直线的倾斜角斜率和直线方程

前言

直线的方向的刻画，高中阶段有直线的斜率、直线的方向向量、导数三种方法。

倾斜角斜率

直线的倾斜角的范围\(\theta\in [0，\pi)\)；

直线方程

典例剖析

直线的方向向量

与直线\(3x+4y+5=0\)的方向向量共线的一个单位向量是【】

$A.(3，4)$ $B.(4，-3)$ $C.(\cfrac{3}{5}，\cfrac{4}{5})$ $D.(\cfrac{4}{5}，-\cfrac{3}{5})$

• 预备知识：经过两点\(P_1(x_1，y_1)\)、\(P_2(x_2，y_2)\)的直线的方向向量的坐标可以记为\((x_2-x_1，y_2-y_1)\)，当直线的斜率\(k\)存在时，方向向量的坐标可以记为\((1，k)\)，[即\((1，k)=(1，\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1})\)]；

同理，斜截式直线方程\(y=kx+b\)的一个方向向量可以取为\((1，k)\)，或\((-1，-k)\)或\((2，2k)\)等；

一般式直线方程\(Ax+By+C=0\)的一个方向向量可以取为\((1，k)\)，或\((1，-\cfrac{A}{B})\)或\((B，-A)\)或\((-B，A)\)等；

分析：直线\(3x+4y+5=0\)的一个方向向量可以取为\((4，-3)\)，将其单位化为\((\cfrac{4}{5}，-\cfrac{3}{5})\)，故选\(D\)。

已知\(\vec{a}=(6，2)\)，\(\vec{b}=(-4，\cfrac{1}{2})\)，直线\(l\)经过点\(A(3，-1)\)，且与向量\(\vec{a}+2\vec{b}\)垂直，则直线\(l\)的一般方程为____________。

分析：\(\vec{a}+2\vec{b}=(-2，3)\)，设直线\(l\)的方向向量为\((1，k)\)，则由直线\(l\)与向量\(\vec{a}+2\vec{b}\)垂直，得到\(-2+3k=0\)，即\(k=\cfrac{2}{3}\)，

即直线\(l\)的斜率为\(k=\cfrac{2}{3}\)，又过点\(A(3，-1)\)，则方程为\(y+1=\cfrac{2}{3}(x-3)\)，

整理得到一般式方程为\(2x-3y-9=0\).

直线的旋转和平移

将直线\(y=3x\)绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)，再向右平移\(1\)个单位，所得到的直线为【】

$A.y=-\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{3}$ $B.y=-\cfrac{1}{3}x+1$ $C.y=3x-3$ $D.y=\cfrac{1}{3}x+1$

分析：将直线\(y=3x\)绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)，得到\(y=-\cfrac{1}{3}x\)，再用\(x-1\)替换\(x\)，整理得到\(y=-\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{3}\)，故选\(A\)；

直线的截距式方程应用

与直线\(3x+4y+12=0\)平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是\(24\)的直线\(l\)的方程是____________。

分析：设与直线\(3x+4y+12=0\)平行的直线系方程为\(3x+4y=\lambda\)，

变形整理为直线的截距式方程为\(\cfrac{x}{\frac{\lambda}{3}}+\cfrac{y}{\frac{\lambda}{4}}=1\)，则得到三角形的两直角边长为\(|\cfrac{\lambda}{3}|\)和\(|\cfrac{\lambda}{4}|\)，

由\(\cfrac{1}{2}\times |\cfrac{\lambda}{3}|\times |\cfrac{\lambda}{4}|=24\)，解得\(\lambda=\pm 24\)，

即所求直线\(l\)的方程是\(3x+4y\pm 24=0\)。

求直线的倾斜角取值范围，本质是解正切型三角不等式。

直线的倾斜角的范围\(\theta\in [0，\pi)\)；

直线\(2xcos\alpha-y-3=0(\alpha\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{3}])\)的倾斜角的变化范围是【】

$A.[\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{3}]$ $B.[\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{3}]$ $C.[\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2})$ $D.[\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{2\pi}{3}]$

分析：设直线的倾斜角为\(\theta\)，则\(k=tan\theta=2cos\alpha\)，由于\(\alpha\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{3}]\)，则\(2cos\alpha\in [1，\sqrt{3}]\)，

即\(k=tan\theta\in [1，\sqrt{3}]\)，故\(\theta\in [\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{3}]\)，故选\(B\).

直线\(xsin\alpha-y+1=0\)的倾斜角的变化范围是【】

$A.(0，\cfrac{\pi}{2})$ $B.(0，\pi)$ $C.[-\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{4}]$ $D.[0，\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4}，\pi)$

分析：设直线的倾斜角为\(\theta\)，则\(k=tan\theta=sin\alpha\in [-1，1]\)，又由于\(\theta\in [0，\pi)\)，

则\(\theta\in [0，\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4}，\pi)\)，故选\(D\).

【2014黄冈模拟】直线\(l\)经过\(A(2，1)\)、\(B(1，m^2)(m\in R)\)两点，那么直线\(l\)的倾斜角的取值范围为【】

$A.[0，\pi)$ $B.[0，\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4}，\pi)$ $C.[0，\cfrac{\pi}{4}]$ $D.[0，\cfrac{\pi}{4}]\cup(\cfrac{\pi}{2}，\pi)$

分析：由点\(A(2，1)\)、\(B(1，m^2)\)得到，\(k=tan\theta=\cfrac{m^2-1}{1-2}=1-m^2\leqslant 1\)，故\(\theta\in [0，\cfrac{\pi}{4}]\cup(\cfrac{\pi}{2}，\pi)\)，故选\(D\).

高阶例题

过点\(P(2，1)\)作直线\(l\)，分别交\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，

（1）当\(\triangle AOB\)的面积最小时，求直线\(l\)的方程；

分析：过点\(P\)的直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，

则直线\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小于零，故设为\(y-1=k(x-2)\)，

则点\(A(2-\cfrac{1}{k}，0)\)，\(B(0，1-2k)\)，\(k<0\)；

则\(S_{\triangle AOB}=\cfrac{1}{2}|OA|\cdot |OB|=\cfrac{1}{2}(2-\cfrac{1}{k})(1-2k)\)\(=\cfrac{1}{2}(4-4k-\cfrac{1}{k})\)

\(=\cfrac{1}{2}[4-(4k+\cfrac{1}{k})]\)\(=\cfrac{1}{2}[4+(-4k)+\cfrac{1}{(-k)}]\)\(\geqslant \cfrac{1}{2}\left [4+2\sqrt{(-4k)\cdot \cfrac{1}{(-k)}}\;\;\right ]=4\)

当且仅当\(-4k=-\cfrac{1}{k}\)，即\(k=-\cfrac{1}{2}\)时等号成立，

故所求直线\(l\)的方程为\(x+2y-4=0\).

（2）当\(|PA|\cdot |PB|\)取最小值时，求直线\(l\)的方程；

分析：\(|PA|\cdot |PB|=\sqrt{(2-2+\frac{1}{k})^2+(1-0)^2}\cdot \sqrt{(2-0)^2+(1-1+2k)^2}\)\(=\sqrt{(\frac{1}{k})^2+1}\cdot \sqrt{4+4k^2}\)\(=\sqrt{\frac{4}{k^2}+4k^2+8}\)\(\geqslant \sqrt{8+2\sqrt{4k^2\times \frac{4}{k^2}}}=\sqrt{8+8}=4\)

当且仅当\(\cfrac{4}{k^2}=4k^2\)，又由于\(k<0\)，即\(k=-1\)时取到等号，

故所求直线\(l\)的方程为\(x+y-3=0\).

过点\(P(1，4)\)作直线\(l\)，分别交\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，

（1）当\(|PA|\cdot |PB|\)取最小值时，求直线\(l\)的方程；

提示：仿上例(2)完成，\(x+y-5=0\)；

（2）当\(|OA|+|OB|\)最小时，求直线\(l\)的方程；

分析：过点\(P\)的直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，

则直线\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小于零，故设为\(y-4=k(x-1)\)，

则点\(A(\cfrac{k-4}{k}，0)\)，\(B(0，4-k)\)，\(k<0\)；

则\(|OA|+|OB|=|\cfrac{k-4}{k}|+|4-k|=\cfrac{k-4}{k}+4-k\)\(=\cfrac{-k^2+5k-4}{k}\)\(=-k-\cfrac{4}{k}+5\)\(=5+[(-k)+(\cfrac{4}{-k})]\)\(\geqslant 5+2\sqrt{(-k)\times \frac{4}{-k}}=5+2\sqrt{4}=9\)

当且仅当\(-k=\cfrac{4}{-k}\)，即\(k=-2\)时取到等号；

故所求直线\(l\)的方程为\(2x+y-6=0\).

设点\(P\)是曲线\(y＝x^3-\sqrt{3}x+\cfrac{2}{3}\)上的任意一点，则曲线在点\(P\)处切线的倾斜角\(\alpha\)的取值范围为【】

$A.[0,\cfrac{\pi}{2})\cup[\cfrac{5\pi}{6},\pi)$ $B.[\cfrac{2\pi}{3},\pi)$ $C.[0,\cfrac{\pi}{2})\cup[\cfrac{2\pi}{3},\pi)$ $D.(\cfrac{\pi}{2}),\cfrac{5\pi}{6})$

分析：由于\(y'=3x^2-\sqrt{3}\geqslant -\sqrt{3}\)，故切线的斜率\(k\geqslant -\sqrt{3}\)，即\(\tan\alpha\geqslant -\sqrt{3}\)，

由图像可知，切线的倾斜角\(\alpha\)的取值范围是\([0,\cfrac{\pi}{2})\cup[\cfrac{2\pi}{3},\pi)\)，故选\(C\).