比例知识

前言

注意引入非零比例因子的技巧的运用；

比例性质

• 合比定理

如果\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)，那么\(\cfrac{a+b}{b}=\cfrac{c+d}{d}\)，其中\(b，d\neq 0\)；

证法1：由题目可知，\(\cfrac{a}{b}+1=\cfrac{c}{d}+1\)，整理得到\(\cfrac{a+b}{b}=\cfrac{c+d}{d}\)，

证法2：令\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=k\)，则\(a=bk\)，\(c=dk\)，代入得到

\(\cfrac{a+b}{b}=\cfrac{bk+b}{b}=k+1\)，\(\cfrac{c+d}{d}=\cfrac{dk+d}{d}=k+1\)，

故\(\cfrac{a+b}{b}=\cfrac{c+d}{d}\)；

• 分比定理

如果\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)，那么\(\cfrac{a-b}{b}=\cfrac{c-d}{d}\)，其中\(b，d\neq 0\)；

证法1：由题目可知，\(\cfrac{a}{b}-1=\cfrac{c}{d}-1\)，整理得到\(\cfrac{a-b}{b}=\cfrac{c-d}{d}\)，

证法2：同上；

• 合分比定理

如果\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)，那么\(\cfrac{a+b}{a-b}=\cfrac{c+d}{c-d}\)，其中\(b，d，a-b，c-d\neq 0\)；

证明：令\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=k\)，则\(a=bk\)，\(c=dk\)，

则\(\cfrac{a+b}{a-b}=\cfrac{bk+b}{bk-b}=\cfrac{k+1}{k-1}\)，\(\cfrac{c+d}{c-d}=\cfrac{dk+d}{dk-d}=\cfrac{k+1}{k-1}\)，

故\(\cfrac{a+b}{a-b}=\cfrac{c+d}{c-d}\)，

• 更比定理

如果\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)，那么\(\cfrac{a}{c}=\cfrac{b}{d}\)，其中\(a，b，c，d\neq 0\)；

证明：令\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=k\)，则\(a=bk\)，\(c=dk\)，代入得到

\(\cfrac{a}{c}=\cfrac{bk}{dk}=\cfrac{b}{d}\)；即\(\cfrac{a}{c}=\cfrac{b}{d}\)；

应用举例

在\(\triangle ABC\)中，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{a+b-c}{sinA+sinB-sinC}\)；

证明：引入非零比例因子，如\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\)，

则\(a=2RsinA\)，\(b=2RsinB\)，\(c=2RsinC\)，代入上式右端，得到

\(\cfrac{a+b-c}{sinA+sinB-sinC}=\cfrac{2R(sinA+sinB-sinC)}{sinA+sinB-sinC}=2R=\cfrac{a}{sinA}\)；

故在\(\triangle ABC\)中，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{a+b-c}{sinA+sinB-sinC}\)成立；

同理，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}\)；\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{a+b}{sinA+sinB}\)；

【2016全国卷Ⅲ】已知\(\Delta ABC\)的内角为\(A、B、C\)，\(2sinA=\sqrt{3}sinB=3sinC\)，则\(cosB\)的值为多少？

分析：设\(2sinA=\sqrt{3}sinB=3sinC=k\)，

则\(sinA=\cfrac{k}{2}\)，\(sinB=\cfrac{k}{\sqrt{3}}\)，\(sinC=\cfrac{k}{3}\)，

则有\(a：b：c=sinA：sinB：sinC\)，即\(a：b：c=\cfrac{k}{2}：\cfrac{k}{\sqrt{3}}：\cfrac{k}{3}=3：2\sqrt{3}：2\)

由此再设得到\(a=3m\)，\(b=2\sqrt{3}m\)，\(a=2m(m>0)\)(引入非零比例因子的好处)，

由余弦定理可知，\(cosB=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cfrac{9m^2+4m^2-12m^2}{2\cdot 3m\cdot 2m}=\cfrac{1}{12}\)。

反思：1、灵活运用比例的性质，会大大简化运算；2、非零比例因子的引入，也要注意学习运用。

平行截割定理【线束定理，也叫平行线分线段成比例定理】：两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例.

如图所示，三条直线\(l_1//l_2//l_3\)，三条平行线与直线\(m\)分别相交于点\(A\)、\(B\)、\(C\)，与直线\(n\)分别相交于点\(D\)、\(E\)、\(F\)，连结\(AE\)、\(BD\)、\(BF\)、\(CE\)，

根据平行线性质[等高]可得[利用等面积法]，\(S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DBE}\)，\(S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BEF}\)，

\(\cfrac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DBE}}=\cfrac{S_{\triangle BEC}}{S_{\triangle BEF}}\)，即\(\cfrac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle BEC}}=\cfrac{S_{\triangle DBE}}{S_{\triangle BEF}}\)，

根据等高三角形[\(\triangle ABE\)和\(\triangle BCE\)从顶点\(E\)所作的高线相同]的面积比等于底边的比，可得

\[\cfrac{AB}{BC}=\cfrac{DE}{EF} \]

由更比性质、等比性质可得，\(\cfrac{AB}{DE}=\cfrac{BC}{EF}=\cfrac{AB+BC}{DE+EF}=\cfrac{AC}{DF}\).

平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

【人教 2019A 版教材\(P_{189}\) 页习题 9.1 第 7 题】如果样本量是按照比例分配，第\(1\)、\(2\)、\(3\)层的个体数分别为\(L\)、\(M\)、\(N\)，样本量分别为\(l\)、\(m\)、\(n\)，证明：

\(\cfrac{L}{L+M+N}\bar{x}\)\(+\)\(\cfrac{M}{L+M+N}\bar{y}\)\(+\)\(\cfrac{N}{L+M+N}\bar{z}\)\(=\)\(\cfrac{l}{l+m+n}\bar{x}\)\(+\)\(\cfrac{m}{l+m+n}\bar{y}\)\(+\)\(\cfrac{n}{l+m+n}\bar{z}\)

证明：由于 \(\cfrac{l}{L}\)\(=\)\(\cfrac{m}{M}\)\(=\)\(\cfrac{n}{N}\)\(=\)\(\cfrac{l+m+n}{L+M+N}\)，

故 \(\cfrac{l}{l+m+n}\)\(=\)\(\cfrac{L}{L+M+N}\)，\(\cfrac{m}{l+m+n}\)\(=\)\(\cfrac{M}{L+M+N}\)，\(\cfrac{n}{l+m+n}\)\(=\)\(\cfrac{N}{L+M+N}\)，

故有 \(\cfrac{L}{L+M+N}\bar{x}\)\(+\)\(\cfrac{M}{L+M+N}\bar{y}\)\(+\)\(\cfrac{N}{L+M+N}\bar{z}\)\(=\)\(\cfrac{l}{l+m+n}\bar{x}\)\(+\)\(\cfrac{m}{l+m+n}\bar{y}\)\(+\)\(\cfrac{n}{l+m+n}\bar{z}\)