双连不等式

前情概要

形如 \(2<2x+1<3\) 的不等式，我们就称之为双连不等式。

相关思路

• 求解双联不等式的常用思路如下：

方法一：利用不等式的性质求解，给双连不等式的左、中、右同时减去\(1\)，得到\(1<2x<2\)，然后同时除以\(2\)，得到\(\cfrac{1}{2}<x<1\)；

方法二：转化为不等式组求解， 如\(\left\{\begin{array}{l}{2<2x+1}\\{2x+1<3.}\end{array}\right.\)

• 常用等价转化变形：

\(N\)\(<\)\(f(x)\)\(<\)\(M\) \(f(x)-N>0\)，\(f(x)-M<0\) \(\Leftrightarrow\) \([f(x)-M][f(x)-N]<0\) \(\Leftrightarrow\) \(|f(x)-\cfrac{M+N}{2}|\)\(<\)\(\cfrac{M-N}{2}\) 给双连不等式 \(N\)\(<\)\(f(x)\)\(<\)\(M\) 左中右同时减去 \(\cfrac{M+N}{2}\)，整理得到，\(\cfrac{N-M}{2}<f(x)-\cfrac{M+N}{2}<\cfrac{M-N}{2}\)，即\(|f(x)-\cfrac{M+N}{2}|\)\(<\)\(\cfrac{M-N}{2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\cfrac{f(x)-N}{M-f(x)}\) \(>\) \(0\) \(f(x)-N>0\)，\(M-f(x)>0\) \(\Leftrightarrow\) \(\cfrac{1}{f(x)-N}\)\(>\)\(\cfrac{1}{M-N}\)\(f(x)\)\(<\)\(M\)，则 \(0\)\(<\)\(f(x)-N\)\(<\)\(M-N\)，则由倒数法则可知，\(\cfrac{1}{f(x)-N}\)\(>\)\(\cfrac{1}{M-N}\)

典例剖析

【整体思想】解不等式 \(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，

法1：原不等式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{0<\cfrac{1+lga}{1-lga}①}\\{\cfrac{1+lga}{1-lga}<1②}\end{array}\right.\)

解①\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}\)，由穿根法得到\(\cfrac{1+lga}{lga-1}<0\)，故\(-1<lga<1\)③，

解②\(\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，变形得到\(\cfrac{2lga}{lga-1}>0\)，由穿根法得到\(lga<0\)或\(lga>1\)④，

故由③④求交集得到\(-1<lga<0\)，解得\(a\in (\cfrac{1}{10}，1)\)。

法2：看到双连不等式的中间分式部分，若能联想到分式的常用变形，也可以这样求解；

由\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，得到\(0<\cfrac{lga-1+2}{1-lga}<1\)，即\(0<-1+\cfrac{2}{1-lga}<1\)，故\(1<\cfrac{2}{1-lga}<2\)，且能得到\(1-lga>0\)，

故利用倒数法则得到\(\cfrac{1}{2}<\cfrac{1-lga}{2}<1\)，即\(1<1-lga<2\)，即\(-2<lga-1<-1\)，即\(-1<lga<0\)，解得解得\(a\in (\cfrac{1}{10}，1)\)，故选\(C\).

解不等式\(x<\cfrac{1}{x}<x^2\)；

分析：先转化为\(\left\{\begin{array}{l}{x<\cfrac{1}{x}①}\\{\cfrac{1}{x}<x^2②}\end{array}\right.\)，再用穿根法分别求解，

解①\(\cfrac{x^2-1}{x}<0\)得到\(x<-1\)或\(0<x<1\)；解②\(\cfrac{x^3-1}{x}>0\)得到\(x<0\)或\(x>1\)，

①②求交集得到，解集为\((-\infty，-1)\).

【2018江苏南京金陵中学检测】已知当\(0\leqslant x\leqslant 2\)时，不等式\(-1\leqslant tx^2-2x\leqslant 1\)恒成立，则\(t\)的取值范围是____________。

分析：当\(x=0\)时，不等式恒成立，则\(t\in R\);

当\(x\neq 0\)时，得到\(\cfrac{2x-1}{x^2}\leqslant t \leqslant \cfrac{2x+1}{x^2}\)在\((0,2]\)上恒成立，

令\(f(x)=\cfrac{2x-1}{x^2}=-(\cfrac{1}{x}-1)^2+1\)，最大值为\(1\)，则有\(t\geqslant 1\)；

令\(g(x)=\cfrac{2x+1}{x^2}=(\cfrac{1}{x}+1)^2-1\)，最小值为\(\cfrac{5}{4}\)，则有\(t\leqslant \cfrac{5}{4}\)；

综上可知，\(t\)的取值范围为\([1，\cfrac{5}{4}]\);

当\(t\leqslant 1\leqslant t+1\)时，怎么化简？

分析：转化为\(\left\{\begin{array}{l}{t\leqslant1}\\{t+1\geqslant1}\end{array}\right.\)，从而解得\(0\leqslant t\leqslant 1\)

求解\(2\leqslant 2\sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}}\leqslant 6\)

分析：左中右三部分同时约分，得到\(1\leqslant \sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}} \leqslant 3\)，

左中右三部分同时平方，得到\(1\leqslant 9-\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9\)，

左中右三部分同时同加\(-9\)，得到\(-8=1-9\leqslant -\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9-9=0\)，

左中右三部分同时同乘以\(-1\)，得到\(0\leqslant \cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 8\)，

整理为\(0\leqslant|2+a|^2\leqslant 16\)，

左中右三部分同时开平方，得到\(0\leqslant|2+a|\leqslant 4\)，

即\(|a+2|\leqslant 4\)，即\(-4\leqslant a+2\leqslant 4\)，

解得，\(-6\leqslant a\leqslant 2\)；

解关于 \(a\) 的不等式\(0<\cfrac{a}{e^a}<\cfrac{1}{e}\)；

解：原不等式等价于\(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{a}{e^a}>0①\\\cfrac{a}{e^a}<\cfrac{1}{e}②\end{array}\right.\)

解①得到，\(a>0\)，

②式化简为\(e^{a-1}>a\)③，

利用 \(y=e^{a-1}\) 和 \(y=a\) 图像可得，\(e^{a-1}\geqslant a\)，

故解③式得到，\(a\neq 1\)；

即原双连不等式的解集为\(a\in (0,1)\cup (1,+\infty)\)；

【2021届高三文数三轮模拟训练题】已知集合 \(A=\{x\mid x^2-4\geqslant 0\}\)，\(B=\{x\mid 0<\cfrac{1}{x}<1\}\)，则 \(A\cap B\)=【\(\qquad\)】

$A.\{x\mid x\leqslant-2\;\textbf{或}\; x\geqslant2\}$

$B.\{x\mid x\geqslant2\}$

$C.\{x\mid x\leqslant-2\}$

$D.\{x\mid -2\leqslant x<1\}$

解析：化简集合 \(A=\{x\mid x\leqslant-2\;\textbf{或}\; x\geqslant2\}\)，

化简集合 \(B\) 时，由于\(x\neq 0\) ，当 \(x<0\) 时，不满足题意，故舍去，

当 \(x>0\) 时，同乘以 \(x\) 得到，\(0<1<x\)，即 \(x>1\)，和 \(x>0\) 求交集得到，\(x>1\)，

故化简集合 \(B=\{x\mid x>1\}\)，则 \(A\cap B=\{x\mid x\geqslant2\}\)，故选 \(B\).