方程组法求函数的解析式

前言

操作说明：适用于两个自变量整体的积或者和为定值的情形；其本质可以追溯到赋值法；

比如，给定\(f(x)+2f(2-x)=2x+3\)，我们发现两个自变量整体\(x\)和\(2-x\)的和\(x+(2-x)=2\)(\(2\)为常数)，则用\(2\)\(-\)\(x\)替换原方程中的\(x\)，得到\(f(2-x)+2f(x)=2(2-x)+3=7-2x\)，联立两式得到关于 \(f(x)\) 和 \(f(2-x)\) 的方程组，

\[\left\{\begin{array}{l}f(x)+2f(2-x)=2x+3\\f(2-x)+2f(x)=7-2x\end{array}\right. \]

若消去 \(f(2-x)\) ，即可解得 \(f(x)\)； 当然若消去 \(f(x)\)，即可解得 \(f(2-x)\)；

深入思考：那么为什么可以这样操作呢？以上例说明，当你用 \(2-x\) 替换已知方程中的所有 \(x\) 时，原方程中的 \(f(x)\) 变成了 \(f(2-x)\)，而原方程中的 \(f(2-x)\) 变成了\(f[2-(2-x)]\)\(=\)\(f(x)\)，这样我们就得到了以 \(f(x)\) 和 \(f(2-x)\) 为元的二元方程组，解此方程组消去 \(f(2-x)\)，即可求得 \(f(x)\) .

再比如，给定\(f(x)+2f(\cfrac{1}{x})=3x-2\)，我们发现两个自变量整体\(x\)和\(\cfrac{1}{x}\)的乘积\(x\cdot \cfrac{1}{x}=1\)(\(1\)为常数)，则用\(\cfrac{1}{x}\)替换\(x\)，得到另一个方程，\(f(\cfrac{1}{x})+2f(x)=\cfrac{3}{x}-2\)，联立求解\(f(x)\)即可；

基本类型

若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(1-x)=x\)，则\(f(x)\)的解析式为__________.

分析：方程组法，用\(1-x\)替换原方程中的\(x\),得到\(f(1-x)+2f(x)=1-x\)，

联立两式，则有\(\begin{cases}f(x)+2f(1-x)=x\\f(1-x)+2f(x)=1-x\end{cases}\)，

解以\(f(x)\)和\(f(1-x)\)为元的二元一次方程组，

解得\(f(x)=\cfrac{2}{3}-x\);

若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(\cfrac{2}{x})=3x\)，则\(f(x)\)的解析式为__________.

分析：方程组法，用\(\cfrac{2}{x}\)替换原方程中的\(x\),

对应练习

若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(2-x)=x\)，则\(f(x)\)的解析式为__________.

分析：方程组法，用\(2-x\)替换原方程中的\(x\),得到\(f(2-x)+2f(x)=2-x\)，联立两式，解得\(f(x)=?\);

若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(-x)=x+1\)，则\(f(x)\)的解析式为__________.

分析：方程组法，用\(-x\)替换原方程中的\(x\)，

若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(\cfrac{1}{x})=3x\)，则\(f(x)\)的解析式为______.

分析：方程组法，用\(\cfrac{1}{x}\)替换原方程中的\(x\),

已知函数\(f(x)\)的定义域为 \((0,+\infty)\)，且\(f(x)=2f(\cfrac{1}{x})\cdot \sqrt{x-1}\)，则\(f(x)\)=_________;

提示：\(f(x)=\cfrac{2}{3}\sqrt{x}+\cfrac{1}{3}\);

已知定义在\((-1,1)\)内的函数\(f(x)\)满足\(2f(x)-f(-x)=lg(x+1)\)，则\(f(x)\)=_________;

提示：\(f(x)=\cfrac{2}{3}lg(x+1)+\cfrac{1}{3}lg(1-x)\)，\(x\in (-1,1)\).

解后反思：由于两个自变量整体的和或者积为定值，故一旦替换，原来\(A\)位置上就变成了\(B\)，原来\(B\)位置上就变成了\(A\)，这样就构成了方程组，解之即得。

已知函数 \(f(x)\) 满足 \(2f(\cfrac{x-1}{x})+f(\cfrac{x+1}{x})=1+x\) ，则 \(f(x)\) 的解析式为__________.

分析：用 \(-x\) 代换解析式中的 \(x\)，得到 \(2f(\cfrac{x+1}{x})+f(\cfrac{x-1}{x})=1-x\)，

联立求解，得到 \(f(\cfrac{x+1}{x})=\cfrac{1}{3}-x\) ，再用换元法得到，

\(f(x)=\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{x-1}(x\neq 1)\) .

若定义在\(R\)上的偶函数\(f(x)\)和奇函数\(g(x)\)满足\(f(x)+g(x)=e^x\)，则\(g(x)\)= 【\(\qquad\)】

$A.e^x-e^{-x}$ $B.\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ $C.\frac{1}{2}(e^{-x}-e^x)$ $D.\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

分析：由于\(f(-x)=f(x)\)，\(g(-x)=-g(x)\)，

又由于\(f(x)+g(x)=e^x\)①，则\(f(-x)+g(-x)=e^{-x}\)，即\(f(x)-g(x)=e^{-x}\)②，

联立①②解方程，可得\(g(x)=\cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})\)，故选\(D\)。

高阶应用

【2020年陕西省高三数学文质量检测一第12题】已知函数\(f(x)\)对\(\forall x\in R\)均有\(f(x)+2f(-x)\)\(=mx\)\(-\)\(\frac{1}{2}\)，若\(f(x)\)\(\geqslant\)\(\ln x\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围是 【\(\qquad\)】

$A.[1,e]$ $B.(-\infty,-e^{-\frac{5}{6}}]$ $C.(-\infty,\sqrt[3]{e}]$ $D.(\sqrt{e},+\infty)$

法1：从数的角度分析，

由\(f(x)+2f(-x)=mx-\cfrac{1}{2}\)①，

用\(-x\)替换\(x\)得到下式

\(f(-x)+2f(x)\)\(=-mx-\cfrac{1}{2}\)②，

联立①②得到，\(f(x)=-mx-\cfrac{1}{6}\)；

则题目转化为\(-mx-\cfrac{1}{6}\geqslant lnx\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，

分离参数得到，\(-m\geqslant \cfrac{lnx+\frac{1}{6}}{x}\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，

令\(g(x)=\cfrac{lnx+\frac{1}{6}}{x}\)，需要求解\(g(x)\)的最大值;

\(g'(x)=\cfrac{\frac{1}{x}\cdot x-(lnx+\frac{1}{6})}{x^2}=\cfrac{\frac{5}{6}-lnx}{x^2}\)，

当\(x\in (0,e^{\frac{5}{6}})\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

当\(x\in (e^{\frac{5}{6}},+\infty)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，

故\(g(x)_{max}=g(e^{\frac{5}{6}})=\cfrac{lne^{\frac{5}{6}}+\frac{1}{6}}{e^{\frac{5}{6}}}=e^{-\frac{5}{6}}\)

则\(-m\geqslant e^{-\frac{5}{6}}\)，则\(m\leqslant -e^{-\frac{5}{6}}\)，故选\(B\)。

法2：从形的角度分析，

由\(f(x)+2f(-x)=mx-\cfrac{1}{2}\)①，

用\(-x\)替换\(x\)得到下式

\(f(-x)+2f(x)\)\(=-mx-\cfrac{1}{2}\)②，

联立①②得到，\(f(x)=-mx-\cfrac{1}{6}\)；

则题目转化为\(-mx-\cfrac{1}{6}\geqslant lnx\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，

即\(-mx\geqslant lnx+\cfrac{1}{6}\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，

设直线\(y=-mx\)与曲线\(y=lnx+\cfrac{1}{6}\)相切于点\((x_0，y_0)\)，

则有\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{1}{x_0}=-m}\\{y_0=lnx_0+\cfrac{1}{6}}\\{y_0=-mx_0}\end{array}\right.\)，解得，\(x_0=e^{\frac{5}{6}}\)，\(y_0=1\)，

故相切时的斜率为\(k=\cfrac{y_0}{x_0}=\cfrac{1}{e^{\frac{5}{6}}}=e^{-\frac{5}{6}}\)，

若要满足\(-mx\geqslant lnx+\cfrac{1}{6}\)恒成立，必须满足\(-m\geqslant e^{-\frac{5}{6}}\)

则\(m\leqslant -e^{-\frac{5}{6}}\)，故选\(B\)。