配凑法 | 分式函数常用方法
为了将分式函数化简，为了使用均值不等式， 为了判断函数的单调性， 为了求函数的解析式，等等都需要使用配凑法；
前言
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成满足某种条件的形式[比如均值不等式中就是有意配凑和为定值或积为定值的形式]. 配凑法的实质在于代数式的等价灵活变形，注意：变形的等价性 [若在基本不等式中使用配凑法，则需要注意应用的前提条件] . 配凑法也是高中数学中比较常用的一种数学方法。
使用场景
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为了将分式函数化简，使用配凑法；
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为了使用均值不等式，使用配凑法；
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为了判断函数的单调性，使用配凑法；
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为了求函数的解析式，使用配凑法；
常用变形
以下变形由于常用，提醒注意理解记忆 .引例，将函数 \(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{x^2}{3-x}\) 变形为 \(f(x)\)\(=\)\(-[(x-3)\)\(+\)\(\cfrac{9}{x-3}]\)\(-\)\(6\)；
- ①[配凑法]详细变形，可以在分子位置配凑分母，也可以在分母位置配凑分子；
\(\cfrac{x^2}{3-x}\)\(=\)\(-\cfrac{x^2}{x-3}\)\(=\)\(-\cfrac{(x-3)^2+6x-9}{x-3}\)\(=\)\(-(x-3)\)\(-\)\(\cfrac{6x-18+9}{x-3}\)
\(=\)\(-(x-3)\)\(-\)\(\cfrac{9}{x-3}\)\(-\)\(6\)\(=-[(x-3)\)\(+\)\(\cfrac{9}{x-3}]\)\(-\)\(6\)；
- ②还可以用换元法变形，请参阅 分式型函数，在此不再详述 .
典例剖析
法1：\(xy=\cfrac{6xy}{6}=\cfrac{(2x)\cdot (3y)}{6}\leq \cfrac{1}{6}\cdot \Big(\cfrac{2x+3y}{2}\Big)^2=\cfrac{2}{3}\)
当且仅当\(\left\{\begin{array}{l}{2x=3y}\\{2x+3y=4}\end{array}\right.\)时，取到等号；即\(x=1\)，\(y=\cfrac{2}{3}\)时取到等号；
解后反思：配凑出\(2x+3y\)的和为定值，为了能正常使用均值不等式；
法2：代换法，变量集中。由\(2x+3y=4\)，得到\(x=\cfrac{4-3y}{2}>0\)，得到\(0<y<\cfrac{4}{3}\)，
代入\(xy\)得到，\(xy=\cfrac{4-3y}{2}\cdot y=\cfrac{-3y^2+4y}{2}=-\cfrac{3}{2}y^2+2y\)，\(0<y<\cfrac{4}{3}\)，
按照二次函数在限定区间上的最值求法求解即可；
法1：由\(y=x+\cfrac{2}{2x+1}-\cfrac{3}{2}\)，得到
\(2y=2x+\cfrac{2\times2}{2x+1}-3\)，即
\(2y=(2x+1)+\cfrac{2\times2}{2x+1}-3-1\)，故
\(2y\geqslant 2\sqrt{(2x+1)\times\cfrac{2\times2}{2x+1}}-4=0\)，
即\(y\geqslant 0\)，当且仅当\(x=\cfrac{1}{2}\)时取得等号；
法2：由\(y=x+\cfrac{2}{2x+1}-\cfrac{3}{2}\)，得到
\(y=x+\cfrac{1}{x+\frac{1}{2}}-\cfrac{3}{2}\)，即
\(y=(x+\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{x+\frac{1}{2}}-2\)，故
\(y\geqslant 2\sqrt{(x+\cfrac{1}{2})\times\cfrac{1}{x+\frac{1}{2}}}-2=0\)
当且仅当\(x=\cfrac{1}{2}\)时取得等号；
解析： 由于 \(\theta\in(0, \cfrac{\pi}{2})\)， 故 \(\sin^{2}\theta\)， \(\cos^{2}\theta\in(0,1)\)，且有隐含条件 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，
故 \(y=\cfrac{1}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9}{\cos^{2}\theta}=(\cfrac{1}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9}{\cos^{2}\theta})\cdot(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\)
\(=10+\cfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\)
\(\geqslant 10+2\sqrt{\cfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\times\cfrac{9\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}}=16\)
当且仅当 \(\cfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\cfrac{9\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\)， 即 \(\theta=\cfrac{\pi}{6}\) 时等号成立, 故选 \(D\).
分析：由于\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\)，
故\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b})\times 3\) \(=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b})\times [(a-1)+b]\)
\(=\cfrac{1}{3}(1+4+\cfrac{b}{a-1}+\cfrac{4(a-1)}{b})\geqslant \cfrac{1}{3}(5+2\sqrt{4})=3\)，
当且仅当\(\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{\frac{b}{a-1}=\frac{4(a-1)}{b}}\end{array}\right.\)时，取到等号；
解后反思：配凑的目的是为了消去一部分分母，便于使用均值不等式；
解析： 因为 \(a=\cfrac{1}{2}[(a+b)+(a-b)]\)，变形说明要特别注意此处的对变量 \(a\)的拆分技巧，非常类似于三角函数中的对角的拆分技巧，比如\(\alpha\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\([\)\((\)\(\alpha\)\(+\)\(\beta\)\()\)\(+\)\((\)\(\alpha\)\(-\)\(\beta\)\()\)\(]\)，此处做这样的变形，其目的是为了消去后面的两个分母；；
所以 \(a+\cfrac{4}{a+b}+\cfrac{1}{a-b}\)
\(=\cfrac{1}{2}(a+b)+\cfrac{4}{a+b}+\cfrac{1}{2}(a-b)+\cfrac{1}{a-b}\)
因为 \(a>b>0\)， 所以 \(a+b>0\)， \(a-b>0\)，
由基本不等式可得 \(\cfrac{1}{2}(a+b)+\cfrac{4}{a+b}\geqslant 2\sqrt{\cfrac{1}{2}(a+b)\times\cfrac{4}{a+b}}=2\sqrt{2}\)①，
当且仅当 \(\cfrac{1}{2}(a+b)=\cfrac{4}{a+b}\)， 即 \(a+b=2\sqrt{2}\)时， 等号成立；
\(\cfrac{1}{2}(a-b)+\cfrac{1}{a-b}\geqslant 2\sqrt{\cfrac{1}{2}(a-b)\times\cfrac{1}{a-b}}=\sqrt{2}\)②，
当且仅当 \(\cfrac{1}{2}(a-b)=\cfrac{1}{a-b}\)， 即 \(a-b=\sqrt{2}\) 时，等号成立.
由 \(\left\{\begin{array}{l}a+b=2\sqrt{2}\\a-b=\sqrt{2}\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}a=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\\b=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\)
所以当 \(\left\{\begin{aligned}a=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\\b=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\right.\)时，①②中的等号同时成立.
故 \(a+\cfrac{4}{a+b}+\cfrac{1}{a-b}\) 的最小值为 \(2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)，故选 \(D\).
分析：掌握以下的两种常用的变形技巧；
①[配凑法]变形，\(\cfrac{x^2}{3-x}=-\cfrac{x^2}{x-3}=-\cfrac{(x-3)^2+6x-9}{x-3}\)\(=-(x-3)-\cfrac{6x-18+9}{x-3}=-(x-3)-\cfrac{9}{x-3}-6\)\(=-[(x-3)+\cfrac{9}{x-3}]-6\)；
其图像可以借助\(f(x)=x+\cfrac{9}{x}\)的图像变换得到，借助图像就可以研究其所有性质了；
②[换元法]变形，令\(3-x=t\)，则\(x=3-t\)，则\(f(x)=\cfrac{x^2}{3-x}=\cfrac{(3-t)^2}{t}\)\(=\cfrac{t^2-6t+9}{t}=t+\cfrac{9}{t}-6=(3-x)+\cfrac{9}{3-x}-6\)\(=-[(x-3)+\cfrac{9}{x-3}]-6\)；
③也可以使用导数法研究，但是和上述方法[其优越性在于能用上我们积累的常用的模板函数的性质]相比，感觉繁琐，
分析： \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=(\sqrt{x}+1)^2-1\)，
注意右端需要配凑出以\(\sqrt{x}+1\)为整体变量的代数式，以便于下一步的代换，到此配凑工作结束；
令\(\sqrt{x}+1=t\)，则新元\(t\ge 1\)
故解析式为\(f(t)=t^2-1(t\ge 1)\)，再将自变量替换为我们适应的\(x\)，
则所求的解析式为\(f(x)=x^2-1(x\ge 1)\)。
解后反思：在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式，然后做代换。
分析：注意到\(x^3+\cfrac{1}{x^3}=(x+\cfrac{1}{x})^3-3(x+\cfrac{1}{x})\)，
令\(t=x+\cfrac{1}{x}\)，则新元\(t \in(-\infty，-2]\cup[2，+\infty)\)
故所求解析式为\(f(x)=x^3-3x(|x|\ge 2)\)
解后反思：1、配凑法是结构化的方法，要注意式子两端的对应性，比如左端的自变量整体是\(\sqrt{x}+1\)，那么右端就必须围绕它来做文章；2、但凡使用了换元之处，就一定需要注意新元和旧元的取值范围的一致性。3、例中的\(t=x+\cfrac{1}{x}\)，其实是一个对勾函数，这是高三数学中的一个高频函数，需要特别注意，要对其性质非常清晰才行。
法1️⃣：注意到隐含条件\(x+(2-x)=2，x>0，2-x>0\)，可以使用均值不等式法，在此不再详述；
法2️⃣：利用配凑法或换元法变形为分式型函数求解，重点演示配凑法，在分母位置配凑分子 .
\(f(x)=\cfrac{2+3x}{-x^2+2x}\)
\(=-3\times\cfrac{x+\frac{2}{3}}{x^2-2x}\)
\(=-3\times\cfrac{x+\frac{2}{3}}{(x+\frac{2}{3})^2-2x-\frac{4x}{3}-\frac{4}{9}}\)
\(=-3\times\cfrac{x+\frac{2}{3}}{(x+\frac{2}{3})^2-\frac{10x}{3}-\frac{4}{9}}\)
\(=-3\times\cfrac{x+\frac{2}{3}}{(x+\frac{2}{3})^2-\frac{10}{3}(x+\frac{2}{3})-\frac{4}{9}+\frac{20}{9}}\)
\(=-3\times\cfrac{x+\frac{2}{3}}{(x+\frac{2}{3})^2-\frac{10}{3}(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9}}\) ，此时给分子分母同时除以\(x+\frac{2}{3}\)
\(=-3\times\cfrac{1}{(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9(x+\frac{2}{3})}-\cfrac{10}{3}}\) \(\qquad\) 变形详述
\(\geqslant -3\times \cfrac{1}{2\sqrt{\cfrac{16}{9}}-\cfrac{10}{3}}=\cfrac{9}{2}\)
当且仅当 \(x+\cfrac{2}{3}=\cfrac{4}{3}\) 时，即 \(x=\cfrac{2}{3}\) 时取得等号。
故\(f(x)\)的最小值为\(\cfrac{9}{2}\)。
