因式分解 | 高中阶段
熟练使用初中的因式分解工具，对解决高中数学中的许多题目真的有大帮助，许多运算能力不行的学生看后都感慨这一点。
前言
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。比如\(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+\)\(2\)\(=\)\((\)\(x\)\(-\)\(1\)\()\)\(\times\)\((\)\(x\)\(-\)\(2\)\()\)。
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高中阶段使用到因式分解的数学内容有解不等式(尤其是解含参不等式)、导数、解三角形或判断三角形形状等；
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因式分解的方法主要有：提取公因式法；公式法；拆添项法；十字相乘法；分组分解法；多项式除法；待定系数法；
常用方法
✍️ 提取公因式法；
引例，已知\(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\)．求\(f'(x)\)；
分析：\(f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)\cdot e^x+2a(x-1)\)\(=e^x(x-1)+2a(x-1)\)\(=(x-1)(e^x+2a)\)，
引例，涉及提取公因式法的常用变形
引例，\((7+\sqrt{6})\cdot(7\sqrt{2}-2\sqrt{3})=(7+\sqrt{6})\cdot\sqrt{2}\cdot(7-\sqrt{6})=\sqrt{2}\cdot(7+\sqrt{6})\cdot(7-\sqrt{6})=43\sqrt{2}\)
✍️ 拆添项法；[1]
已知\(3t^3-7t^2+4=0\)，求\(t\)的值；
分析：先将方程拆项变形为\(3t^3-3t^2-4t^2+4=0\)，然后分组分解得到，\((3t^3-3t^2)-(4t^2-4)=0\)，
\(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)\) \(=(t-1)(3t^2-4t-4)\) \(=(t-1)(t-2)(3t+2)=0\)，
✍️ 公式法；
\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)；\(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)；
✍️ 十字相乘法，使用最为广泛。实际高三数学教学和考试中的解不等式常常是这样的，熟练掌握对你的数学学习会有帮助的。
①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；
②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；
③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；
④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；
⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；
⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-1)[x-(a+1)]\leq 0\)；
⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；
⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；
⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\)，即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\)；
⑩\(f'(x)=x+(a-e)-\cfrac{ae}{x}=\cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=\cfrac{(x+a)(x-e)}{x}\)；
\(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，
\(g(x)=[f(x)]^2-2m\cdot f(x)+m^2-1=0\)，即\([f(x)-(m-1)][f(x)-(m+1)]=0\)
⑾\(x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]\leq0\)，即\(a-2\leq x\leq a+2\) ；
\(a^2x^2+ax-2=0\)，即\((ax+2)(ax-1)=0\)；
✍️ 分组分解法，也能使用于高次式的分解，难点是不容易发现分组的思路。
比如\(3x^3-7x^2+4=0\)，可以分解为
\(3x^3-3x^2-4x^2+4\)\(=\)\(3x^2(x-1)-4(x^2-1)\)\(=\)\((x-1)(3x^2-4x-4)\)\(=\)\((x-1)(x-2)(3x+2)\)；
那么，上式的分解中怎么会想到将\(-7x^2\)分解为\(-3x^2-4x^2\)的呢？
✍️ 试商法，原理：若\(f(x)=0\)，则\(f(x)\)中至少含有一个因子\(x\)，即\(f(x)=x\cdot g(x)\)或\(f(x)=x\cdot a\)(\(a\)为常数)
对于上式\(3x^3-7x^2+4=0\)，先尝试令\(x=0\)，不满足方程，说明三次三项式\(3x^3-7x^2+4\)中不能分解出因式\(x\)；
再尝试令\(x=1\)，发现方程成立，说明三次三项式\(3x^3-7x^2+4\)中应该能分解出因式\(x-1\)，这样另外一个因式的最高次必然会降低为\(2\)次；
如果还不行再尝试\(x=-1\)，依次类推，\(x=0\)，\(x=\pm 1\)，\(x=\pm 2\)，等等如此；
那么用试商法得到其中一个因式后，如何得到剩余的因式呢，这可以用多项式除法来解释说明。
✍️ 多项式除法，多用于三次式或高次式的分解
分析：先用试商法，令\(x_0=0\)，如果上述方程成立，说明方程能分解出因子\(x_0\)，本题目中显然不成立；
再令\(x_0=1\),上述方程不成立，说明方程不能分解出因子\(x_0-1\)；再令\(x_0=-1\),上述方程成立，
说明方程能分解出因子\(x_0+1\)；这样\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0+1)(x_0^2+bx_0+c)(b，c是常数，待定)\)，这样做的目的是为了降次；
以下用多项式除法探求另一个因式，多项式除法如下图所示；
看完这个除法，你可能会有这样的想法：其一，多项式的除法和数字的除法本质做法是一样的；其二，这个做法还是比较麻烦；
能不能改进一下呢，回答是肯定的。
✍️ 组合使用法
我们可以用试商法先确定一个因式，从而能确定分组分解的方向，即试商法和分组分解法组合使用。 接上例说明，由于我们知道必定有一个因式为\((x_0+1)\)，故和\(x_0^3\)分组的只能是\(1\)，从而想到将\(4\)拆分为\(1+3\)，然后将\(-3x_0^2\)和\(3\)分组，如下所示：
如\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3x_0^2+3=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)\) \(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)\) \(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)=(x_0+1)(x_0-2)^2\)；
典例剖析
解析: 由 \((n+2)a_{n+1}^{2}-(n+1)a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}=0\)，两边同除以 \(a_n^2\)，整理得到，
得 \((n+2)(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}})^{2}+\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)=0\)，
令 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=t\)， 因式分解得到，\(\large{_{\;\;\;1}^{n+2}{\times}_{\;\;\;\;1}^{-(n+1)}}\)
\((\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1)\bigg[(n+2)\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)\bigg]=0\)，
因为 \(\{a_{n}\}\) 是正项数列，所以 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1>0\)，
所以 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\cfrac{n+1}{n+2}\)，
则 \(a_{n}=\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cdots\times\cfrac{a_{2}}{a_{1}}\times a_{1}\)
\(=\cfrac{n}{n+1}\times\cfrac{n-1}{n}\times\cdots\times\cfrac{2}{3}\times1\)
\(=\cfrac{2}{n+1}\). 故选 \(B\).
分析：先由条件容易判定，$q\neq 1 $，由\(7S_6=3S_9\)，得到\(7\times \cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}=3\times \cfrac{a_1(1-q^9)}{1-q}\)
转化得到\(3q^9-7q^6+4=0\)，令\(q^3=t\)，变形为\(3t^3-7t^2+4=0\)，
即\(3t^3-3t^2-4t^2+4=0\)，即\(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)=\)\((t-1)(3t^2-4t-4)\)\(=(t-1)(t-2)(3t+2)=0\)，
解得\(t=1\)(舍去)，\(t=-\cfrac{2}{3}\)(舍去)，\(t=2\)；
即\(t=q^3=2\)，则\(a_n=a_4\cdot q^{n-4}=2q^{n-4}\)，
则\(a_{3n-2}=2\cdot q^{3n-6}=2\cdot (q^3)^{n-2}=2\cdot 2^{n-2}=2^{n-1}\)；
\(log_2a_n=log_22\cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_2q^3\)
\(=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_22=1+\cfrac{n-4}{3}\)；
则\(T_{10}=(2^0+2^1+\cdots+2^9)+[(1+\cfrac{-3}{3})+(1+\cfrac{-2}{3})+\cdots+(1+\cfrac{6}{3})\)
\(=\cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038\);
解后反思：巧妙利用指数幂的运算性质，可以大大简化本题目的运算过程，降低运算难度。
分析：关于\(x\)的方程\((6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0\)，
对其因式分解，可以分解为\([(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0\)，
则方程的两个根为\(x_1=\cfrac{9}{6-k}\)，\(x_2=\cfrac{6}{9-k}\)，
由于方程的根都是整数，则\(6-k\)和\(9-k\)是\(6\)和\(9\)的公约数[含正负]，
故\(6-k\)和\(9-k\)的值可能分别为\(\pm 1\)和\(\pm 3\)，以下检验，
当\(\cfrac{9}{6-k}=1\)，则\(k=-3\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9+3}=\cfrac{1}{2}\not\in Z\)，故舍去；
当\(\cfrac{9}{6-k}=-1\)，则\(k=15\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-15}=-1\in Z\)，满足题意；
当\(\cfrac{9}{6-k}=3\)，则\(k=3\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-3}=1\in Z\)，满足题意；
当\(\cfrac{9}{6-k}=-3\)，则\(k=9\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-9}\)无意义，舍去；
故满足题意的\(k=-1\)或\(k=3\)，故选\(D\)。
对应练习
提示：\((x-2)(x+1)(x-1)>0\)
提示： 用试商法求得，当\(x=2\)时，\(\cfrac{1}{2}x^3-x-2=0\)，故其必能分解出\(x-2\)，由上述的试商能指导分解方向，
\(\cfrac{1}{2}x^3-x-2=\cfrac{1}{2}x^3-4-x+2\)
\(=\cfrac{1}{2}(x^3-8)-(x-2)=\cfrac{1}{2}(x-2)(x^2+2x+4)-(x-2)\)
\(=(x-2)[\cfrac{1}{2}(x^2+2x+4)-1]=(x-2)(\cfrac{1}{2}x^2+x+1)\)
解析： \(g'(x)=\cfrac{(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)'\cdot x^2-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2x}{(x^2)^2}\)
\(=\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x^2-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2x}{x^4}\)
\(=\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2}{x^3}\)
\(=\cfrac{xe^x-\frac{3}{2}x^3-x-2e^x+x^3+2x+2}{x^3}\)
\(=\cfrac{(x-2)e^x-\frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}\)
到此，我们的思维大多就停滞了，难点在分子的三次多项式 \(-\cfrac{1}{2}x^3+x+2\) 的分解上，
此时，用试商法得到，\(x=2\)为其一个根，故分组分解如下，
\(-\cfrac{1}{2}x^3+x+2=-\cfrac{1}{2}x^3+4+x-2\)
\(=-\cfrac{1}{2}(x^3-2^3)+(x-2)=-\cfrac{1}{2}(x-2)(x^2+2x+4)+(x-2)\)
\(=(x-2)(-\cfrac{1}{2}x^2-x-1)\)，
故接上得到，
\(g'(x)=\cfrac{(x-2)e^x-\frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}=\cfrac{(x-2)(e^x-\cfrac{1}{2}x^2-x-1)}{x^3}\)
