求回归方程

前言

初级应用

只要理解给定公式的含义，分步骤计算即可得到线性回归方程；此类题目的数据做不做处理都可以计算出来；

【2020宝鸡市质检二文科数学第19题】某调查机构为了了解某产品年产量\(x\)(吨)对价格\(y\)(千元/吨)和利润\(z\)的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：

\(x\)	1	2	3	4	5
\(y\)	7	6	5	4	2

(1).求\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\).

分析：\(\bar{x}=\cfrac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3\)，\(\bar{y}=\cfrac{1}{5}(7+6+5+4+2)=4.8\)，

\(\sum\limits_{i=1}^5{x_iy_i}=1\times7+2\times6+3\times5+4\times4+5\times2=60\)

\(\sum\limits_{i=1}^5{x_i^2}=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55\)

\(\hat{b}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}=\cfrac{60-5\times3\times4.8}{55-5\times 3^2}=-1.2\)，

\(\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\cdot\bar{x}=4.8-(-1.2)\times 3=8.4\).

则\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\hat{y}=-1.2x+8.4\).

[另解:若对数据做一些简单的处理，运算能简单一些]令\(m=y-5\)，则上述表格转化为

\(x\)	1	2	3	4	5
\(m=y-5\)	2	1	0	-1	-3

\(\bar{x}=\cfrac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3\)，\(\bar{m}=\cfrac{1}{5}(2+1+0-1-3)=-0.2\)，

\(\sum\limits_{i=1}^5{x_im_i}=1\times2+2\times1+3\times0+4\times(-1)+5\times(-3)=-15\)

\(\sum\limits_{i=1}^5{x_i^2}=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55\)

\(\hat{b}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}=\cfrac{-15-5\times3\times(-0.2)}{55-5\times 3^2}=-1.2\)，

\(\hat{a}=\bar{m}-\hat{b}\cdot\bar{x}=-0.2-(-1.2)\times 3=3.4\).

则\(m\)关于\(x\)的线性回归方程\(m=-1.2x+3.4\)，又由于\(m=y-5\)，

故\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(y-5=-1.2x+3.4\)，即\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\hat{y}=-1.2x+8.4\).

(2).若每吨该产品的成品为\(2\)千元，假设该产品能全部卖出去，预测当年的年产量为多少时，年利润\(z\)达到最大值？

分析：年利润 = 收入-成本，收入=产量\(\times\)价格；

故年利润\(z=x(8.4-1.2x)-2x=-1.2x^2+6.4x\)，

当\(x=-\cfrac{6.4}{2\times (-1.2)}=\cfrac{8}{3}\)，年利润最大。

\(\Big[\)附参考公式：线性回归系数为\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).\(\Big]\)

中阶应用

添加数据处理的步骤[如果数据不做处理，根本无法计算]，换元后得到线性回归方程；

【2019高三理科数学第二次月考第18题】某地随着经济发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：

年份\(x\)	2011	2012	2013	2014	2015
储蓄存款\(y\)(千亿元)	5	6	7	8	10

为便于计算，将上表做一处理，令\(t=x-2010\)，\(z=y-5\)，得到下表2：

时间代号\(t\)	1	2	3	4	5
\(z\)	0	1	2	3	5

附可能用到的公式：线性回归直线为\(\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}\)，

\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，

\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).

(1)求\(z\)关于\(t\)的线性回归方程。

分析：需要先注意\(z\rightarrow y\;\;\)，\(t\rightarrow x\;\;\)，然后将所给的公式翻译为关于\(z\)和\(t\)的公式，这涉及到数学素养，公式的正向迁移。

由表格可知，\(\bar{t}=3\)，\(\bar{z}=2.2\)， \(\sum\limits_{i=1}^5{t_iz_i}=45\)， \(\sum\limits_{i=1}^5{t_i^2}=55\)，

故\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{t_iz_i-n\cdot\bar{t}\cdot\bar{z}}}{\sum\limits_{i=1}^n{t_i^2-n\cdot\bar{t}^2}}\)，

\(=\cfrac{45-5\times 3\times 2.2}{55-5\times 9}=1.2\)，

\(\widehat{a}=\bar{z}-\widehat{b}\cdot\bar{t}=2.2-3\times 1.2=-1.4\)。

故\(\hat{z}=1.2t-1.4\)。

(2)通过(1)中的方程，求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程。

分析：将\(t=x-2010\)，\(z=y-5\)代入\(\hat{z}=1.2t-1.4\)，

得到\(y-5=1.2\times (x-2010)-1.4\)，

即\(\hat{y}=1.2x-2408.4\)。

(3)用所求的线性回归方程预测，到\(2020\)年底，该地的储蓄存款余额可达到多少？

分析：当\(x=2020\)时，代入\(\hat{y}=1.2x-2408.4\)，

得到\(\hat{y}=1.2\times 2020-2408.4=15.6\)(千亿元)。

相关链接：数据预处理的不同思路，数据预处理

高阶应用

可以线性化的回归方程的情形。

【2018山东济南历城二中一模】为了调查历城区城乡居民的生活水平，随机抽取了\(10\)个家庭，得到第\(i\)\((\)\(i\)\(=\)\(1\)\(,\)\(2\)\(,\)\(\cdots\)\(,\)\(10)\)个家庭月收入\(x_i\)(单位：千元)与月流动资金\(y_{i}\) (单位: 千元)的数据资料如下表，其中 \(\omega_{i}=\sqrt{x_{i}}\)，\(y\) 与 \(x\) 的函数模型 \(y=d+c\sqrt{x}\)，

\(\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}y_{i}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}\omega_{i}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}y_{i}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{10} \omega_{i}y_{i}\)
\(720\)	\(20\)	\(80\)	\(196\)	\(184\)

(1).求方程 \(y=d+c\sqrt{x}\)；

(2).已知某家庭\(9\)月收入为\(9\)千元，该家庭计划用当月流动资金购置价格为\(499\)元的某品牌豆浆机，问计划能否成功?

\(\Big[\)附参考公式：线性回归直线为\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).\(\Big]\)

解：(1).由\(y\)与\(x\)满足函数模型 \(y=d+c\sqrt{x}\)， 则 \(y=d+c\omega\)，

\(\bar{\omega}=\cfrac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}\omega_{i}=8\)， \(\bar{y}=\cfrac{1}{10}\sum_\limits{i=1}^{10}y_{i}=2\)，

\(c=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{10}\omega_{i}y_{i}-10\times\bar{\omega}\cdot\bar{y}}{\sum\limits_{i=1}^{10}\omega_{i}^{2}-10\times{\bar{\omega}}^2}\)

\(=\cfrac{184-10\times 8\times2}{720-10\times8^{2}}=0.3\)，

则 \(d=\bar{y}-c\times\bar{\omega}=2-0.3\times 8=-0.4\)，

所以，\(\widehat{y}=-0.4+0.3\sqrt{x}\)，

(2). 由(1).可知，当 \(x=9\) 时, \(\widehat{y}=-0.4+0.3\times 3=0.5\)(千元)，所以 当某家庭\(9\)月收入为\(9\)千元时，该家庭的月流动资金为\(500\)元，大于\(499\)元，可以购置价格为\(499\)元的某品牌豆浆机.

【2020·广东汕头一模】二手车经销商小王对其所经营的\(A\)型号二手汽车的使用年数 \(x\) 与销售价格 \(y\)（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：

使用年数\(x\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
售价\(y\)	\(20\)	\(12\)	\(8\)	\(6.4\)	\(4.4\)	\(3\)
\(z=\ln y\)	\(3.00\)	\(2.48\)	\(2.08\)	\(1.86\)	\(1.48\)	\(1.10\)

下面是 \(z\) 关于 \(x\) 的折线图：

\(\Big[\)附参考公式：线性回归直线为\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).

样本\((x_i，y_i)(i=1，2，\cdots，n)\)的相关系数\(r=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}\)，

参考数据：\(\sum\limits_{i=1}^{6}x_{i} y_{i}=187.4\)， \(\sum\limits_{i=1}^{6}x_{i}z_{i}=47.64\)， \(\sum\limits_{i=1}^{6} x_{i}^{2}=139\)，\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{6}(x_{i}-\bar{x})^{2}}=4.18\)， \(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{6}(y_{i}-y)^{2}}=13.96\)，\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{6}(z_{i}-z)^{2}}=1.53\)， \(\ln1.46\approx 0.38\)， \(\ln0.7118\approx -0.34\). \(\Big]\)

(1). 由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合 \(z\) 与 \(x\) 的关系应该如何审题？此处不是要求我们判断是否属于线性相关关系，其实质是从形的角度告诉我们这两个变量的关系就是线性相关的，你能否从数的角度通过计算再加以说明；，请用相关系数以说明；

解析：由题意，知 \(\bar{x}=\cfrac{1}{6}\times(2+3+4+5+6+7)=4.5\)，\(\bar{z}=\cfrac{1}{6}\times(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2\)，

又 \(\sum\limits_{i=1}^{6}x_{i}z_{i}=47.64\)， \(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{6}(x_{i}-\bar{x})^{2}}=4.18\)，\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{6}(z_{i}-\bar{z})^{2}}=1.53\)，

故有 \(r=\cfrac{47.64-6\times4.5\times 2}{4.18\times1.53}=-\cfrac{6.36}{6.3954}\approx-0.99\)，

所以 \(z\) 与 \(x\) 的相关系数大约为\(-0.99\)，说明 \(z\)与 \(x\) 的线性相关程度很高.利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系：当\(r＞0\)时，表明两个变量正相关；当\(r＜0\)时，表明两个变量负相关．\(|r|\)越接近于\(1\)，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当\(|r|\geqslant 0.75\)时，我们认为两个变量之间存在着很强的线性相关关系．；

(2). 求\(y\) 关于 \(x\) 的回归方程本题目要求的是\(y\)与\(x\)的方程，为什么先求解\(z\)与\(x\)的方程，原因是\(z\)与\(x\)的线性关系的系数有公式可以使用，而\(y\)与\(x\)之间的关系没有现成的公式可以使用，只能变换得到。，并预测某辆 \(A\) 型号二手车当使用年数为 \(9\) 年时售价为多少；（\(\hat{b}\)、\(\hat{a}\)小数点后保留两位有效数字）

解析：\(\hat{b}=\cfrac{47.64-6\times 4.5\times 2}{139-6\times 4.5^{2}}=-\cfrac{6.36}{17.5}\approx-0.36\)，

所以 \(\hat{a}=\bar{z}-\hat{b}\bar{x}=2+0.36\times 4.5=3.62\)，

所以 \(z\) 与 \(x\) 的线性回归方程是 \(\hat{z}=-0.36x+3.62\)， 又 \(z=\ln y\)，

则 \(y\) 关于 \(x\) 的回归方程是 \(y={e}^{-0.36x+3.62}\)，

令 \(x=9\)，得 \(y={e}^{-0.36 \times 9+3.62}={e}^{0.38}\)，

又由于 \(\ln 1.46 \approx 0.38\)， 则 \(y=1.46\)，

故预测某辆 \(A\) 型号二手车当使用年数为 \(9\) 年时售价约为 \(1.46\) 万元.

(3). 基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于 \(7118\) 元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年.

解析:当 \(y\geqslant 0.7118\)，即 \({e}^{-0.36 x+3.62}\geqslant 0.7118={e}^{\ln0.7118}={e}^{-0.34}\) 时，

则有 \(-0.36 x+3.62 \geqslant-0.34\)， 解得 \(x \leqslant 11\)，

因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过 \(11\) 年.

【2015新课标Ⅰ第19题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费\(x\)(单位：千元)对年销售量\(y\)(单位：t)和年利润\(z\)(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费\(x_i\)和年销售量\(y_i\)(\(i=1，2，…，8\))数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

\(\bar{x}\)	\(\bar{y}\)	\(\bar{w}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{8}{(x_i-\bar{x})^2}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{8}{(w_i-\bar{w})^2}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{8}{(x_i-\bar{x})\cdot(y_i-\bar{y})}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{8}{(w_i-\bar{w})\cdot(y_i-\bar{y})}\)
\(46.6\)	\(563\)	\(6.8\)	\(289.8\)	\(1.6\)	\(1469\)	\(108.8\)

表中\(w_i=\sqrt{x_i}\)，\(\bar{w}=\cfrac{1}{8}\sum\limits_{i=1}^{8}{w_i}\)，

附：对于一组数据\((u_1，v_1)\)，\((u_2，v_2)\)，\(\cdots\)，\((u_n，v_n)\)，其回归直线\(v=\alpha+\beta u\)的斜率和截距的最小二乘估计分别为\(\hat{\beta}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{8}{(u_i-\bar{u})(v_i-\bar{v})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{(u_i-\bar{u})^2}}\)，\(\hat{\alpha}=\bar{v}-\hat{\beta}\bar{u}\)，

（Ⅰ）根据散点图判断，\(y=a+bx\)与\(y=c+d\sqrt{x}\)哪一个适宜作为年销售量\(y\)关于年宣传费\(x\)的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

分析：由散点图可以分析，\(y=c+d\sqrt{x}\)更适宜作为年销售量\(y\)关于年宣传费\(x\)的回归方程类型，图中的变量呈现曲线回归。

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立\(y\)关于\(x\)的回归方程；

分析：令\(w=\sqrt{x}\)，先建立\(y\)关于\(w\)的线性回归方程，

由于\(\hat{d}=\cfrac{108.8}{1.6}=68\)，

则\(\hat{c}=\bar{y}-\hat{d}\bar{w}=563-68\times 6.8=100.6\)，

所以\(y\)关于\(w\)的线性回归方程为\(\hat{y}=100.6+68w\)，

即\(y\)关于\(x\)的线性回归方程为\(\hat{y}=100.6+68\sqrt{x}\).

（Ⅲ）已知这种产品的年利润\(z\)与\(x\)、\(y\)的关系为\(z=0.2y-x\)，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费\(x=49\)时，年销售量及年利润的预报值是多少？

分析：由（Ⅱ）知，年宣传费\(x=49\)时，年销售量的预报值\(\hat{y}=100.6+68\sqrt{49}=576.6\)，

年利润\(z\)的预报值\(\hat{z}=0.2\times 576.6-49=66.32\)。

（ii）年宣传费\(x\)为何值时，年利润的预报值最大？

分析：由（Ⅱ）知，年利润\(z\)的预报值\(\hat{z}=0.2\times (100.6+68\sqrt{x})-x\)

\(=-x+13.6\sqrt{x}+20.12=-[(\sqrt{x})^2-13.6\sqrt{x}]+20.12\)

当\(\sqrt{x}=\cfrac{13.6}{2}=6.8\)时，即当\(x=46.24\)时年利润的预报值最大。

【2021届宝鸡市一检理科数学第19题】自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共11次累计确诊人数(万）.

日期（月/日）	4/09	5/04	5/29	6/23	7/18	8/13
统计时间顺序\(x\)	1	2	3	4	5	6
累计确诊人数\(y\)	43.3	118.8	179.4	238.8	377.0	536.0

日期（月/日）	9/06	10/01	10/26	11/19	12/14
统计时间顺序\(x\)	7	8	910	11
累计确诊人数\(y\)	646.0	744.7	888.9	1187.4	1673.7

(1).将4月9日作为第1次统计，若将统计时间顺序作为变量\(x\)，每次累计确诊人数作为变量\(y\)，得到函数关系\(y=a\cdot e^{bx}\) \((a、b>0)\)，对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值：

\(\bar{x}=6\)， \(\bar{y}=603.09\)， \(\frac{1}{11}\sum\limits_{i=1}^{11}\ln y_{i}=5.98\)， \(\sum\limits_{i=1}^{11}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=15835.70\)，

\(\sum\limits_{i=1}^{11}(x_{i}-\bar{x})(\ln y_{i}-\overline{\ln y})=35.10\)，\(\sum\limits_{i=1}^{11}(x_{i}-\bar{x})^{2}=110\)， \(\sum\limits_{i=1}^{11}(\ln y_{i}-\overline{\ln y})^{2}=11.90\)，

\(e^{4.06}\approx 57.97\)，\(e^{4.07}\approx 58.56\)，\(e^{4.08}\approx 59.15\)，

[附参考公式：线性回归直线为\(\widehat{b}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).]

根据相关数据确定该函数关系式（函数的参数精确到\(0.01\)）；

解析：因为 \(y=a e^{bx}\)，\((a, b>0)\)， 所以 \(\ln y=bx+\ln a\)，

由已知得 \(b=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{11}(x_{i}-\bar{x})(\ln y_{i}-\overline{\ln y})}{\sum\limits_{i=1}^{11}(x_{i}-\bar{x}^{2})}=\cfrac{35.10}{110}=0.32\)，

\(\ln a=\overline{\ln y}-0.32\bar{x}=5.98-0.32\times6\approx 4.06\)，\(a=e^{4.06}\approx 57.97\)，

故所求函数方程为 \(y=57.97e^{0.32x}\)；

(2).经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在河情友作乙即通常有长达\(14\)天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过\(15\)秒，就有可能传染病毒，如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为\(0.3\)，在一次\(36\)人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为\(X\)，求\(X=k\)最有可能[即概率最大]的值是多少.

解析：设余下\(35\)人中被感染的人数为\(X\)， 则 \(X\sim B(35,0.3)\) ，

故\(P(X=k)=C_{35}^{k}\times 0.3^{k}\times 0.7^{35-k}\)， 要使 \(P(X=k)\) 最大，

需\(\left\{\begin{array}{l}P(X=k)\geqslant P(X=k-1) \\ P(X=k) \geqslant P(X=k+1)\end{array}\right.\)

即 \(\left\{\begin{array}{l} C_{35}^{k}0.3^{k}\times 0.7^{35-k} \geqslant C_{35}^{k-1} 0.3^{k-1} \times 0.7^{36-k}\\C_{35}^{k}0.3^{k}\times 0.7^{35-k}\geqslant C_{35}^{k+1}0.3^{k+1}\times 0.7^{34-k}\end{array}\right.\)

即 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{0.3}{k!(35-k)!}\geqslant\cfrac{0.7}{(k-1)!(36-k)!}\\\cfrac{0.7}{k!(35-k)!}\geqslant \cfrac{0.3}{(k+1)!(34-k) !}\end{array}\right.\)

即 \(\left\{\begin{array}{l}10.8-0.3 k \geq 0.7 k\\0.7 k+0.7 \geq 10.5-0.3 k\end{array}\right.\)

解得 \(9.8 \leqslant k \leqslant 10.8\)， 由于 \(k \in N\)， 故\(k=10\)，

所以 \(X=k\) 最有可能[即概率最大]的值为 \(k=10\).

重点考查学生的数学素养，数学公式的正向迁移能力；

【2017全国卷1文科19题高考真题】为了监控某种零件的一条生产线的流程，检验员每隔\(30min\)从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的\(16\)个零件的尺寸：

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	09.95	10.12	09.96	09.96	10.01	09.92	09.98	10.04

抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	09.91	10.13	10.02	09.22	10.04	10.05	09.95

经计算得\(\bar{x}=\cfrac{1}{16}\cdot\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i}=9.97\) ，

\(s=\sqrt{\cfrac{1}{16}\cdot\sum\limits_{i=1}^{16}{(x_i-\bar{x})^2}}=\sqrt{\cfrac{1}{16}(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2-16\bar{x}^2})}\approx 0.212\)，

\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{16}{(i-8.5)^2}}\approx 18.439\)，\(\sum\limits_{i=1}^{16}{(x_i-\bar{x})(i-8.5)}=-2.78\)，

其中\(x_i\)为抽取的第\(i\)个零件的尺寸，\(i=1，2，\cdots，16\) ．

（1）求\((x_i，i)(i=1，2，\cdots，16)\)的相关系数\(r\)，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。(若\(|r|<0.25\) ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．

分析：本题目的难点有：所给公式的正向迁移和破解，

比如\(i\rightarrow y_i\)，即表格中的第一行\(i=1，2，\cdots，16\)，故\(\bar{y_i}=\bar{i}=8.5\)，

这样第一问的计算就没有多大难度了，

\(|r|=\cfrac{|\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}|}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}\)

\(=\cfrac{2.78}{0.212\times\sqrt{16}\times 18.439}\approx 0.18\)<\(0.25\).

故可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在\((\bar{x}-3s，\bar{x}+3s)\) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

分析：\(\bar{x}=9.97，s=0.212\)，故\((\bar{x}-3s，\bar{x}+3s)\)应该为\((9.97-3\times0.212，9.97+3\times0.212)\)，

即\((9.334，10.606)\)，可以看出表格中的第13个数据\(9.22\)不在这个范围内，

本来小概率事件在一次实验中不可能发生，现在竟然真真实实的发生，故可以认为出现异常，应该检查。

（ⅱ）在\((\bar{x}-3s，\bar{x}+3s)\)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

分析：有上一问知道离群值为\(9.22\)，剔除这个值，

则剩余的\(15\)个数值的均值\(\bar{x}_{15}\)应该这样计算：

\(\bar{x}_{15}=\cfrac{16\times9.97-9.22}{15}=10.02\)，

故这条生产线当天生产的零件尺寸的均值大约为\(10.02\)。

计算标准差的分析：由方差公式，要计算剩余的\(15\)个数值的标准差，

需要计算\(\cfrac{1}{15}\sum\limits_{i=1}^{15}{(x_i-\bar{x}_{15})^2}=\cfrac{1}{15}(\sum\limits_{i=1}^{15}{x_i^2}-15\bar{x}_{15}^2)\)，

由于第一个公式没有办法和已知数据有效的链接，故改用第二个公式求解，

为此需要先求\(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2}\)，故可以从\(\sqrt{\cfrac{1}{16}(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2-16\bar{x}_{16}^2})}\approx 0.212\)开始，

分析到此，计算如下：

由\(\sqrt{\cfrac{1}{16}(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2-16\bar{x}_{16}^2})}\approx 0.212\)得到，

\(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2}=16\times 0.212^2+16\times 9.97^2\)；

故\(\sum\limits_{i=1}^{15}{x_i^2}=16\times 0.212^2+16\times 9.97^2-9.22^2=1506.125\)，

则\(\sum\limits_{i=1}^{15}{x_i^2}-15\times\bar{x}_{15}^2=1506.125-15\times10.02^2=0.119104\)；

故\(\cfrac{1}{15}(\sum\limits_{i=1}^{15}{x_i^2}-15\times\bar{x}_{15}^2)\approx 0.008\)，

故所求的标准差\(s_{15}=\sqrt{0.008}\approx 0.09\)，即这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差大约为\(0.09\)。

\(\Big [\)附：样本\((x_i，y_i)(i=1，2，\cdots，n)\)的相关系数

\(r=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}\)，\(\sqrt{0.008}=0.09\) \(\Big ]\)

【反思总结】

准确、深入、全面的理解公式中的每一个字母的含义，做到灵活运用公式，能将公式正向迁移到新的题目中，这是解决本题的关键所在。我们平时的学习决不能仅仅停留在会套用公式的层面上，这样的要求有点低了，不符合现代社会对人的素质的要求了。你不需要担心公式记不住，需要担心的是，给定公式，你到底会不会使用。

考察补充

• 用相关系数 \(r\) 求解 \(\hat{b}\) 的变形记录；

【某题目改编】经计算得到，\(\sum\limits_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2\approx 1320\)，\(\sum\limits_{i=1}^{10}(y_i-\bar{y})^2\approx 3\)，\(\bar{x}=152\)，\(\bar{y}=2.464\)，\((x_i,y_i)\) (\(i=1,2,\cdots,10\))的相关系数为\(r\approx 0.987\)，同时题目给定以下公式：

\(\Big [\)附：样本\((x_i，y_i)(i=1，2，\cdots，n)\)的相关系数\(r=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}\)，\(\sqrt{110}\approx=10.5\) \(\Big ]\)

\(\Big[\)附参考公式：线性回归直线为\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).\(\Big]\)

请利用所给公式与数据建立 \(y\) 关于 \(x\) 的线性回归方程；

解析：由于 \(r=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}\)，

故 \(\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}=r\cdot\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}\)

则 \(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\)

\(=\cfrac{r\cdot\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\)

\(=\cfrac{r\cdot\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}{\Bigg[ \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}} \Bigg]^2}\)

\(=\cfrac{r\cdot \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2}}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}}\)

\(=\cfrac{0.987\times \sqrt{3}}{\sqrt{1320}}=\cfrac{0.987}{2\sqrt{110}}=0.047\)

\(\widehat{a}=2.464-0.047\times 152=-4.68\)，

故所求的线性回归方程为 \(\widehat{y}=0.047x-4.68\).