轴对称和中心对称
前言
我们在此重点说明函数自身的对称,暂时不涉及曲线的对称。但凡函数的对称,其一定有数的刻画形式,也必然有形的刻画形式。
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1、抽象函数的对称性验证;
2、破解函数性质中的表达难点;
轴对称
数的表示形式,\(f(1-x)=f(1+x)\)
图形的表示形式
引申:高中阶段我们还需要知道以下几点:
①知道解析式,我们就能知道其属于轴对称函数,
比如\(g(x)=x^4\),\(h(x)=|x-1|\),\(t(x)=|x^2-2x+3|\)等等;
②由数的形式就应该知道其属于轴对称函数,
比如\(f(2-x)=f(x)\)[对称轴为\(x=1\)],\(h(4+x)=h(-x)\)[对称轴为\(x=2\)];
中心对称
数的表示形式,\(f(-x)+f(x)=0\),
图形的表示形式
引申:高中阶段我们还需要知道以下几点:
①知道解析式,我们就能知道其属于中心对称函数,
比如\(g(x)=x^3\),\(h(x)=(x-1)^2+(x-1)\)[对称中心为\((1,0)\)],\(t(x)=e^x+e^{-x}\)等等;
②由数的形式就应该知道其属于中心对称函数,
比如\(f(2-x)+f(x)=0\)[对称中心为\((1,0)\)],\(h(4+x)+h(-x)=2\)[对称中心为\((2,1)\)];
典例剖析
解析:法1,验证函数 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)的对称性的思路之一:
在函数 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\) 的图象上任取一点 \((a, b)\), 则 \(b=\log_{2}\cfrac{2a}{4-a}\),
则点 \((a, b)\)关于点 \((2,1)\) 的对称点的坐标为 \((4-a,2-b)\),
[注意,此时不能直接将点 \((4-a,2-b)\) 代入函数\(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\),原因是我们并不知道点 \((4-a,2-b)\) 在不在这个函数图像上]
又由于 \(b=\log_{2}\cfrac{2a}{4-a}\), 得到 \(-b=\log_{2}\cfrac{4-a}{2a}\),
故\(2-b=2+\log_{2}\cfrac{4-a}{2a}=\log_{2}\cfrac{2(4-a)}{a}=\log_{2}\cfrac{2(4-a)}{4-(4-a)}\),
即点 \((4-a,2-b)\) 在函数\(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)上 ,
由于点 \((a,b)\) 的任意性,可知函数图象的对称中心为\((2, 1)\), 故 (5) 正确.
法2,验证函数 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)的对称性的思路之二:
由于 \(y=f(x)=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\),
故 \(f(4-x)=\log _{2}\cfrac{2(4-x)}{4-(4-x)}=\log _{2}\cfrac{2(4-x)}{x}\),
则\(f(x)+f(4-x)=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}+\log _{2}\cfrac{2(4-x)}{x}=\log_{2}4=2\),
即函数满足 \(f(x)+f(4-x)=2\),故函数 \(y=f(x)\) 关于点 \((2,1)\) 对称;