三角函数单调区间演示

前言

• 以上图形说明，角度制下的任意一个角\([60^{\circ}]\)和弧度制下的任意一个角\([\cfrac{\pi}{3}]\)之间一一对应，也和任意一个实数\([1.0471975]\)之间一一对应；

\[sin[60^{\circ}]\xlongequal[一一对应]{角度角与弧度角}sin[\cfrac{\pi}{3}]\xlongequal[一一对应]{弧度角与实数}sin[1.0471975] \]

三角函数的单调区间，是实数集里的一组等宽度等间距的区间的叠合体，是典型的无穷合一的写法代表；之所以能合写为一种形式，本质还是这些区间是等宽度且等间距的；以下我们取函数\(f(x)=sinx\)为例，体会一下这些区间的真容：

化曲为直

图中的示例函数为 \(f(x)=\sin x\)，\(x\in R\) .

单增区间的数的表述形式：\([2k\pi-\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{\pi}{2}](k\in Z)\)，

单增区间的形的表述如下图：

单减区间的数的表述形式：\([2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}](k\in Z)\)，

单减区间的形的表述如下图：

化直为曲

将数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上的效果；说明：黄色虚线代表数轴，此虚线和 \(x\) 轴的交点 \((1,0)\)，是数轴的原点，当将数轴的正半轴缠绕在单位圆上时，数轴上的特殊点 \(\cfrac{\pi}{2}\) ，\(\pi\)，\(\cfrac{3\pi}{2}\)，\(2\pi\)，\(\cdots\) 的对应的角的终边就分别落在了 \(y\) 轴正半轴， \(x\) 轴负半轴， \(y\) 轴负半轴， \(x\) 轴正半轴，等等；原因是此时半径 \(r=1\)，则弧长 \(l\) 和 圆心角 \(\alpha\) 是相等的，即从原点开始逆时针缠绕，弧长为 \(\cfrac{\pi}{2}\) 的弧对应的圆心角一定是 \(\cfrac{\pi}{2}\) 弧度，故此时的弧的终点一定会落在 \(y\) 轴正半轴上。

将数轴的负半轴顺时针缠绕在单位圆上的效果；说明：黄色虚线代表数轴，此虚线和 \(x\) 轴的交点 \((1,0)\)，是数轴的原点，当将数轴的负半轴缠绕在单位圆上时，数轴上的特殊点 \(-\cfrac{\pi}{2}\) ，\(-\pi\)，\(-\cfrac{3\pi}{2}\)，\(-2\pi\)，\(\cdots\) 的对应的角的终边就分别落在了 \(y\) 轴负半轴， \(x\) 轴负半轴， \(y\) 轴正半轴， \(x\) 轴正半轴，等等；原因是此时半径 \(r=1\)，则弧长 \(l\) 和 圆心角 \(\alpha\) 是相等的，即从原点开始顺时针缠绕，弧长为 \(\cfrac{\pi}{2}\) 的弧对应的圆心角一定是 \(-\cfrac{\pi}{2}\) 弧度，故此时的弧的终点一定会落在 \(y\) 轴负半轴上。