配凑法

前言

配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 注意：变形的等价性及基本不等式应用的前提条件. 配凑法也是高中数学中比较常用的一种数学方法。

使用场景

• 为了将分式函数化简，使用配凑法；
• 为了使用均值不等式，使用配凑法；
• 为了判断函数的单调性，使用配凑法；
• 为了求函数的解析式，使用配凑法；

典例剖析

【配凑和为定值】已知\(x，y>0\)，\(2x+3y=4\)，求\(xy\)的最大值；

法1：\(xy=\cfrac{6xy}{6}=\cfrac{(2x)\cdot (3y)}{6}\leq \cfrac{1}{6}\cdot \Big(\cfrac{2x+3y}{2}\Big)^2=\cfrac{2}{3}\)

当且仅当\(\left\{\begin{array}{l}{2x=3y}\\{2x+3y=4}\end{array}\right.\)时，取到等号；即\(x=1\)，\(y=\cfrac{2}{3}\)时取到等号；

解后反思：配凑出\(2x+3y\)的和为定值，为了能正常使用均值不等式；

法2：代换法，变量集中。由\(2x+3y=4\)，得到\(x=\cfrac{4-3y}{2}>0\)，得到\(0<y<\cfrac{4}{3}\)，

代入\(xy\)得到，\(xy=\cfrac{4-3y}{2}\cdot y=\cfrac{-3y^2+4y}{2}=-\cfrac{3}{2}y^2+2y\)，\(0<y<\cfrac{4}{3}\)，

按照二次函数在限定区间上的最值求法求解即可；

【配凑积为定值】已知 \(x>0\)，求\(y=x+\cfrac{2}{2x+1}-\cfrac{3}{2}\)的最小值；

法1：由\(y=x+\cfrac{2}{2x+1}-\cfrac{3}{2}\)，得到

\(2y=2x+\cfrac{2\times2}{2x+1}-3\)，即

\(2y=(2x+1)+\cfrac{2\times2}{2x+1}-3-1\)，故

\(2y\geqslant 2\sqrt{(2x+1)\times\cfrac{2\times2}{2x+1}}-4=0\)，

即\(y\geqslant 0\)，当且仅当\(x=\cfrac{1}{2}\)时取得等号；

法2：由\(y=x+\cfrac{2}{2x+1}-\cfrac{3}{2}\)，得到

\(y=x+\cfrac{1}{x+\frac{1}{2}}-\cfrac{3}{2}\)，即

\(y=(x+\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{x+\frac{1}{2}}-2\)，故

\(y\geqslant 2\sqrt{(x+\cfrac{1}{2})\times\cfrac{1}{x+\frac{1}{2}}}-2=0\)

当且仅当\(x=\cfrac{1}{2}\)时取得等号；

【2020\(\cdot\) 绵阳诊断】若\(\theta\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)， 则 \(y=\cfrac{1}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9}{\cos^{2}\theta}\) 的取值范围为【\(\quad\)】

$A.[6,+\infty)$ $B.[10,+\infty)$ $C.[12,+\infty)$ $D.[16,+\infty)$

解析： 由于 \(\theta\in(0, \cfrac{\pi}{2})\)， 故 \(\sin^{2}\theta\)， \(\cos^{2}\theta\in(0,1)\)，

故 \(y=\cfrac{1}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9}{\cos^{2}\theta}=(\cfrac{1}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9}{\cos^{2}\theta})\cdot(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\)

\(=10+\cfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\)

\(\geqslant 10+2\sqrt{\cfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\times\cfrac{9\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}}=16\)

当且仅当 \(\cfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\cfrac{9\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\)， 即 \(\theta=\cfrac{\pi}{6}\) 时等号成立, 故选 \(D\).

已知\(a>1\)，\(b>0\)， \(a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}\)的最小值。

分析：由于\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\)，

故\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b})\times 3\) \(=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b})\times [(a-1)+b]\)

\(=\cfrac{1}{3}(1+4+\cfrac{b}{a-1}+\cfrac{4(a-1)}{b})\geqslant \cfrac{1}{3}(5+2\sqrt{4})=3\)，

当且仅当\(\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{\frac{b}{a-1}=\frac{4(a-1)}{b}}\end{array}\right.\)时，取到等号；

解后反思：配凑的目的是为了消去一部分分母，便于使用均值不等式；

【配凑或拆添积为定值】已知\(a>b>0\)，则 \(a+\cfrac{4}{a+b}+\cfrac{1}{a-b}\)的最小值为【\(\quad\)】

$A.\cfrac{3\sqrt{10}}{2}$ $B.4$ $C.2\sqrt{3}$ $D.3\sqrt{2}$

解析： 因为 \(a=\cfrac{1}{2}[(a+b)+(a-b)]\)，变形说明要特别注意此处的对变量 \(a\)的拆分技巧，非常类似于三角函数中的对角的拆分技巧，比如\(\alpha\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\([\)\((\)\(\alpha\)\(+\)\(\beta\)\()\)\(+\)\((\)\(\alpha\)\(-\)\(\beta\)\()\)\(]\)，此处做这样的变形，其目的是为了消去后面的两个分母；；

所以 \(a+\cfrac{4}{a+b}+\cfrac{1}{a-b}\)

\(=\cfrac{1}{2}(a+b)+\cfrac{4}{a+b}+\cfrac{1}{2}(a-b)+\cfrac{1}{a-b}\)

因为 \(a>b>0\)， 所以 \(a+b>0\)， \(a-b>0\)，

由基本不等式可得 \(\cfrac{1}{2}(a+b)+\cfrac{4}{a+b}\geqslant 2\sqrt{\cfrac{1}{2}(a+b)\times\cfrac{4}{a+b}}=2\sqrt{2}\)①，

当且仅当 \(\cfrac{1}{2}(a+b)=\cfrac{4}{a+b}\)， 即 \(a+b=2\sqrt{2}\)时， 等号成立；

\(\cfrac{1}{2}(a-b)+\cfrac{1}{a-b}\geqslant 2\sqrt{\cfrac{1}{2}(a-b)\times\cfrac{1}{a-b}}=\sqrt{2}\)②，

当且仅当 \(\cfrac{1}{2}(a-b)=\cfrac{1}{a-b}\)， 即 \(a-b=\sqrt{2}\) 时，等号成立.

由 \(\left\{\begin{array}{l}a+b=2\sqrt{2}\\a-b=\sqrt{2}\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}a=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\\b=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\)

所以当 \(\left\{\begin{aligned}a=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\\b=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\right.\)时，①②中的等号同时成立.

故 \(a+\cfrac{4}{a+b}+\cfrac{1}{a-b}\) 的最小值为 \(2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)，故选 \(D\).

研究函数\(f(x)=\cfrac{x^2}{3-x}\)的图像或者单调性，

分析：掌握以下的两种常用的变形技巧；

①[配凑法]变形，\(\cfrac{x^2}{3-x}=-\cfrac{x^2}{x-3}=-\cfrac{(x-3)^2+6x-9}{x-3}\)\(=-(x-3)-\cfrac{6x-18+9}{x-3}=-(x-3)-\cfrac{9}{x-3}-6\)\(=-[(x-3)+\cfrac{9}{x-3}]-6\)；

其图像可以借助\(f(x)=x+\cfrac{9}{x}\)的图像变换得到，借助图像就可以研究其所有性质了；

②[换元法]变形，令\(3-x=t\)，则\(x=3-t\)，则\(f(x)=\cfrac{x^2}{3-x}=\cfrac{(3-t)^2}{t}\)\(=\cfrac{t^2-6t+9}{t}=t+\cfrac{9}{t}-6=(3-x)+\cfrac{9}{3-x}-6\)\(=-[(x-3)+\cfrac{9}{x-3}]-6\)；

③也可以使用导数法研究，但是和上述方法[其优越性在于能用上我们积累的常用的模板函数的性质]相比，感觉繁琐，

已知函数\(f(x)\)满足条件 \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}\)，求\(f(x)\)的解析式；

分析： \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=(\sqrt{x}+1)^2-1\)，

注意右端需要配凑出以\(\sqrt{x}+1\)为整体变量的代数式，以便于下一步的代换，到此配凑工作结束；

令\(\sqrt{x}+1=t\)，则新元\(t\ge 1\)

故解析式为\(f(t)=t^2-1(t\ge 1)\)，再将自变量替换为我们适应的\(x\)，

则所求的解析式为\(f(x)=x^2-1(x\ge 1)\)。

解后反思：在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式，然后做代换。

已知\(f(x+\cfrac{1}{x})=x^3+\cfrac{1}{x^3}\)，求\(f(x)\)的解析式；

分析：注意到\(x^3+\cfrac{1}{x^3}=(x+\cfrac{1}{x})^3-3(x+\cfrac{1}{x})\)，

令\(t=x+\cfrac{1}{x}\)，则新元\(t \in(-\infty，-2]\cup[2，+\infty)\)

故所求解析式为\(f(x)=x^3-3x(|x|\ge 2)\)

解后反思：1、配凑法是结构化的方法，要注意式子两端的对应性，比如左端的自变量整体是\(\sqrt{x}+1\)，那么右端就必须围绕它来做文章；2、但凡使用了换元之处，就一定需要注意新元和旧元的取值范围的一致性。3、例中的\(t=x+\cfrac{1}{x}\)，其实是一个对勾函数，这是高三数学中的一个高频函数，需要特别注意，要对其性质非常清晰才行。