不等式性质

公式定理💯随心记

【实数指数幂的运算法则】$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$(a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}$；$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$；$(\cfrac {a}{b})^n=\cfrac {a^n}{b^n}=a^n\cdot b^{-n}$；($a>0$，$b>0$，$m，n\in R$)

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前情概要

不等式的性质，在初次学习时，让我们感觉看似不起眼，但是她是不等式的最基础的东西，所有不等式的错误几乎都能从不等式的性质中找到源头 .

实数大小

任给两个实数，则其大小关系只能是以下三种中的某一种。

①$a>b\Leftrightarrow a-b>0$;

②$a=b\Leftrightarrow a-b=0$;

③$a<b\Leftrightarrow a-b<0$;

以上也是作差法的理论依据。由此我们得到比较任意两个实数大小的基本方法 ----- 作差法。

• 作差法：$\left\{\begin{array}{l}{a-b>0 \Leftrightarrow a>b}\\{a-b=0 \Leftrightarrow a=b}\\{a-b<0 \Leftrightarrow a<b}\end{array}\right.(a,b\in R)$

注意：作差法对作差的两个实数没有限制；可用于代数式大小比较，函数或数列的单调性判断；

• 作商法：$\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{a}{b}>1 \Leftrightarrow a>b}\\{\cfrac{a}{b}=1 \Leftrightarrow a=b}\\{\cfrac{a}{b}<1 \Leftrightarrow a<b}\end{array}\right.(a,b\in R；b>0)$

注意：作商法对作商的两个实数有限制；可用于代数式大小比较，函数或数列的单调性判断；

性质列举

①对称性：$a>b\Leftrightarrow b<a$；

②传递性：$a>b，b>c\Rightarrow a>c$；

③同加性：$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$；

④同乘性：$a>b$，$c>0$ $\Rightarrow$ $ac>bc$；$a>b$，$c<0$ $\Rightarrow$ $ac<bc$；

⑤同向可加性：$a>b$，$c>d$ $\Rightarrow$ $a+c>b+d\;$ 这是个单向箭头，即前者是后者的充分不必要条件，我们有时候会将其错误理解为充要条件从而出错。比如我们用具体数字举例说明， $\left\{\begin{array}{l}{1\leqslant a\leqslant 2}\\{3\leqslant b\leqslant 4}\end{array}\right.$ 可以得到 $4\leqslant a+b\leqslant 6$ ，但是由 $4\leqslant a+b\leqslant 6$ 并不能得到 $1\leqslant a\leqslant 2$ ，$3\leqslant b\leqslant 4$，也许是 $0\leqslant a\leqslant 1$ ，$4\leqslant b\leqslant 5$，或者其他的情形。更多参阅；

⑥同向同正可乘性：$a>b>0$，$c>d>0$ $\Rightarrow$ $ac>bd$ 我们将 $a>b$，$c>d$ 这样的不等式称为同向不等式，两个同向不等式可以对应相加，但不能对应相减，比如 $1<a<2$，$3<b<4$，是同向不等式，若相减就得到 $-2<a-b<-2$ 的错误；；

⑦正数的可乘方性：$a>b>0$ $\Rightarrow$ $a^n>b^n\;\; (n\in N,n\geqslant 2)$；

⑧正数的可开方性：$a>b>0$ $\Rightarrow$ $\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}\;\; (n\in N,n\geqslant 2)$；

注意：以上性质的证明可以采用作差法和已证明的性质做基础来证明，同时注意，性质①③是充要条件，其他的性质都是充分不必要条件，使用时要引起足够的重视。

性质拓展

• 主要涉及函数 $y=\cfrac{1}{x}$ 的性质应用，

① $a>b$，$ab>0$，则 $\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}$；也称为倒数法则。

② $a<0<b$，则 $\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}$；

③ $0<a<x<b$ 或 $a<x<b<0$，则 $\cfrac{1}{b}<\cfrac{1}{x}<\cfrac{1}{a}$；

• 真分数性质

若 $a>b>0$，$m>0$，则 $\cfrac{b}{a}<\cfrac{b+m}{a+m}$，$\cfrac{b}{a}>\cfrac{b-m}{a-m}$；

说明：上述性质的证明可以使用作差法，简单的解释可以使用糖水定律说明，$\cfrac{b}{a}$ 为未加糖的糖水浓度 [甜度]，$m$ 为糖，$\cfrac{b+m}{a+m}$ 为加糖后的糖水浓度 [甜度]，生活常识告诉我们，越加糖，水越甜，用数学解释为 $\cfrac{b+m}{a+m}$$>$$\cfrac{b}{a}$；

• 假分数性质

若 $a>b>0$，$m>0$，$b-m>0$，则 $\cfrac{a}{b}>\cfrac{a+m}{b+m}$，$\cfrac{a}{b}<\cfrac{a-m}{b-m}$；

说明：上述性质的证明可以使用作差法；

典例剖析

求解 $2\leqslant 2\sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}}\leqslant 6$

分析：约分，得到 $1\leqslant \sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}} \leqslant 3$，

两边平方，得到 $1\leqslant 9-\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9$，

两边同加 $-9$，得到 $-8=1-9\leqslant -\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9-9=0$，

两边同乘以 $-1$，得到 $0\leqslant \cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 8$，

整理为 $0\leqslant|2+a|^2\leqslant 16$，

两边同时开平方，得到 $0\leqslant|2+a|\leqslant 4$，

即 $|a+2|\leqslant 4$，即 $-4\leqslant a+2\leqslant 4$，

解得，$-6\leqslant a\leqslant 2$；

减法由加法得到，除法由乘法得到；

$a>b$，$c<d$，则 $-c>-d$，故 $a-c>b-d$；

$a>b>0$，$c>d>0$，则 $\cfrac{1}{d}>\cfrac{1}{c}>0$，故 $\cfrac{a}{d}>\cfrac{b}{c}>0$；

已知 $\cfrac{2}{3}\leq x\leq\cfrac{5}{3}$， $-1\leq y\leq 1$， 则 $8^{x}\cdot(\cfrac{1}{2})^{y}$ 的取值范围是 【$\qquad$】

$A.[2^{3}, 2^{4}]$ $B.[2, 2^{6}]$ $C.[\cfrac{1}{2}, 2^{6}]$ $D.[2, 2^{7}]$

详解： $8^{x}\cdot(\cfrac{1}{2})^{y}=2^{3x}\cdot 2^{-y}=2^{3x-y}$，

因为 $\cfrac{2}{3}\leqslant x \leqslant \cfrac{5}{3}$， $-1 \leqslant y\leq 1$，

$2 \leqslant 3x \leqslant 5$，$-1 \leqslant -y \leqslant 1$，

$1\leqslant 3x-y\leqslant 6$，$8^{x}\cdot(\cfrac{1}{2})^{y}=2^{3x}\cdot 2^{-y}=2^{3x-y}\in[2,2^{6}]$， 故选 $B$.

$-3\times\cfrac{1}{(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9(x+\frac{2}{3})}-\cfrac{10}{3}}$ $\geqslant$ $-3$$\times$ $\cfrac{1}{2\sqrt{\cfrac{16}{9}}-\cfrac{10}{3}}$$=$$\cfrac{9}{2}$ 是如何变形得到的？

解：上述部分摘录于源题， 源题详述

由源题和均值不等式可知，$0<x<2$ 且 $x+\cfrac{2}{3}>0$，

令 $m(x)=x+\cfrac{16}{9x}$，则 $m(x)$ 在 $(0,\cfrac{4}{3}]$ 上单调递减，在 $[\cfrac{4}{3},+\infty)$ 上单调递增，

故 $m(x+\cfrac{2}{3})=(x+\cfrac{2}{3})+\cfrac{16}{9(x+\frac{2}{3})}=g(x)$ 在 $(0,\cfrac{2}{3}]$ 上单调递减，在 $[\cfrac{2}{3},+\infty)$ 上单调递增，

故 $g(x)_{\max}=\max\{g(0),g(2)\}=\cfrac{10}{3}$

由于 $(x+\cfrac{2}{3})+\cfrac{16}{9(x+\frac{2}{3})}\geqslant 2\sqrt{\cfrac{16}{9}}$，

即 $0>(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9(x+\frac{2}{3})}-\cfrac{10}{3}\geqslant 2\sqrt{\cfrac{16}{9}}-\cfrac{10}{3}$，

则由倒数法则可知，$\cfrac{1}{(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9(x+\frac{2}{3})}-\cfrac{10}{3}}\leqslant\cfrac{1}{2\sqrt{\cfrac{16}{9}}-\cfrac{10}{3}}$，

两边同时乘以 $-3$ 得到，$-3\times\cfrac{1}{(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9(x+\frac{2}{3})}-\cfrac{10}{3}}$ $\geqslant$ $-3$$\times$ $\cfrac{1}{2\sqrt{\cfrac{16}{9}}-\cfrac{10}{3}}$$=$$\cfrac{9}{2}$ ，变形结束 .