正弦定理的多种证明思路

前言

正弦定理是解三角形时必须要用到的定理之一。其证明方法灵活多样，现提供给各位学子，以飨读者。

正弦定理

文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；

符号语言：\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；

\(\Big[\)拓展：\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\quad\)(\(R\) 为三角形的外接圆的半径 )\(\Big]\)

定理证明思路

思路➊：向量法证明正弦定理，新版人教版A版教材采用的证明思路；

证明：(1).如图所示，设\(\triangle ABC\)为锐角三角形，过点\(A\)做与\(\overrightarrow{AC}\)垂直的单位向量\(\vec{j}\)，

则由图可知，\(<\vec{j}，\overrightarrow{AC}>=90^{\circ}\)，\(<\vec{j}，\overrightarrow{AB}>=90^{\circ}-A\)，

\(<\vec{j}，\overrightarrow{CB}>=90^{\circ}-C\)，延长两个向量可以看出来；且有\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\)，

给上述的向量式同时取与向量\(\vec{j}\)的数量积，得到\(\vec{j}\cdot (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\vec{j}\cdot\overrightarrow{AB}\)，

整理得到，\(\vec{j}\cdot \overrightarrow{AC}+\vec{j}\cdot\overrightarrow{CB}=\vec{j}\cdot\overrightarrow{AB}\)，

则\(|\vec{j}||\overrightarrow{AC}|cos90^{\circ}+|\vec{j}||\overrightarrow{CB}|cos(90^{\circ}-C)=|\vec{j}||\overrightarrow{AB}|cos(90^{\circ}-A)\)

即\(a\cdot sinC=c\cdot sinA\)；即\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{c}{sinC}\)；

过点\(C\)做与\(\overrightarrow{CB}\)垂直的单位向量\(\vec{i}\)，则由图可知，\(<\vec{i}，\overrightarrow{AC}>=90^{\circ}-C\)，\(<\vec{i}，\overrightarrow{CB}>=90^{\circ}\)，

\(<\vec{i}，\overrightarrow{AB}>=90^{\circ}-B\)，延长两个向量可以看出来；且有\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\)，

给上述的向量式同时取与向量\(\vec{i}\)的数量积，得到\(\vec{i}\cdot (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\vec{i}\cdot\overrightarrow{AB}\)，

整理得到，\(\vec{i}\cdot \overrightarrow{AC}+\vec{i}\cdot\overrightarrow{CB}=\vec{i}\cdot\overrightarrow{AB}\)，

则\(|\vec{i}||\overrightarrow{AC}|cos(90^{\circ}-C)+|\vec{i}||\overrightarrow{CB}|cos90^{\circ}=|\vec{i}||\overrightarrow{AB}|cos(90^{\circ}-B)\)

即\(b\cdot sinC=c\cdot sinB\)；即\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；

即\(\triangle ABC\)为锐角三角形时，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；

(2).当\(\triangle ABC\)为直角或者钝角三角形时，不妨令\(B\geqslant 90^{\circ}\)，仿照上图放置角\(B\)，

则同理可以证明\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；

综上所述得到，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；证毕。

思路➋：构造向量的射影法[原北师大教材上采用的证明思路]

如图所示，设\(\triangle ABC\)为钝角三角形,以点\(A\)为原点，以射线\(AB\)的方向为\(x\)轴正方向建立直角坐标系，\(C\)点在\(y\)轴上的射影为\(C'\)，

由于向量\(\overrightarrow{AC}\)与\(\overrightarrow{BC}\)在\(y\)轴上的射影均为\(|\overrightarrow{OC'}|\)，即

\(|\overrightarrow{OC'}|=|\overrightarrow{AC}|cos(A-90^{\circ})=bsinA\)，

又\(|\overrightarrow{OC'}|=|\overrightarrow{BC}|sinB=asinB\)，

所以\(asinB=bsinA\)，即\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}\)，

同理，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{c}{sinC}\)，

所以，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；

若\(A\)为锐角或者直角，同理可得，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；证毕。

思路➌ ：利用三角形的高证明正弦定理[易想易证]；

证明：(1).设\(\triangle ABC\)为锐角三角形时，设边\(AB\)上的高为\(CD\)，根据锐角三角函数定义可知，

有\(CD=a\cdot sinB\)；\(CD=b\cdot sinA\)；由此得到，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}\)；

同理得到，\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)，故\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)在锐角三角形中成立；

(2).设\(\triangle ABC\)为钝角三角形时，过点\(C\)做边\(AB\)上的高，交\(AB\)的延长线于点\(D\)，根据锐角三角函数定义可知，

有\(CD=a\cdot sin\angle CBD=a\cdot sin\angle ABC\)；\(CD=b\cdot sinA\)；由此得到，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}\)；

同理得到，\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)，故\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)在钝角三角形中成立；

(3).当\(\triangle ABC\)为直角三角形时，比如\(C=\cfrac{\pi}{2}\)，容易验证\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)成立；

综上所述，在\(\triangle ABC\)中，一定有\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；

思路➍ ：利用三角形的面积证明正弦定理[易想易证]；

证明：如图在\(\triangle ABC\)中，边\(AB\)上的高为\(CD\)，则\(CD=a\cdot sinB\)，

则\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\times AB\times CD=\cfrac{1}{2}acsinB\)；

同理可得到\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}absinC=\cfrac{1}{2}bcsinA\)；

则有\(acsinB=absinC=bcsinA\)，同除以\(abc\)，得到

\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；

思路➎ ：三角形的外接圆 + 三角函数定义证明 [初中常采用的证明思路]

证明：(1).如图所示，设\(\triangle ABC\)为锐角三角形，做出其外接圆\(\odot O\)，连结\(BO\)并延长交\(\odot O\)于点\(A'\)，

则由同弧所对的圆周角相等，得到\(\angle A=\angle A'\)，

在\(Rt\triangle A'BC\)中，\(sinA'=\cfrac{a}{2R}=sinA\)；

连结\(AO\)并延长交\(\odot O\)于点\(B'\)，则由同弧所对的圆周角相等，得到\(\angle B=\angle B'\)，

在\(Rt\triangle AB'C\)中，\(sinB'=\cfrac{b}{2R}=sinB\)；

同理得到，\(\cfrac{c}{2R}=sinC\)；故\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\)；

(2).如图所示，若\(\triangle ABC\)为直角三角形，做出其外接圆\(\odot O\)，连结\(BO\)并延长交\(\odot O\)于点\(A'\)，

容易证明\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\)；

(3).如图所示，若\(\triangle ABC\)为钝角三角形，做出其外接圆\(\odot O\)，连结\(BO\)并延长交\(\odot O\)于点\(A'\)，

则由同弧所对的圆周角相等，得到\(\angle A=\angle A'\)，在\(Rt\triangle A'BC\)中，\(sinA'=\cfrac{a}{2R}=sinA\)；

连结\(AO\)并延长交\(\odot O\)于点\(B'\)，则由同弧所对的圆周角相等，得到\(\angle B=\angle B'\)，

在\(Rt\triangle AB'C\)中，\(sinB'=\cfrac{b}{2R}=sinB\)；

同理得到，\(\cfrac{c}{2R}=sinC\)；故\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\)；

综上所述得到，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；

思路➏ ：用余弦定理证明正弦定理

余弦定理的边的形式：在\(\triangle ABC\) 中：\(\begin{cases}a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \\b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \\c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \end{cases}\)

由于 \(\cos A = \cfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)，结合 三角恒等式：\(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\)

\(\sin^2 A = 1 - \left(\cfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)^2= \cfrac{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}{4b^2c^2}\)

针对分子进行因式分解如下，

\(4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2= \big[2bc - (b^2 + c^2 - a^2)\big]\big[2bc + (b^2 + c^2 - a^2)\big]\)

\(= \big[a^2 - (b-c)^2\big]\big[(b+c)^2 - a^2\big]= (a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)(-a+b+c)\)

设半周长 \(p = \cfrac{a+b+c}{2}\)，则：\(a+b-c=2p-2c\)，\(b+c-a=2p-2a\)，\(a+c-b=2p-2b\)，

则有 \(\sin^2 A = \cfrac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}\)，即 \(\sin A = \cfrac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{bc}\)

则有 \(\cfrac{a}{\sin A} = \cfrac{a \cdot bc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}= \cfrac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)

同理可得：\(\cfrac{b}{\sin B} = \cfrac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},\quad\cfrac{c}{\sin C} = \cfrac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)

因此有，\(\cfrac{a}{\sin A}\)\(=\)\(\cfrac{b}{\sin B}\) \(=\) \(\cfrac{c}{\sin C}\) ，得证。

思路➐ ：解析法（坐标法）证明正弦定理

建立坐标系，把点 \(A\) 放在原点，边 \(AB\) 放在 \(x\) 轴上： \(A(0,0)\)， \(B(c,0)\)， \(C(x,y)\)

由三角函数定义：\(x = b\cos A,\quad y = b\sin A\)

即：\(C(b\cos A,\;b\sin A)\)

用两点距离表示边长

\(BC = a\)，由两点间距离公式：

\(a^2 = (b\cos A - c)^2 + (b\sin A)^2\)

展开并利用 \(\cos^2A+\sin^2A=1\)：

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)

这是余弦定理，下面用它推出正弦定理。

用同角关系得到正弦

由 \(\sin^2A=1-\cos^2A\)：

\(\sin A = \sqrt{1-\cos^2A}\)

代入 \(\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)：

\(\sin A = \cfrac{\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}}{2bc}\)

记三角形面积为 \(S\)，则：

\(S = \cfrac12 bc\sin A\)

于是：\(\sin A = \cfrac{2S}{bc}\)

得出正弦定理

\(\cfrac{a}{\sin A} = \cfrac{a}{\cfrac{2S}{bc}} = \cfrac{abc}{2S}\)

同理：\(\cfrac{b}{\sin B} = \cfrac{abc}{2S},\quad \cfrac{c}{\sin C} = \cfrac{abc}{2S}\)

因此：\(\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C}\)