函数图像的变换

平移变换

• 左右平移的实质，是用\(x+\phi\)替换\(x\)，故将\(y=f(x)\)左右平移得到的应该是\(y=f(x\pm h)\)，而不是\(f(x)\pm h\)；上下平移的实质，是用\(y+\phi\)替换\(y\)，故将\(y=f(x)\)上下平移得到的应该是\(f(x)\pm h\)，而不是\(y=f(x\pm h)\)；

• 【案例1】函数\(f(2-x)\)的图像的做法，是将函数\(f(x)\)的图像关于\(y\)轴对称得到函数\(f(-x)\)，然后将\(f(-x)\)图像向右平移\(2\)个单位，得到\(y=f[-(x-2)]=f(2-x)\)的图像。

注意：左加右减的口诀是使用在变换的实质\(x-2\)上，而不是使用在自变量整体\(2-x\)上。图像变换如下：

• 【案例2】作函数\(y=f(x)=2^{|x-1|}-1\)的图像。

做法：我们选\(y=2^x\)为变换的基础图像，

①先由\(y=2^x\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(|x|)}y=2^{|x|}\)，注意此处如果选取由\(y\)\(=\)\(2^x\)到\(y\)\(=\)\(2^{x-1}\)再到\(y\)\(=\)\(2^{|x-1|}\)的变换次序，需要注意，\(y\)\(=\)\(2^{|x-1|}\)的对称轴为\(x\)\(=\)\(1\)；可以这样理解：类比由\(y\)\(=\)\(2^x\)到\(y\)\(=\)\(2^{|x|}\)时，得到对称轴为直线\(x\)\(=\)\(0\)；故由\(y\)\(=\)\(2^{x-1}\)到\(y\)\(=\)\(2^{|x-1|}\)得到对称轴为直线\(x\)\(=\)\(1\)；

②然后由\(y=2^{|x|}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x-1)}y=2^{|x-1|}\)

③然后由\(y=2^{|x-1|}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x)-1}y=2^{|x-1|}-1\)

对称变换

① \(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于x轴对称}\) \(y=-f(x)\) ；^[1]

② \(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于y轴对称}\) \(y=f(-x)\) ；

③ \(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于原点对称}\) \(y=-f(-x)\)；

④\(y=a^x(a>0且a\neq 1)\xrightarrow{关于y=x对称}y=log_ax\)； ^[2]

伸缩变换

①\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[当0< a <1时，横坐标伸长为原来的\frac{1}{a}倍，纵坐标不变]{当a >1时，横坐标缩短为原来的\frac{1}{a}倍，纵坐标不变}\) \(y=f(ax)\)；

②\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[当0< a <1时，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变]{当a >1时，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变}\) \(y=af(x)\)；

翻折变换

①\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[将x轴下方图像翻折上去]{保留x轴上方图像}\) \(y=|f(x)|\)；

②\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[关于y轴对称图像]{保留y轴右边图像，并作其}\) \(y=f(|x|)\)；

③\(y=f(x)\) \(\xrightarrow[关于y轴对称图像]{保留y轴左边图像，并作其}\) \(y=f(-|x|)\)；

常用结论

①[两个函数对称]函数\(y=f(x)\)与函数\(y=f(2a-x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称；

②[两个函数对称]函数\(y=f(x)\)与函数\(y=2b-f(2a-x)\)的图像关于点\((a,b)\)中心对称；

③[一个函数对称]若函数\(y=f(x)\)的定义域内任意自变量\(x\)满足：\(f(a+x)=f(a-x)\)，则函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称；

④[一个函数对称]若函数\(y=f(x)\)的定义域内任意自变量\(x\)满足：\(f(a+x)=2b-f(a-x)\)，则函数\(f(x)\)的图像关于点\((a,b)\)中心对称；

以上的结论，可以利用相关点法解释或证明。

具体实战

以判断函数\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)的单调性为例，说明具体的操作过程。

分析：研究函数的性质，首先研究定义域；

令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得\(-1<x<1\)，故定义域为\((-1，1)\)；

由于子函数\(y=sinx\)在\((-1，1)\)上单调递增，故接下来重点研究子函数\(y=ln\cfrac{1+x}{1-x}\)的单调性，

又由于子函数为复合函数，外函数为增函数，故令内函数为\(g(x)=\cfrac{1+x}{1-x}\)，重点研究内函数的单调性，

此时使用图像就是比较好的选择，为快速做出图像，先作适当的变换；

\(g(x)=\cfrac{1+x}{1-x}=-1+\cfrac{2}{1-x}=-1-\cfrac{2}{x-1}\)，我们按照下述步骤作函数\(g(x)\)的图像，

①\(y=\cfrac{2}{x}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x-1)}y=\cfrac{2}{x-1}\)，

②\(y=\cfrac{2}{x-1}\xrightarrow{f(x)\rightarrow -f(x)}y=-\cfrac{2}{x-1}\)，

③\(y=-\cfrac{2}{x-1}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x)-1}y=-1-\cfrac{2}{x-1}\)，

这样我们由图像能看出来，函数\(g(x)\)在\((-1，1)\)上单调递增，则子函数\(y=ln\cfrac{1+x}{1-x}\)在\((-1，1)\)上单调递增，

故函数\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)在区间\((-1，1)\)上单调递增，到此单调性的判断结束。

当然，还可以借助导数判断其单调性，由于本博文主题的限制，在此不做赘述。

【2017\(\cdot\)全国卷3理科第12题】 比如给定函数\(f(x)=x^2-2x+e^{x-1}+e^{1-x}\)，当令\(x-1=t\)时，则原函数转化为\(g(t)=t^2+e^t+e^{-t}-1\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，且\(g(x)\)为偶函数。

补充，\(f(x)=e^x+e^{2-x}\)，则\(f(x)=f(2-x)\)，则函数\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称。

典例剖析

在同一平面直角坐标系中，函数\(y=g(x)\)的图像与\(y=e^x\)的图像关于直线\(y=x\)对称，而函数\(y=f(x)\)的图像与\(y=g(x)\)的图像关于\(y\)轴对称，若\(f(m)=-1\)，则\(m\)的值是【】

$A.-e$ $B.-\cfrac{1}{e}$ $C.e$ $D.\cfrac{1}{e}$

分析：\(g(x)=lnx\)，则\(f(x)=ln(-x)\)，若\(f(m)=-1\)，则\(ln(-m)=-1\)，故\(m=-\cfrac{1}{e}\)，故选\(B\).

已知函数\(f(2x+1)\)是奇函数，则函数\(y=f(2x)\)的图像成中心对称的点是【】

$A.(1,0)$ $B.(-1,0)$ $C.(\cfrac{1}{2},0)$ $D.(-\cfrac{1}{2},0)$

分析：函数\(f(2x+1)\)是奇函数，则其对称中心为\((0,0)\)，而将\(f(2x+1)\)的图像向右平移\(\cfrac{1}{2}\)个单位[即用\(x-\cfrac{1}{2}\)替换\(x\)后整理得到]得到函数\(f(2x)\)，即将\((0,0)\)向右平移\(\cfrac{1}{2}\)个单位后得到对称中心为点\((\cfrac{1}{2},0)\) ，故选\(C\)。

【2019石家庄模拟】若函数\(y=f(x)\)的图像恒过点\((1,1)\)，则函数\(y=f(4-x)\)的图像一定经过点_________。

分析：将函数\(y=f(x)\)的图像关于\(y\)轴对称得到函数\(y=f(-x)\)，故\(y=f(-x)\)一定经过点\((-1,1)\)，再将函数\(y=f(-x)\)的图像向右平移\(4\)个单位，得到函数\(y=f(4-x)\)的图像，故函数\(y=f(4-x)\)的图像一定经过点\((3,1)\).

已知定义在\(R\)上的偶函数\(f(x)\)满足\(f(x-4)=f(x)\)，且在区间\([0,2]\)上\(f(x)=x\)，若关于\(x\)的方程\(f(x)=\)\(log_ax\)有三个不同的实根，则\(a\)的取值范围是_____________.

分析：由题目可知，\(T=4\)，故\(f(x+4)=f(x)\)，又\(f(-x)=f(x)\)，则可知\(f(x+4)=f(-x)\)，故函数图像关于\(x=2\)对称，

利用现有的定义域，奇偶性，周期性，对称性和解析式，做出适合题意的图像如下：

要是方程\(f(x)=log_ax\)有三个不同的实根，则需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{log_a6<2}\\{log_a10>2}\end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{a^2>6}\\{a^2<10}\end{array}\right.\)，

解得\(a\in (\sqrt{6}，\sqrt{10})\)。

定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)和定义在\(\{x\mid x\neq 0\}\)上的偶函数\(g(x)\)分别满足\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2^x-1(0\leqslant x<1)}\\{\frac{1}{x}(x\geqslant 1)}\end{array}\right.\)，\(g(x)=log_2x(x>0)\)，若存在实数\(a\)，使得\(f(a)=g(b)\)，则实数\(b\)的取值范围是【】

$A.[-2，2]$ $B.[-2，-\cfrac{1}{2}]\cup [\cfrac{1}{2}，2]$ $C.[-\cfrac{1}{2}，0)\cup(0，\cfrac{1}{2}]$ $D.(-\infty，-2]\cup [2，+\infty)$

分析：做出适合题意的图像，由图像可知，函数\(f(x)\)的值域为\([-1，1]\)，

完整的偶函数\(g(x)\)的解析式应该为\(g(x)=log_2|x|\)，若存在实数\(a\)，使得\(f(a)=g(b)\)，

则\(g(b)\)必须满足\(-1\leqslant g(b)\leqslant 1\)，即\(-1\leqslant log_2|b|\leqslant 1\)，

上式可以转化为\(\left\{\begin{array}{l}{b\geqslant 0}\\{-1\leqslant log_2b\leqslant 1}\end{array}\right.\)或者\(\left\{\begin{array}{l}{b<0}\\{-1\leqslant log_2(-b)\leqslant 1}\end{array}\right.\)

解得\(\cfrac{1}{2}\leqslant b\leqslant 2\)或\(-2\leqslant b\leqslant -\cfrac{1}{2}\) . 故选\(B\).

【2020届高三理科数学月考二用题】把函数\(f(x)=log_2(x+1)\)的图像向右平移一个单位，所得的图像与函数\(g(x)\)的图像关于直线\(y=x\)对称；已知偶函数\(h(x)\)满足\(h(x-1)=h(-x-1)\)，当\(x\in [0,1]\)时，\(h(x)\)\(=g(x)\)\(-1\)；若函数\(y=k\cdot f(x)-h(x)\)有五个零点，则正数\(k\)的取值范围是【】

$A.(log_32,1)$ $B.[log_32,1)$ $C.(log_62,\cfrac{1}{2})$ $D.(log_62,\cfrac{1}{2}]$

分析：函数\(f(x)=log_2(x+1)\)的图像向右平移一个单位，所得函数为\(y=log_2x\)，其关于直线\(y=x\)对称的函数为\(g(x)=2^x\)，

则得到\(x\in [0,1]\)时，\(h(x)=g(x)-1=2^x-1\)，又由于\(h(x)\)为偶函数，则\(h(-x)=h(x)\)①，

又\(h(x-1)=h(-x-1)\)，则\(h(x)=h(-x-2)\)②，由①②得到，\(h(-x-2)=h(-x)\)，即\(T=2\)，

又函数\(y=k\cdot f(x)-h(x)\)有五个零点，则函数\(y=k\cdot f(x)\)与函数\(y=h(x)\)的图像有五个交点，做出图像如下，

由图像可知，需要满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{k\cdot log_2(3+1)<1}\\{k\cdot log_2(5+1)>1}\end{array}\right.\)

即\(\left\{\begin{array}{l}{2k<1}\\{k\cdot log_26>1}\end{array}\right.\) 解得\(log_62<k<\cfrac{1}{2}\)，故选\(C\)。

已知 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, &x \in[-1,0) \\ x^2+1, &x \in[0,1]\end{array}\right.\), 则下列函数的图像错误的是【\(\qquad\)】

$A.f(x-1)的图像$ $B.f(-x)的图像$ $C.f(|x|)的图像$ $D.|f(x)|的图像$

详解：作出 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \in[-1,0) \\ x^2+1, x \in[0,1]\end{array}\right.\)， 如下图 ^[3]

\(f(x-1)\) 的图像， 由 \(f(x)\) 的图像向右平移一个单位， 故 \(A\) 正确；

\(f(-x)\) 的图像， 由 \(f(x)\) 的图像 \(y\) 轴右侧的翻折到左侧， 左侧翻折到右侧， 故 \(B\) 正确；

\(f(|x|)\) 的图像， 由 \(f(x)\) 的图像右侧的保留不变， 且把右边的翻折到左边， 故 \(C\) 正确；

\(|f(x)|\) 的图像， 把 \(x\) 轴下方的翻折到上方， 图像与 \(f(x)\) 一样， 故 \(D\) 错误； 故选：\(D\) .

将函数\(y\)\(=\)\(e^x\)\(-\)\(e^{-x}\)向右平移一个单位得到函数__________________.

解析：函数 \(y\)\(=\)\(e^x\)\(-\)\(e^{-x}\)为奇函数，单调递增[其图像非常类似函数\(y=x^3\)的图像]，对称中心为\((0,0)\)，将其向右平移一个单位，得到 \(y\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)，则其对称中心为\((1,0)\)；

---

1. 关于 \(x\) 和 \(y\) 轴对称的课件思路来源于美国人，也就是 Desmos 公司的技术人员，感觉很好用，但关于原点对称的思路有点不满意。后来对关于原点对称的课件采用网络画板重新制作，效果比较满意。 ↩︎

2. 此课件改编自网络画板资源库中的他人课件，使用了仿射，我暂时有点不太懂。为了效果更好，采用了曲线的填充，有点阴影，很逼真。 后来学习了网络画板提供的学习资料——对称，就自己修改了课件，其实不需要仿射功能就可以。 ↩︎

3. 下图的分段函数图像是用 网络画板 制作的，故将分段函数的输入方法做一记录，便于下次使用。在网络画板的形式为y=f(x)的函数输入框中输入以下：
   if(x>=-1 and x<0,x+1,x>=0 and x<1,x^2+1)，请严格遵守格式，她和Desmos的输入格式是不一样的。 ↩︎