求数列通项公式的小众方法

公式定理💯随心记

【三角函数诱导公式】文字语言：奇变偶不变，符号看象限。符号语言：$\sin (\cfrac {\pi}{2}\pm\alpha)=\cos\alpha$；$\cos (\cfrac {\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$；$\tan (\cfrac {\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\cot\alpha$

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前言

以下的这些求数列的通项公式的方法都比较小众，不是主流的高考考查方法，在此只是作以整理；

不动点法

山东的一位老师提供，不动点法说明：【百度】

若 $f(x)=x$，则称 $x$ 为方程的不动点；

令 $x=\cfrac{1}{2}(x+\cfrac{1}{x})$，则 $x^2=1$，解得 $x=\pm 1$ 是 $f(x)=\cfrac{1}{2}(x+\cfrac{1}{x})$ 的两个不动点；

典例剖析

已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，$a_{n+1}=\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

分析：$\cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=\cfrac{\frac{1}{2}\cdot \frac{a_n^2+1}{a_n}+1}{\frac{1}{2}\cdot \frac{a_n^2+1}{a_n}-1}=\cfrac{a_n^2+2a_n+1}{a_n^2+2a_n+1}=\big(\cfrac{a_n+1}{a_n-1}\big)^2$，

令 $b_{n+1}=\cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}$，则上述表达式变形为 $b_{n+1}=b_n^2$，

对上式两边同时取常用对数，得到 $lg b_{n+1}=2lg b_n$，

又由于 $b_1=\cfrac{a_{1}+1}{a_{1}-1}=\cfrac{2+1}{2-1}=3$，则 $lgb_1=lg3$，

则数列 $\{lg b_n\}$ 为等比数列，首项为 $lg3$，公比为 $2$，

故有 $lg b_n=(lgb_1)\cdot 2^{n-1}=(lg3)\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}lg3=lg3^{2^{n-1}}$，

故 $b_n= 3^{2^{n-1}}$，即 $\cfrac{a_n+1}{a_n-1}= 3^{2^{n-1}}$，

解得，$a_n=\cfrac{3^{2^{n-1}}+1}{3^{2^{n-1}}-1}$；

其他方法

• 赋值法，如 $a_{n+m}=a_n\cdot a_m$，令 $m=1$ 即 $a_{n+1}=a_1\cdot a_n$，不就是等比数列嘛；
• 赋值法，如 $a_{n+m}=a_n+a_m$，令 $m=1$ 即 $a_{n+1}=a_n+a_1$，不就是等差数列嘛；
• 取对数法，如 $a_{n+1}=p\cdot a_n^m$，p，m 为常数，两边取对数构造等比数列。(考查概率很小很小)
• 解方程法，如 $a_n^2-2n\cdot a_n - 1 = 0$，$a_n>0$，解方程即可。 (考查概率很小很小)