数，由于需要提前储备一定的三角函数常识，故作以整理。

知识储备

✍️ 在锐角\(\Delta ABC\)中，则有\(\sin A>\cos B\)，\(\cos A<\sin B\)。

证明：由于在锐角\(\Delta ABC\)中，故\(A+B>\cfrac{\pi}{2}\)，即\(A>\cfrac{\pi}{2}-B\)，

此时\(A\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，\(\cfrac{\pi}{2}-B\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，

而函数\(y=\sin x\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递增的，

故\(\sin A>\sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=\cos B\)，即\(\sin A>\cos B\)，

同理，函数\(y=\cos x\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递减的，

故\(\cos A<\cos(\cfrac{\pi}{2}-B)=\sin B\)，即\(\cos A<\sin B\)。

✍️ 在钝角\(\Delta ABC\)中\(A\)，\(B\)为两个锐角，则有\(\sin A<\cos B\)，\(\cos A >\sin B\)。

证明：由于在钝角\(\Delta ABC\)中，故\(A+B<\cfrac{\pi}{2}\)，即\(A<\cfrac{\pi}{2}-B\)，

此时\(A\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，\(\cfrac{\pi}{2}-B\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，

而函数\(y=\sin x\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递增的，

故\(\sin A<sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB\)，即\(\sin A< \cos B\)，

同理，函数\(y=\cos x\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递减的，

故\(\cos A>\cos(\cfrac{\pi}{2}-B)=\sin B\)，即\(\cos A>\sin B\)。

✍️ 若 \(\sin A<\cos B\)，则 \(\triangle ABC\) 为钝角三角形。

分析：由于 \(\sin A=\cos(\cfrac{\pi}{2}-A)\)，即 \(\cos(\cfrac{\pi}{2}-A)<\cos B\)，且 \(0<B<\cfrac{\pi}{2}\)，

当 \(A>\cfrac{\pi}{2}\) 时，且满足\(\sin A<\cos B\)，此时 \(\triangle ABC\) 为钝角三角形；

当 \(A=\cfrac{\pi}{2}\) 时，且满足\(\sin A<\cos B\)，不可能，故排除\(A=\cfrac{\pi}{2}\)；

当 \(A<\cfrac{\pi}{2}\) 时，由 \(\cos(\cfrac{\pi}{2}-A)<\cos B\)，可得到 \(\cfrac{\pi}{2}-A>B\)，即 \(A+B<\cfrac{\pi}{2}\)，则 \(C>\cfrac{\pi}{2}\)，故 \(\triangle ABC\) 为钝角三角形；

综上所述，若 \(\sin A<\cos B\)，则 \(\triangle ABC\) 为 \(A\) 或者 \(C\) 为钝角的钝角三角形。

由此同理可以得到以下的引申结论：

① 若 \(\cos A<\sin B\)，则 \(\triangle ABC\) 为 \(B\) 或者 \(C\) 为钝角的钝角三角形。[\(A\Rightarrow B\)，\(B\Rightarrow A\)]

② 若 \(\cos B<\sin C\)，则 \(\triangle ABC\) 为 \(B\) 或者 \(C\) 为钝角的钝角三角形。

③ 若 \(\cos A<\sin C\)，则 \(\triangle ABC\) 为 \(B\) 或者 \(C\) 为钝角的钝角三角形。

典例剖析

【2020北京人大附中高一数学试题】定义在\(R\)上的偶函数\(f(x)\)满足\(f(2-x)=f(x)\)，且在\([-3,-2]\)上是减函数，\(\alpha\)，\(\beta\)是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是【\(\qquad\)】

$A.f(\sin\alpha)> f(\cos\beta)$

$B.f(\cos\alpha)< f(\cos\beta)$

$C.f(\cos\alpha)> f(\cos\beta)$

$D.f(\sin\alpha)< f(\cos\beta)$

分析：由偶函数得到\(f(-x)=f(x)\)，又\(f(2-x)=f(x)\)，则\(f(2-x)=f(-x)\)，故周期\(T=2\)；

由于\(f(2-x)=f(x)\)可知\(x=1\)为一条对称轴，又\(f(2-x)=f(4-x)=f(x)\)，故\(x=2\)也为一条对称轴；

结合以上信息，可以做出函数的大致简图，如下所示；

由图可知，\(f(x)\)在\([0,1]\)上单调递增，又\(\sin\alpha\)，\(\cos\beta\in [0,1]\)，且\(\sin\alpha<\cos\beta\)，

故有\(f(\sin\alpha)< f(\cos\beta)\)，选\(D\).

【变式数学试题】定义在\(R\)上的偶函数\(f(x)\)满足\(f(2-x)=f(x)\)，且在\([-3,-2]\)上是减函数，\(\alpha\)，\(\beta\)是锐角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是【】

$A.f(\sin\alpha)> f(\cos\beta)$

$B.f(\cos\alpha)< f(\cos\beta)$

$C.f(\cos\alpha)> f(\cos\beta)$

$D.f(\sin\alpha)< f(\cos\beta)$

分析：由偶函数得到\(f(-x)=f(x)\)，又\(f(2-x)=f(x)\)，则\(f(2-x)=f(-x)\)，故周期\(T=2\)；

由于\(f(2-x)=f(x)\)可知\(x=1\)为一条对称轴，又\(f(2-x)=f(4-x)=f(x)\)，故\(x=2\)也为一条对称轴；

结合以上信息，可以做出函数的大致简图，如下所示；

由图可知，\(f(x)\)在\([0,1]\)上单调递增，又\(\sin\alpha\)，\(\cos\beta\in [0,1]\)，且\(\sin\alpha>\cos\beta\)，

故有\(f(\sin\alpha)> f(\cos\beta)\)，选\(A\).

已知函数\(f(x)=2^x\)，\(a>0\)，\(b>0\)，比较\(f(\cfrac{2ab}{a+b})\)，\(f(\sqrt{ab})\)，\(f(\cfrac{a+b}{2})\)，\(f(\sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}})\)的大小；

分析：\(f(\cfrac{2ab}{a+b})\) \(\leqslant\) \(f(\sqrt{ab})\) \(\leqslant\) \(f(\cfrac{a+b}{2})\) \(\leqslant\) \(f(\sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}})\)