十字相乘法

公式定理💯随心记

【棱柱体积公式】$V=Sh$，其中 S 为底面积，h 为高；棱锥体积公式：$V=\cfrac {1}{3} Sh$

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前言

案例解释

• 以二次三项式 $2x^2+3x-2$ 的分解为例；

先将二次项的系数 $2$ 进行分解 $2\times 1$ ，再将常数项 $-2$ 进行分解 $-2\times 1$ ，然后分别竖行书写，交叉相乘再相加，若其和等于一次项的系数，则分解成功；若其和不等于一次项的系数，则分解不成功，需要调整前边的分解位置。具体解释如下：

比如书写为 $\large\displaystyle_1^2\times_{\;\;1}^{-2}$ ，验证， $2\times1+1\times(-2)=0\neq 3$ ，故分解失败，需要调整，如下再试，

$\large\displaystyle_2^1\times_{\;\;1}^{-2}$ ，验证， $1\times1+2\times(-2)=-3\neq 3$ ，故分解失败，需要调整，如下再试，

$\large\displaystyle_2^1\times_{-1}^{\;\;2}$ ，验证， $1\times(-1)+2\times 2=3$ ，分解成功，

添加未知数，直接写出两个因式，即 $_{2\cdot x}^{1\cdot x}$ $\times$ $_{-1}^{+2}$ ，然后横行写出， $(1x+2)(2x-1)$ ；

故 $2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)$。

• 十字相乘法的使用往往不是一次就能恰巧分解成功的，需要多次尝试，以及一定的口算心算能力。

难点破解

在具体的教学实践中，数字系数的十字相乘分解基本不成问题，难在字母系数的分解；

• 低阶层次，常数项的两个因式都是常数；

如 $x^2-3x+2<0$ ，可以直接快速分解为 $(x-1)(x-2)<0$ ；

• 中阶层次，常数项的两个因式中有一个是常数，另一个为含有字母的代数式 [整体思想]；

比如，$x^2-(m+4)x+m+3<0$，系数分解为 $_1^1$ $\times$ $_{\;\;-1}^{-(m+3)}$ ，即可以分解为 $(x-1)[x-(m+3)]<0$；

• 高阶层次，常数项的两个因式都是含有字母的代数式 [整体思想]；

比如，$x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0$，先不改动二次项和一次项，只将常数项做因式分解，

使用十字相乘法得到，$x^2-(2m+1)x+(m+2)(m-1)\leq 0$，

再次使用十字相乘法得到，$[x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0$；

再比如，$x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0$，系数分解为 $_1^1$ $\times$ $_{-a}^{-a^2}$，即可以分解为即 $(x-a)(x-a^2)\leq 0$；

常用分解

①$x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0$，即 $(x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0$；

②$x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0$；即 $[x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0$；

③$x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0$，即 $[x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0$；

④$x^2+(a+a^2)x+a^3\leq 0$，即 $(x+a)(x+a^2)\leq 0$；

⑤$x^2-(a+1)x+a\leq 0$，即 $(x-1)(x-a)\leq 0$；

⑥$x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0$；即 $(x-a)[x-(a+1)]\leq 0$；

⑦$\frac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)$；即 $(x-2a)[x-(a^2+1)]<0$，解集为 $(2a，a^2+1)$；

⑧$x^2+(m+4)x+m+3<0$，即 $(x+1)[x+(m+3)]<0$；

⑨$x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0$，即 $(x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0$；

⑩$x^2-2x+1-a^2 \geqslant 0(a>0)$，即 $[x-(1-a)][x-(1+a)]\geqslant 0$；

⑪$\cfrac{x-a}{x-a-1}>0$，即 $(x-a)[x-(a+1)]>0$；

⑫$2sin^2\alpha-\frac{6\sqrt{2}}{5}sin\alpha-\frac{7}{25}=0$，即 $(\sqrt{2}sin\alpha+\frac{1}{5})(\sqrt{2}sin\alpha-\frac{7}{5})=0$；

⑬$x^2-4x-a(a-4)\leqslant0$，即 $(x-a)[x-(4-a)]\leqslant0$；

⑭$ax^2+(2a+1)x+2\geqslant0$，即 $(ax+1)(x+2)\geqslant 0$；

⑮$\sqrt{3}a^2+16a+16\sqrt{3}=0$，即 $(a+4\sqrt{3})(\sqrt{3}a+4)=0$；

⑯$\alpha\beta x^2-(\alpha+\beta)x+1>0$，即 $(\alpha x-1)(\beta x-1)>0$；

特殊情形

⑯$ab-a-b+1\geqslant 0$，即 $(a-1)(b-1)\geqslant 0$；

⑰$a^2-3ab+2b^2\leqslant 0$，即 $(a-b)(a-2b)\leqslant 0$；或 $(\cfrac{a}{b})^2-3(\cfrac{a}{b})+2\leqslant 0$；

• 当系数里包含有无理数时，尽量不要尝试用十字相乘法分解，应该考虑公式法。

引例，如解不等式 $t^2-20\sqrt{2}t+175\leqslant 0$，

不应该考虑十字相乘法分解，应该考虑公式法。

对方程 $t^2-20\sqrt{2}t+175=0$ 而言，其求根公式为

$t=\cfrac{20\sqrt{2}\pm\sqrt{(20\sqrt{2})^2-4\times 175}}{2\times1}=\cfrac{20\sqrt{2}\pm 10}{2}=10\sqrt{2}\pm 5$

解得 $10\sqrt{2}-5\leqslant t \leqslant 10\sqrt{2}+5$

• 当系数中含有分数时，也可以尝试使用十字相乘法分解 [一般情形下，我们分解的系数的因子大多为整数，分数的很少，但并不是遇到分数时就不能使用十字相乘法]，否则就应该考虑公式法。

引例，如解方程 $(\cfrac{c}{a})^2-\cfrac{11}{3}\cdot\cfrac{c}{a}+2=0$，可以分解为 $(\cfrac{c}{a}-3)(\cfrac{c}{a}-\cfrac{2}{3})=0$，

故解得 $\cfrac{c}{a}=3$ 或 $\cfrac{c}{a}=\cfrac{2}{3}$ ;

高阶情形

• 在高三的常见题目中，可能更多见的是这样的：$x$ 的本质为代数式，$x\rightarrow e^x$

$f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2$

$=2e^{2x}-e^xa-a^2=2(e^x)^2-(e^x)a-a^2$

$=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)$，

其中 $2(e^x)^2-(e^x)a-a^2=2t^2-at-a^2$(令 $e^x=t$) 的分解形式如下：

$$\Large{_{2\cdot e^x}^{1\cdot e^x}{\times}_{\;a}^{-a}}$$

故 $f'(x)=(t-a)(2t+a)=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)$，

【初中教师数学能力测试题目】已知关于 $x$ 的方程 $(6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0$ 的根都是整数，则 $k$ 的个数为【$\qquad$】

$A.5$ $B.4$ $C.3$ $D.2$

分析：关于 $x$ 的方程 $(6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0$，

对其因式分解，可以分解为 $[(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0$，

则方程的两个根为 $x_1=\cfrac{9}{6-k}$，$x_2=\cfrac{6}{9-k}$，

由于方程的根都是整数，则 $6-k$ 和 $9-k$ 是 $6$ 和 $9$ 的公约数 [含正负]，

故 $6-k$ 和 $9-k$ 的值可能分别为 $\pm 1$ 和 $\pm 3$，以下检验，

当 $\cfrac{9}{6-k}=1$，则 $k=-3$，此时 $\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9+3}=\cfrac{1}{2}\not\in Z$，故舍去；

当 $\cfrac{9}{6-k}=-1$，则 $k=15$，此时 $\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-15}=-1\in Z$，满足题意；

当 $\cfrac{9}{6-k}=3$，则 $k=3$，此时 $\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-3}=1\in Z$，满足题意；

当 $\cfrac{9}{6-k}=-3$，则 $k=9$，此时 $\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-9}$ 无意义，舍去；

故满足题意的 $k=-1$ 或 $k=3$，故选 $D$。

【2020 $\cdot$ 天津模拟】已知在正项数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=1$ ， $(n+2)a_{n+1}^{2}$$-$$(n+1)a_{n}^{2}$$+$$a_{n}a_{n+1}$$=$$0$，$n\in{N}_{+}$， 则它的通项公式为【$\qquad$】

$A.a_{n}=\cfrac{1}{n+1}$ $B.a_{n}=\cfrac{2}{n+1}$ $C.a_{n}=\cfrac{n+1}{2}$ $D.a_{n}=n$

解析：由 $(n+2)a_{n+1}^{2}-(n+1)a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}=0$，

两边同除以 $a_n^2$，整理得到，

得 $(n+2)(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}})^{2}+\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)=0$，

令 $\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=t$， 因式分解得到，$\large{_{\;\;\;1}^{n+2}{\times}_{\;\;\;\;1}^{-(n+1)}}$

$(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1)[(n+2)\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)]=0$，

因为 $\{a_{n}\}$ 是正项数列，所以 $\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1>0$，

所以 $\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\cfrac{n+1}{n+2}$，

接下来思路 1️⃣: 则 $a_{n}=\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cdots\times\cfrac{a_{2}}{a_{1}}\times a_{1}$

$=\cfrac{n}{n+1}\times\cfrac{n-1}{n}\times\cdots\times\cfrac{2}{3}\times1$

$=\cfrac{2}{n+1}$. 故选 $B$.

如果你的数学素养更高一些，还可以用思路 2️⃣： 变形为 $(n+2)a_{n+1}-(n+1)a_{n}=0$，即数列 $(n+1)a_{n}$ 是等差数列，首项为 $2a_1=2$，公差为 $0$，why

故 $(n+1)a_n=2+(n-1)\times 0=2$，故 $a_n=\cfrac{2}{n+1}$. 故选 $B$.

【2016 全国卷 Ⅲ 改编】已知各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且 $a_n^2$$-$$(2a_{n+1}-1)a_n$$-$$2a_{n+1}$$=$$0$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

解析：将 $a_n$ 看成主元，将 $a_{n+1}$ 看成系数，将其分解得到，

$(a_n-2a_{n+1})(a_n+a_{n+1})=0$，由于 $a_n+a_{n+1}>0$，

故 $a_n-2a_{n+1}=0$，由于 $a_1\neq 0$，即 $\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{2}$，

故数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $\cfrac{1}{2}$ 的等比数列，故 $a_n=1\times(\cfrac{1}{2})^{n-1}=\cfrac{1}{2^{n-1}}$ .

关联素材

完成用十字相乘法的因式分解后，下一步就与解含参二次不等式，二次不等式习题，二次方程或根的分布，二次函数等相关联。