等差等比数列通项公式的高阶应用
前言
等差数列的通项公式\(a_n=a_1+(n-1) d\)，拓展公式为\(a_n=a_m+(n-m)d\)，本博文探讨拓展公式的高阶应用，并说明如何防止出错；
案例分析
- 给定一个等差数列\(\{a_n\}\)，\(a_1=1\)，\(d_0=2\)，
则我们容易知道，\(a_1=1\)，\(a_2=3\)，\(a_3=5\)，\(a_4=7\)，\(a_5=9\)，\(a_6=11\)，\(a_7=13\)，\(a_8=15\)，\(a_9=17\)，\(a_{10}=19\)，\(\cdots\)，
那么\(a_9=a_1+(9-1)\times 2=17\)，也可以这样计算\(a_9=a_3+(9-3)\times 2=5+12=17\)；
那么从上述数列中的\(a_1\)开始，每间隔两项抽出来的数列，肯定也是等差数列。
比如\(a_1\)，\(a_4\)，\(a_7\)，\(a_{10}\)，\(\cdots\)，该数列的首项为\(a_1\)，公差为\(d_1=3\times d_0=6\)，
【问题】该如何计算此数列的通项公式呢？
思考一：是这样的吗？\(a_n=a_1+(n-1)\times 6=6n-5\)，
回答：错误，上述通项公式，只能计算第一项，从第二项开始就是错误的；它没有注意到数列的下标特征，
思考二：注意到下标特征，故这些项应该统一用\(a_{3k+1}\)来表达刻画，那么通项公式应该是\(a_{3k+1}=a_1+[(3k+1)-1]\times 6=18k+1\)吗？
回答：错误，用上述的通项公式计算的\(a_4=73\)，是错误的；
思考三：上述的通项公式是用拓展公式计算的，难道拓展公式错了？
回答：拓展公式没错，只是使用出错了，上述所乘的公差应该是\(d_0\)，不应该是\(d_1\)，因为下标\(3k+1\)是跳着取值的，
思考四：是这样的吗？\(a_{3k+1}=a_1+[(3k+1)-1]\times 2=6k+1\)
回答：是这样的，你可以验证一番，当\(k=0\)时，\(a_1=1\)，当\(k=1\)时，\(a_4=7\)，当\(k=2\)时，\(a_7=13\)，
思考五：为什么是这样的呢？
回答：当用\((3k+1)-1\)来计算相间隔的项数时，这个间隔项数只能和公差\(2\)配套使用，故所乘的公差应该是原来的公差\(d_0\)；
思考六：还可以怎么计算呢？
回答：先不管通项公式的左端，先计算右端，得到\(a_1+(n-1)\times 6=6n-5\)，接下来的难点是\(a_{?}=6n-5\)；由于右端的\(n\geqslant 1\)，故在刻画新数列的下标时，不能用\(3n+1\)，而应该用\(3n-2\)，这两种表达方式之间差了一位；当\(n=1\)时，\(3n+1=4\)，而\(3n-2=1\)，故通项公式可以写为\(a_{3n-2}=6n-5\)；
思考七：还可以怎么计算呢？
回答：先考虑通项公式的左端为\(a_{3k-2}\)，再考虑右端，右端应该是\(a_1+\cfrac{[(3k-2)-1]}{3}\times 6=6k-5\)，此时相当于公差不变，但是项数要变化；由于是相隔\(3\)项才取出来一项，故除以\(3\)，这样就把没有取到的项自动舍去了，故所求通项公式为\(a_{3k-2}=6k-5\)；
总结：简言之，先确定下标为\(3n-2\)，则通项公式的左端确定为\(a_{3n-2}\)，右端类比等差数列的通项公式，确定公差为\(6\)，再确定项的间隔数\(\cfrac{(3n-2)-1}{3}=n-1\)，
故通项公式为\(a_{3n-2}=1+\cfrac{(3n-2)-1}{3}\times 6=1+(n-1)\times 6=6n-5\)；
典例剖析
(1)证明：\(a_{n+2}-a_n=\lambda\)；
分析：先想办法消掉\(S_n\)类，让条件中只剩下\(a_n\)类，故求解如下：
由题设知道，\(a_na_{n+1}=\lambda S_n-1\)①，
则有\(a_{n+1}a_{n+2}=\lambda S_{n+1}-1\)②，
②-①得到，\(a_{n+1}a_{n+2}-a_na_{n+1}=\lambda(S_{n+1}-S_n)\)
即\(a_{n+1}(a_{n+2}-a_n)=\lambda a_{n+1}\)
由于\(a_{n+1}\neq 0\)，约掉\(a_{n+1}\)得到，
\(a_{n+2}-a_n=\lambda\)；
【注意】上式表明，数列\(\{a_n\}\)中，奇数项成等差数列，首项为\(a_1\)，公差为\(\lambda\)；
偶数项成等差数列，首项为\(a_2\)，公差为\(\lambda\)；
(2)是否存在\(\lambda\)，使得\(\{a_n\}\)为等差数列，并说明理由。
分析：存在满足题意的实数\(\lambda\)，使得数列\(\{a_n\}\)成等差数列，理由如下：
由题设可知，\(a_1=1\)，令\(n=1\)，则\(a_1a_2=\lambda S_1-1\)，解得\(a_2=\lambda-1\)；
又由\(a_{n+2}-a_n=\lambda\)可知，当\(n=1\)时，\(a_3=\lambda+1\)，
令\(2a_2=a_1+a_3\)，即\(2(\lambda-1)=1+\lambda+1\)，解得\(\lambda=4\)，
故\(a_{n+2}-a_n=4\)，且可知
数列\(\{a_{2n-1}\}\)是首项为\(a_1=1\)，公差为\(4\)的等差数列，\(a_{2n-1}=4n-3\)；
\(a_{2n-1}=1+\cfrac{[(2n-1)-1]}{2}\times 4=4n-3=2(2n-1)-1\)
数列\(\{a_{2n}\}\)是首项为\(a_2=3\)，公差为\(4\)的等差数列，\(a_{2n}=4n-1\)；
\(a_{2n}=3+\cfrac{(2n-2)}{2}\times 4=4n-1=2(2n)-1\)
所以\(a_n=2n-1\)，\(n\in N^*\)，即\(a_{n+1}-a_n=2\)。[1]
因此存在满足题意的实数\(\lambda\)，使得数列\(\{a_n\}\)成等差数列。
分析：由已知\(a_n^2a_{n+1}+a_na_{n+1}^2=2^na_n+2^na_{n+1}\)，
变形得到\(a_na_{n+1}\cdot (a_n+a_{n+1})=2^n\cdot (a_n+a_{n+1})\)，
由于\(a_n+a_{n+1}>0\)，两边约分得到，\(a_na_{n+1}=2^n\)①，
仿照①式，构造得到\(a_{n+1}a_{n+2}=2^{n+1}\)②，
则由\(\cfrac{②}{①}\)相比得到，\(\cfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=2\)；
又由\(a_1=1\)，\(a_n^2a_{n+1}\)\(+a_na_{n+1}^2\)\(=\)\(2^na_n+\)\(2^na_{n+1}\)，
令\(n=1\)，得到\(a_1^2a_{2}\)\(+a_1a_{2}^2\)\(=\)\(2^1a_1+\)\(2^1a_{2}\)，解得\(a_2=2\)(舍去\(a_2=-1\))，
辅助说明，数列的各项的值如下图所示：
| \(a_1=1\) | \(a_3=2\) | \(a_5=4\) | \(a_7=8\) | \(a_9=16\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(a_2=2\) | \(a_4=4\) | \(a_6=8\) | \(a_8=16\) |
故数列\(\{a_n\}\)的奇数项是以\(a_1=1\)为首项，\(q=2\)为公比的等比数列；
数列\(\{a_n\}\)的偶数项是以\(a_2=2\)为首项，\(2\)为公比的等比数列；
[为了便于表达，我们采用先分后合的策略来分析，即先分析奇数项的通项公式，后分析偶数项的通项公式，]
当\(n=2k-1\)时，则\(a_{2k-1}=a_1\cdot 2^{\frac{2k-1-1}{2}}=1\cdot 2^{k-1}=2^{k-1}=2^{\frac{(2k-1)-1}{2}}\)，[2]
当\(n=2k\)时，则\(a_{2k}=a_2\cdot 2^{\frac{2k-2}{2}}=2\cdot 2^{k-1}=2^{k}=2^{\frac{2k}{2}}\)，
故所求的通项公式为\(a_n=\left\{\begin{array}{l}{2^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{2^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.\)
则\(S_{10}=(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)+(a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10})\)
\(=\cfrac{1\cdot(1-2^5)}{1-2}+\cfrac{2\cdot(1-2^5)}{1-2}=93\)；
解析： 因为 \(2S_{n}=a_{n+1}a_{n}\) ①，
由于 \(a_{1}=1\)，当 \(n=1\) 时， \(2a_{1}=a_{2}\cdot a_{1}\)， 得 \(a_{2}=2\)，
当 \(n \geqslant 2\) 时， \(2S_{n-1}=a_{n}a_{n-1}\) ②，
由① - ② 得， \(2a_{n}=a_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})\)，
又因为\(2S_{n}=a_{n+1}a_{n}\)，可得 \(a_{n}\neq 0\), 从而 \(a_{n+1}-a_{n-1}=2\)，
当 \(n\) 为奇数时，数列 \(\{a_{n}\}\) 是以 \(1\) 为首项， \(2\) 为公差的等差数列，
故 \(a_{2n-1}=1+[(2n-1)-1]\times \cfrac{2}{2}=2n-1\)；
当 \(n\) 为偶数时，数列 \(\{a_{n}\}\) 是以 \(2\) 为首项， \(2\) 为公差的等差数列，
故 \(a_{2n}=2+(2n-2)\times\cfrac{2}{2}=2n\)
所以当 \(n\) 为正整数时， \(a_{n}=n\)，
则 \(S_{10}=1+2+3+\cdots+10=\cfrac{10\times(1+10)}{2}=55\)， 故选 \(D\) .
解析：由于 \(a_n=2n-1\)， \(b_n=2^n\)，数列 \(\{a_n\}\)是新数列 \(\{c_n\}\)的奇数项，数列 \(\{b_n\}\)是新数列 \(\{c_n\}\)的偶数项，
数列 \(\{c_{n}\}\) 的前 \(2n\) 项的和 \(T_{2n}\) 采用分组求和法得到：
\(T_{2n}=(a_1+a_2+\cdots +a_n)+(b_1+b_2+\cdots+b_n)\)
=\(\cfrac{n[1+(2n-1)]}{2}+\cfrac{2(2^{n}-1)}{2-1}=n^{2}+2^{n+1}-2\)
其中数列 \(\{c_n\}\) 的通项公式的求解是本题目的难点，我们慢慢道来：
辅助说明，数列的各项的值如下图所示：
| \(c_1=a_1=1\) | \(c_3=a_2=3\) | \(c_5=a_3=5\) | \(c_7=a_4=7\) | \(c_9=a_5=9\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(c_2=b_1=2\) | \(c_4=b_2=4\) | \(c_6=b_3=8\) | \(c_8=b_4=16\) |
故数列\(\{a_n\}\)的奇数项是以\(a_1=1\)为首项，\(q=2\)为公比的等比数列；
数列\(\{a_n\}\)的偶数项是以\(a_2=2\)为首项，\(2\)为公比的等比数列；
数列 \(\{c_n\}\) 的通项公式是： \(c_n=\left\{\begin{array}{l}n, &n=2k-1\\2^{\frac{n}{2}}, &n=2k\end{array}\right.(k\in N^*)\)，
这到底怎么来的呢？解释如下：对于新数列的奇数项 \(a_n=2n-1\)，在融入新数列前首项为 \(a_1=1\) ，公差为 \(2\)，第 \(n\) 项[可能为奇数项，也可能为偶数项]与第 \(1\) 项的间距为 \(n-1\)，当融入新数列后首项为 \(a_1=c_1=1\) ，公差为 \(\cfrac{2}{2}=1\)，第 \(2n\)\(-\)\(1\) 项与第 \(1\) 项的间距为 \((2n-1)\)\(-1\)，故应该这样书写： \(a_{_{2k-1}}\)\(=\)\(1\)\(+\)\([(2k-1)-1]\times1\)\(=\)\(2k-1\)，统一为 \(c_n=n\)，\(n=2k-1\)，\(k\in N^*\)；
对于新数列的偶数项 \(b_n=2^n\)，在融入新数列前首项为 \(b_1=2\) ，公比为 \(2\)，第 \(n\) 项[可能为奇数项，也可能为偶数项]与第 \(1\) 项的间距为 \(n-1\)，当融入新数列后首项为 \(b_1=c_2=2\) ，公比为 \(\sqrt{2}\)，第 \(2n\) 项与第 \(2\) 项的间距为 \(2n-2\)，故应该这样书写： \(b_{_{2n}}\)\(=\)\(2\)\(\cdot\)\((\sqrt{2})^{2n-2}\)\(=\)\(2\)\(\cdot\)\(2^{n-1}\)\(=\)\(2^n\)，再令 \(2n=k\)，则 \(n=\cfrac{k}{2}\)，即 \(b_k=2^{\frac{k}{2}}\)，\(k\in N^*\)，也即 \(b_n=2^{\frac{n}{2}}\)，\(n=2k\)，\(k\in N^*\)；
综上所述，合二为一写成， \(c_n=\left\{\begin{array}{l}n, &n=2k-1\\2^{\frac{n}{2}}, &n=2k\end{array}\right.(k\in N^*)\)；
错误的解法：
由于 \(a_n=2n-1\)， \(b_n=2^n\)，数列 \(\{a_n\}\)是新数列 \(\{c_n\}\)的奇数项，数列 \(\{b_n\}\)是新数列 \(\{c_n\}\)的偶数项，
故通项公式可以简单的写成 \(c_n=\left\{\begin{array}{l} 2n-1, &n为奇数\\2^n, &n为偶数\end{array}\right.\)
这个结果里没有原数列 \(\{a_n\}\) 的偶数项，如 \(a_2\)，\(a_4\)，\(\cdots\)， 等，也没有原数列 \(\{b_n\}\) 的奇数项，如 \(b_1\)，\(b_3\)，\(\cdots\)， 等等；
