余弦定理证明

前言

余弦定理

• 文字语言：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍可以让学生想想，下面的三个数学表达式该如何抽象成文字语言来表达？\(\quad\)。
• 符号语言：

\[a^2=b^2+c^2-2bccosA \]

\[b^2=c^2+a^2-2cacosB \]

\[c^2=a^2+b^2-2abcosC \]

定理证明

[思路一]：向量方法证明

如图，在\(\triangle ABC\)中，由\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)可得，

给上式两边同时平方，得到\(\overrightarrow{CB}^2=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2\)，打开整理，

\(\overrightarrow{CB}^2={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=b^2+c^2-2bccosA\)；

即\(a^2=b^2+c^2-2bccosA\)；

同理可证：\(b^2=c^2+a^2-2cacosB\)；\(c^2=a^2+b^2-2abcosC\)；