独立性检验

前言

数学原理

\(H_0：\)先假设两个变量\(A\)，\(B\)是无相关关系的，\(\chi^2\)的观测值\(k_0\)越大，则与之对应的假设事件\(H_0\)成立的概率越小，那么\(H_0\)不成立的概率越大，即两个变量相关的概率越大。

表格说明

• 独立性检验中的表格的解读：

\(P\)(\(\chi^2\)\(\geq\)\(k_0\))	\(0.500\)	\(0.400\)	\(0.250\)	\(0.150\)	\(0.100\)	\(0.050\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(\;\;k_0\;\;\)	\(0.455\)	\(0.708\)	\(1.323\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.084\)	\(6.635\)	\(7.897\)	\(10.828\)

• 使用实例：比如计算得到\(\chi^2=8\)，则有\(8>7.897\)，而\(7.897\)对应概率值为\(0.005\)，故有\(1-0.005=99.5\%\)以上的把握认为“两个变量有关”，但还是有低于\(0.5\%\)的判断出错可能性，并不是百分之百。

其他难点

• 记准几个核心参数的位置，不能出错；
• 运算不能出错，参照表格不能使用错误；
• 当题目中没有给出\(2\times 2\) 列联表而需要制作时，此时解题难度上升，因为需要分析题目中的两个变量具体是什么，每个变量的具体取值是什么，弄清楚这些，才能迅速制作列联表。也就是数据的收集、加工、处理等。

运算技巧

• 独立性检验的\(\chi^2\)的计算中，先化简，后计算。

案例1，比如\(\chi^2=\cfrac{105\times(10\times30-20\times45)^2}{55\times 50\times30\times75}\)

\(=\cfrac{21\times(300-900)^2}{11\times 50\times30\times75}\)\(=\cfrac{21\times600\times600}{11\times 50\times30\times75}\)

\(=\cfrac{21\times12\times20}{11\times 1\times 1\times75}\)\(=\cfrac{7\times12\times20}{11\times 1\times 1\times25}\)

\(=\cfrac{7\times12\times4}{11\times 1\times 1\times5}\)\(=\cfrac{336}{55}=6.11\)

案例2，比如\(\chi^2=\cfrac{1000\times(360\times180-320\times 140)^2}{500\times 500\times 680\times 320}\)

分子分母约去\(100\)，分子的平方项下约去\(10\)，则分母位置必须约去\(100\)，得到：

\(\chi^2=\cfrac{1000\times(36\times180-32\times 140)^2}{500\times 5\times 680\times 320}\)

分子分母约去\(100\)，得到：

\(\chi^2=\cfrac{1000\times(36\times18-32\times 14)^2}{5\times 5\times 680\times 320}\)

分子分母约去\(100\)，得到：

\(\chi^2=\cfrac{10\times(36\times18-32\times 14)^2}{5\times 5\times 68\times 32}\)

分子分母约去\(5\)，得到：

\(\chi^2=\cfrac{2\times(36\times18-32\times 14)^2}{5\times 68\times 32}\)

分子分母约去\(16\)，得到：

\(\chi^2=\cfrac{2\times(18\times 9-16\times 7)^2}{5\times 68\times 2}\)

分子分母约去\(4\)，得到：

\(\chi^2=\cfrac{2\times(9\times 9-8\times 7)^2}{5\times 34\times 1}\)

分子分母约去\(2\)，得到：

\(\chi^2=\cfrac{(9\times 9-8\times 7)^2}{5\times 17}\)

\(\chi^2=\cfrac{25\times 25}{5\times 17}\)

\(\chi^2=\cfrac{5\times 25}{17}\approx 7.353\)

• 近似计算的要求和题目中已知数据的精确度保持一致。

典例剖析

“网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了 \(100\) 名男性和 \(100\) 名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额，数据整理如下表，

男性消费金额频数分布表：

消费金额	\(0\sim500\)	\(500\sim1000\)	\(1000\sim1500\)	\(1500\sim2000\)	\(2000\sim3000\)
人数	\(15\)	\(15\)	\(20\)	\(30\)	\(20\)

(1).试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；

解： 由表格知男性平均消费金额为：

\(\bar{x}=0.15\times250+0.15\times750+0.2\times1250+0.3\times1750+0.2\times2500\) \(=1425\)(元)；

由频率分布直方图知女性平均消费金额为：

\(\bar{y}=(2.5\times0.3+7.5\times0.2+12.5\times0.2+17.5\times0.15+22.5\times0.1+27.5\times 0.05)\)\(\times100=1100\)(元)；

(2).如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过 \(200\) 元的消费称作理性消费，试问是否有 \(50\%\) 以上的把握认为理性消费与性别有关?

参考公式：附 \(\chi^2=\cfrac{n\times(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)};\)

\(P(\chi^2\geqslant k_0)\)	\(0.50\)	\(0.40\)	\(0.25\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)
\(k_0\)	\(0.455\)	\(0.708\)	\(1.323\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)

解析：由(1)知女性的消费中位数为 \(1000\) 元[利用等分面积线来计算中位数]，则理性消费区间为 \([800,1200]\) 元，人数为 \(0.04\)\(\times4\)\(\times\)\(100\)\(=\)\(16\) 个，男性的消费中位数为 \(1500\) 元[利用等分面积线来计算中位数]，则理性消费区间理性消费区间为 \([1300,1700]\) 元，人数为 \(0.20\times\cfrac{2}{5}\times 100\)\(+\)\(0.30\times\cfrac{2}{5}\times100\)\(=\)\(20\)个 ，又由于本题目涉及两个变量 “消费特点”和“性别”，其中“消费特点”的值域为理性消费和非理性消费，性别的值域为男和女，故制作填写 \(2\times2\) 列联表如下:

	女性	男性	合计
理性消费	\(16\)	\(20\)	\(36\)
非理性消费	\(84\)	\(80\)	\(164\)
合计	\(100\)	\(100\)	\(200\)

\(\chi^2=\cfrac{200\times(16\times80-84\times20)^2}{100\times 100\times36\times164}\approx 0.5420\)

由于 \(0.5420>0.455\)，所以有 \(50\%\) 以上的把握认为理性消费与性别有关.

【2017全国卷2文科19题理科18题高考真题】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

（1）记\(A\)表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计\(A\)的概率；

分析：本题实质是考查用频率估计概率，所以要会根据频率分布直方图计算频率。

由于“旧养殖法的箱产量低于50kg”的频率为\((0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)\times 5=0.62\)，

故所求概率\(P(A)=0.62\)。

同理得到“新养殖法的箱产量低于50kg”的频率为\((0.004+0.020+0.044)\times 5=0.34\)

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关，参考数据表格如下：

\[\begin{array}{c|lcr} P(\chi^2\ge k_0) & 0.050 &0.010 &0.001 \\ \hline k_0 & 3.841 & 6.635 & 10.828 \end{array}\]

分析：由上问可知，“旧养殖法的箱产量低于50kg”的频数为\(100\times 0.62=62\)，

则“旧养殖法的箱产量不低于\(50kg\)”的频数为\(100-62=38\)，

“新养殖法的箱产量低于\(50kg\)”的频数为\(100\times 0.34=34\)，

则“新养殖法的箱产量不低于\(50kg\)”的频数为\(100-34=66\)，由此得到二列联表如下：

	箱产量<\(50kg\)	箱产量\(\ge 50kg\)	总计
旧养殖法	\(62(a)\)	\(38(b)\)	\(100(a+b)\)
新养殖法	\(34(c)\)	\(66(d)\)	\(100(c+d)\)
总计	\(96(a+c)\)	\(104(b+d)\)	\(200(a+b+c+d)\)

由上表计算得到：

\(\chi^2=\cfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)

\(=\cfrac{200(62\times 66-38\times 34)^2}{(62+38)(34+66)(62+34)(38+66)}=15.705>6.635\)

故有99%以上的把握认为，二者有关联。

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较。

分析：本题目的难点有：到底从哪些角度进行比较？每一个角度下的数值的计算方法。

数据的极差：旧，\(25-70\)；新，\(35-70\)，极差反映了数据的取值范围和数据的几种程度，当然误差是有的；

数据的众数：旧，\(47.5\)；新，\(52.5\)，众数反映了出现次数最多，

数据的平均数：旧，\(47.1\)；新，\(52.35\)，平均数反映了一组数据的平均水平，

数据的方差(标准差)：比较精确的反映了数据的分散和集中程度，将这种程度数量化了。

本题目从运算量和问题出发，可以从数据的范围和数据的中位数(或均值)两个角度作答。

“旧养殖法”的数据分布在\(25-70\)之间，“新养殖法”的数据分布在\(35-70\)之间，

故从数据范围来看，新养殖法的数据更集中，优于旧养殖法；

“旧养殖法”的平均数(中位数)分布在\(40-45\)之间，“新养殖法”的平均数(中位数)分布在\(50-55\)之间，

从平均数(中位数)角度来看，新养殖法也优于旧养殖法。