因式分解 | 高中阶段

公式定理💯随心记

【圆的切线方程】过圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上一点 $P (x_0,y_0)$ 的切线方程：$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

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前言

把一个多项式在一个范围 (如实数范围内分解，即所有项均为实数) 化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。比如 $x^2$$-$$3x$$+$$2$$=$$($$x$$-$$1$$)$$\times$$($$x$$-$$2$$)$。

• 高中阶段使用到因式分解的数学内容有解不等式 (尤其是解含参不等式)、导数、解三角形或判断三角形形状等；

• 因式分解的方法主要有：提取公因式法；公式法；拆添项法；十字相乘法；分组分解法；多项式除法；待定系数法；

常用方法

✍️ 提取公因式法；

引例，已知 $f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2$．求 $f'(x)$；

分析：$f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)\cdot e^x+2a(x-1)$$=e^x(x-1)+2a(x-1)$$=(x-1)(e^x+2a)$，

引例，涉及提取公因式法的常用变形

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^{n+1};$

$2^{n+1}-2^n=2^n;$

$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；

$2^{n+1}+2^n=3\cdot 2^n$；

$2^{-(n+1)}\cdot 2=2^{-n}$；

$2^n\cdot 2^n=2^{2n}$；

$3^{n-1}-3^n=-2\cdot 3^{n-1}$；

$2^{n+1}÷2^n=2;$

$\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2^{n+1}}$；

$3^{n-1}\cdot 3^n=3^{2n-1}$；

$2^{n+1}\cdot 2^n=2^{2n+1};$

引例，$(7+\sqrt{6})\cdot(7\sqrt{2}-2\sqrt{3})=(7+\sqrt{6})\cdot\sqrt{2}\cdot(7-\sqrt{6})=\sqrt{2}\cdot(7+\sqrt{6})\cdot(7-\sqrt{6})=43\sqrt{2}$

✍️ 拆添项法；^[1]

已知 $3t^3-7t^2+4=0$，求 $t$ 的值；

分析：先将方程拆项变形为 $3t^3-3t^2-4t^2+4=0$，然后分组分解得到，$(3t^3-3t^2)-(4t^2-4)=0$，

$3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)$ $=(t-1)(3t^2-4t-4)$ $=(t-1)(t-2)(3t+2)=0$，

✍️ 公式法；

$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$；$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$；

✍️ 十字相乘法，使用最为广泛。实际高三数学教学和考试中的解不等式常常是这样的，熟练掌握对你的数学学习会有帮助的。

①$x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0$，即 $(x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0$；

②$x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0$，即 $[x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0$；

③$x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0$；即 $[x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0$；

④$x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0$，即 $(x-a)(x-a^2)\leq 0$；

⑤$x^2-(a+1)x+a\leq 0$，即 $(x-1)(x-a)\leq 0$；

⑥$x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0$；即 $(x-1)[x-(a+1)]\leq 0$；

⑦$\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)$；即 $(x-2a)[x-(a^2+1)]<0$，解集为 $(2a，a^2+1)$；

⑧$x^2+(m+4)x+m+3<0$，即 $(x+1)[x+(m+3)]<0$；

⑨$x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0$，即 $(x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0$；

⑩$f'(x)=x+(a-e)-\cfrac{ae}{x}=\cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=\cfrac{(x+a)(x-e)}{x}$；

$2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)$，

$g(x)=[f(x)]^2-2m\cdot f(x)+m^2-1=0$，即 $[f(x)-(m-1)][f(x)-(m+1)]=0$

⑾$x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]\leq0$，即 $a-2\leq x\leq a+2$ ；

$a^2x^2+ax-2=0$，即 $(ax+2)(ax-1)=0$；

✍️ 分组分解法，也能使用于高次式的分解，难点是不容易发现分组的思路。

比如 $3x^3-7x^2+4=0$，可以分解为

$3x^3-3x^2-4x^2+4$$=$$3x^2(x-1)-4(x^2-1)$$=$$(x-1)(3x^2-4x-4)$$=$$(x-1)(x-2)(3x+2)$；

那么，上式的分解中怎么会想到将 $-7x^2$ 分解为 $-3x^2-4x^2$ 的呢？

✍️ 试商法，原理：若 $f(x)=0$，则 $f(x)$ 中至少含有一个因子 $x$，即 $f(x)=x\cdot g(x)$ 或 $f(x)=x\cdot a$($a$ 为常数)

对于上式 $3x^3-7x^2+4=0$，先尝试令 $x=0$，不满足方程，说明三次三项式 $3x^3-7x^2+4$ 中不能分解出因式 $x$；

再尝试令 $x=1$，发现方程成立，说明三次三项式 $3x^3-7x^2+4$ 中应该能分解出因式 $x-1$，这样另外一个因式的最高次必然会降低为 $2$ 次；

如果还不行再尝试 $x=-1$，依次类推，$x=0$，$x=\pm 1$，$x=\pm 2$，等等如此；

那么用试商法得到其中一个因式后，如何得到剩余的因式呢，这可以用多项式除法来解释说明。

✍️ 多项式除法，多用于三次式或高次式的分解

解方程，$x_0^3-3x_0^2+4=0$；

分析：先用试商法，令 $x_0=0$，如果上述方程成立，说明方程能分解出因子 $x_0$，本题目中显然不成立；

再令 $x_0=1$, 上述方程不成立，说明方程不能分解出因子 $x_0-1$；再令 $x_0=-1$, 上述方程成立，

说明方程能分解出因子 $x_0+1$；这样 $x_0^3-3x_0^2+4=(x_0+1)(x_0^2+bx_0+c)(b，c 是常数，待定)$，这样做的目的是为了降次；

以下用多项式除法探求另一个因式，多项式除法如下图所示；

看完这个除法，你可能会有这样的想法：其一，多项式的除法和数字的除法本质做法是一样的；其二，这个做法还是比较麻烦；

能不能改进一下呢，回答是肯定的。

✍️ 组合使用法

我们可以用试商法先确定一个因式，从而能确定分组分解的方向，即试商法和分组分解法组合使用。 接上例说明，由于我们知道必定有一个因式为 $(x_0+1)$，故和 $x_0^3$ 分组的只能是 $1$，从而想到将 $4$ 拆分为 $1+3$，然后将 $-3x_0^2$ 和 $3$ 分组，如下所示：

如 $x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3x_0^2+3=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)$ $=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)$ $=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)=(x_0+1)(x_0-2)^2$；

典例剖析

【2020 $\cdot$ 天津模拟】已知在正项数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=1$ ， $(n+2)a_{n+1}^{2}-(n+1)a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}=0$，$n\in{N}_{+}$， 则它的通项公式为【$\qquad$】

$A.a_{n}=\cfrac{1}{n+1}$ $B.a_{n}=\cfrac{2}{n+1}$ $C.a_{n}=\cfrac{n+1}{2}$ $D.a_{n}=n$

解析：由 $(n+2)a_{n+1}^{2}-(n+1)a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}=0$，两边同除以 $a_n^2$，整理得到，

得 $(n+2)(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}})^{2}+\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)=0$，

令 $\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=t$， 因式分解得到，$\large{_{\;\;\;1}^{n+2}{\times}_{\;\;\;\;1}^{-(n+1)}}$

$(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1)\bigg[(n+2)\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)\bigg]=0$，

因为 $\{a_{n}\}$ 是正项数列，所以 $\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1>0$，

所以 $\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\cfrac{n+1}{n+2}$，

则 $a_{n}=\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cdots\times\cfrac{a_{2}}{a_{1}}\times a_{1}$

$=\cfrac{n}{n+1}\times\cfrac{n-1}{n}\times\cdots\times\cfrac{2}{3}\times1$

$=\cfrac{2}{n+1}$. 故选 $B$.

【2019 届高三理科数学第三轮模拟训练题】【难点题目，综合程度高，对学生的运算能力要求很高】已知正项等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $7S_6=3S_9$，$a_4=2$，则数列 $\{a_{3n-2}+log_2a_n\}$ 的前 $10$ 项的和 $T_{10}$=____________。

分析：先由条件容易判定，$q\neq 1$，由 $7S_6=3S_9$，得到 $7\times \cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}=3\times \cfrac{a_1(1-q^9)}{1-q}$

转化得到 $3q^9-7q^6+4=0$，令 $q^3=t$，变形为 $3t^3-7t^2+4=0$，

即 $3t^3-3t^2-4t^2+4=0$，即 $3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)=$$(t-1)(3t^2-4t-4)$$=(t-1)(t-2)(3t+2)=0$，

解得 $t=1$(舍去)，$t=-\cfrac{2}{3}$(舍去)，$t=2$；

即 $t=q^3=2$，则 $a_n=a_4\cdot q^{n-4}=2q^{n-4}$，

则 $a_{3n-2}=2\cdot q^{3n-6}=2\cdot (q^3)^{n-2}=2\cdot 2^{n-2}=2^{n-1}$；

$log_2a_n=log_22\cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_2q^3$

$=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_22=1+\cfrac{n-4}{3}$；

则 $T_{10}=(2^0+2^1+\cdots+2^9)+[(1+\cfrac{-3}{3})+(1+\cfrac{-2}{3})+\cdots+(1+\cfrac{6}{3})$

$=\cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038$;

解后反思：巧妙利用指数幂的运算性质，可以大大简化本题目的运算过程，降低运算难度。

【初中教师数学能力测试题目】已知关于 $x$ 的方程 $(6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0$ 的根都是整数，则 $k$ 的个数为

$A.5$ $B.4$ $C.3$ $D.2$

分析：关于 $x$ 的方程 $(6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0$，

对其因式分解，可以分解为 $[(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0$，

则方程的两个根为 $x_1=\cfrac{9}{6-k}$，$x_2=\cfrac{6}{9-k}$，

由于方程的根都是整数，则 $6-k$ 和 $9-k$ 是 $6$ 和 $9$ 的公约数 [含正负]，

故 $6-k$ 和 $9-k$ 的值可能分别为 $\pm 1$ 和 $\pm 3$，以下检验，

当 $\cfrac{9}{6-k}=1$，则 $k=-3$，此时 $\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9+3}=\cfrac{1}{2}\not\in Z$，故舍去；

当 $\cfrac{9}{6-k}=-1$，则 $k=15$，此时 $\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-15}=-1\in Z$，满足题意；

当 $\cfrac{9}{6-k}=3$，则 $k=3$，此时 $\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-3}=1\in Z$，满足题意；

当 $\cfrac{9}{6-k}=-3$，则 $k=9$，此时 $\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-9}$ 无意义，舍去；

故满足题意的 $k=-1$ 或 $k=3$，故选 $D$。

对应练习

分组分解：$x^3-x+2>2x^2$

提示：$(x-2)(x+1)(x-1)>0$

分组分解：$\cfrac{1}{2}x^3-x-2$

提示： 用试商法求得，当 $x=2$ 时，$\cfrac{1}{2}x^3-x-2=0$，故其必能分解出 $x-2$，由上述的试商能指导分解方向，

$\cfrac{1}{2}x^3-x-2=\cfrac{1}{2}x^3-4-x+2$

$=\cfrac{1}{2}(x^3-8)-(x-2)=\cfrac{1}{2}(x-2)(x^2+2x+4)-(x-2)$

$=(x-2)[\cfrac{1}{2}(x^2+2x+4)-1]=(x-2)(\cfrac{1}{2}x^2+x+1)$

【因式分解案例】令 $g(x)=\cfrac{e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1}{x^2}$，求导并加以整理变形；

解析： $g'(x)=\cfrac{(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)'\cdot x^2-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2x}{(x^2)^2}$

$=\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x^2-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2x}{x^4}$

$=\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2}{x^3}$

$=\cfrac{xe^x-\frac{3}{2}x^3-x-2e^x+x^3+2x+2}{x^3}$

$=\cfrac{(x-2)e^x-\frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}$

到此，我们的思维大多就停滞了，难点在分子的三次多项式 $-\cfrac{1}{2}x^3+x+2$ 的分解上，

此时，用试商法得到，$x=2$ 为其一个根，故分组分解如下，

$-\cfrac{1}{2}x^3+x+2=-\cfrac{1}{2}x^3+4+x-2$

$=-\cfrac{1}{2}(x^3-2^3)+(x-2)=-\cfrac{1}{2}(x-2)(x^2+2x+4)+(x-2)$

$=(x-2)(-\cfrac{1}{2}x^2-x-1)$，

故接上得到，

$g'(x)=\cfrac{(x-2)e^x-\frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}=\cfrac{(x-2)(e^x-\cfrac{1}{2}x^2-x-1)}{x^3}$

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1. 拆添项法，在均值不等式素材中也有使用，具体参阅 ↩︎