超越不等式解法思路

前言

\[代数式\left\{\begin{array}{l}{有理式\left\{\begin{array}{l}{整式\left\{\begin{array}{l}{单项式:如2a,3x^4}\\{多项式:如3x+2y^2-\cfrac{3}{2}xz}\end{array}\right.}\\{分式:如\cfrac{2y+3}{2x-1}}\end{array}\right.}\\{无理式\left\{\begin{array}{l}{根式:如\sqrt{2x-1},\sqrt[3]{2x-1}},(x-1)^{\frac{3}{2}}\\{超越式:如2^x,2^{x+1},log_2x,\sin(x+1),\cos x}\end{array}\right.}\end{array}\right. \]

超越不等式

如果不等式的两边至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式。如\(2^x>x-1\)，包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等。

备注：代数函数^[1]；超越函数^[2]；代数不等式^[3]；

求解思路

\(e^x+2x-1\ge 0\)的解集，利用图像求解。转化为\(e^x\ge 1-2x\)，做两个图像就能看出，解集为\([0，+\infty)\)

• \(e^x+kx-1\ge 0(k>0)\)的解集，利用图像求解。转化为\(e^x\ge 1-kx\)，做两个图像就能看出，解集为\([0，+\infty)\)

[思路1：换元法]求解关于\(x\)的不等式\((2^x)-3\cdot 2^x+2<0\)；

分析：换元法，令\(2^x=t>0\)，则原超越不等式可以等价转化为代数不等式，不过是带有条件的，比如\(t>0\);

转化为\(t^2-3t+2<0(t>0)\)，用求解代数不等式的相应方法求解，

解得\(1<t<2\)，即\(1<2^x<2\)，解得\(0<x<1\)，

故所求的解集为\((0，1)\)。

[思路2：数形结合法]求解关于\(x\)的不等式 \(2^x\geqslant 3-x\)

分析：不能使用代数不等式的求解方法，故想到数形结合的思路，

在同一个坐标系中做出两个函数\(y=2^x\)和\(y=3-x\)的图像，其交点往往比较特殊；

由图像可知，不等式的解集为\([1，+\infty)\)。

引申：上述例子中的图像交点往往比较特殊，如果变为一般的情形呢？

[思路3：数形结合+二分法]求解关于\(x\)的不等式\(2^x\geqslant 4-x\)

分析：绝大多数的题目的交点坐标往往比较特殊，我们都可以轻松解决；但不是所有题目都这样，比如本题目；

此时我们还是有办法的，就是用到零点存在性定理和二分法，

令函数\(f(x)=2^x+x-4\)，则\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=2>0\)，故函数的零点\(x_0\)一定满足\(x_0\in (1，2)\)，能不能将有解区间再压缩呢？

用二分法，求解\(f(1.5)=2^{1.5}+1.5-4\approx 0.3>0\)，故有解区间压缩为\((1，1.5)\)之间，

如果还嫌不够，继续求解\(f(1.25)=2^{1.25}+1.25-4\approx -0.45<0\)，

\(2^{1.25}=2^{\frac{5}{4}}=2\cdot 2^{\frac{1}{4}}=2\cdot \sqrt{\sqrt{2}}=2\cdot \sqrt{1.414}=\approx 2\times 1.15\approx 2.3\)；

故有解区间压缩为\((1.25，1.5)\)，假设此时我们觉得可以满足要求了，那就可以停止二分法的操作，可以取值为\(x_0=1.3\)或者\(x_0=1.4\)，

我们不妨就确定为\(x_0=1.3\)，则此不等式的解集为\([1.3，+\infty)\)；

已知不等式\(lnx\leqslant kx\)的解集为\((0，+\infty)\)，求参数\(k\)的取值范围；

法1：【分离参数法】由于两个函数\(y=lnx\)和函数\(y=kx\)的公共定义域为\((0,+\infty)\)，

故题目可以转化为\(k\geqslant \cfrac{lnx}{x}\)在\((0，+\infty)\)上恒成立，

故需要求函数\(g(x)=\cfrac{lnx}{x}\)的最大值，

用常规的导数方法可以求得\(g(x)_{max}=\cfrac{1}{e}\)，

故\(k\geqslant \cfrac{1}{e}\)；即参数\(k\)的取值范围\([\cfrac{1}{e}，+\infty)\)；

法2：【数形结合+切线法】设函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)切点为\(Q(x_0，y_0)\)，则有

\(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)；

从而解得\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\)，故切点\(Q\)的坐标为\((e，1)\)

故直线\(y=kx\)和曲线\(y=lnx\)相切时的斜率\(k=\cfrac{1}{e}\)，

故参数\(k\)的取值范围\([\cfrac{1}{e}，+\infty)\)；

解不等式 \((\frac{x}{\ln x})^x>x^{\frac{x}{\ln x}}\)，\(x>1\)

解：两边取自然对数，得到\(x\cdot \ln\cfrac{x}{\ln x}>\cfrac{x}{\ln x}\cdot\ln x\)，

整理为 \(\ln \cfrac{x}{\ln x}>1\)，即\(\ln \cfrac{x}{\ln x}>\ln e\)，

故得到，\(\cfrac{x}{\ln x}>e\)，即\(\cfrac{x}{e}>\ln x\)，

借助图像或用导数求解如下，

令\(g(x)=\cfrac{x}{e}-\ln x\)，则\(g'(x)=\cfrac{1}{e}-\cfrac{1}{x}\)，

故当\(x\in(1,e)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，

当\(x\in (e,+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

故\(g(x)_{\min}=g(e)=0\)，故\(g(x)\geqslant0\)，

因此，不等式\(\cfrac{x}{e}>\ln x\)的解集为\(x\in (1,e)\cup(e,+\infty)\) .

超越方程

解方程 \(|a-6\sqrt{6-a^2}|=1\)；

解：由绝对值定义可知，\(a-6\sqrt{6-a^2}=1\) 或 \(a-6\sqrt{6-a^2}=-1\)，

即 \(a-1=6\sqrt{6-a^2}\) 或 \(a+1=6\sqrt{6-a^2}\) ，两边同时平方[可能会产生增根]，

整理得到 \(37a^2-2a-35=0\) 或 \(37a^2+2a-35=0\)，

即 \((37a+35)(a-1)=0\) 或 \((37a-35)(a+1)=0\)

解得 \(a=-\cfrac{35}{37}\) 或 \(a=1\) 或 \(a=\cfrac{35}{37}\) 或 \(a=-1\)

代入验根，舍去 \(a=-\cfrac{35}{37}\) ，

故方程的根为 \(a=1\) 或 \(a=\cfrac{35}{37}\) 或 \(a=-1\) .

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1. 代数函数
   变量之间的关系是用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如\(y=x^3+2x^2\)\(-x+1\)，\(y=\sqrt{x-3}\)等； ↩︎

2. 超越函数
   是指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数\(y=log_2^x\)，反三角函数如\(y=arcsinx\)，指数函数如\(y=2^x\)，三角函数如\(y=sinx\)等就属于超越函数，它们属于初等函数中的初等超越函数。对数和指数函数即为超越函数的例子。 ↩︎

3. 代数不等式
   不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式，如\(\cfrac{2}{x-1}>2x+1\)；可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式； ↩︎