三角模板函数使用示例
三角函数问题的求解中，往往会使用模板函数的性质，本博文用例子说明如何依托模板函数的性质，做更进一步的延申研究。
前言
模板函数1
- 核心的模板函数\(y=\sin x\)，其性质如下：
定义域：\(x\in R\)；
值 域：\(y=sinx\in [-1，1]\)
单调性：单增区间 \([2k\pi-\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{\pi}{2}](k\in Z)\)； 单减区间 \([2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}](k\in Z)\)；
奇偶性：奇函数；\(sin(-x)=-sinx\)；
周期性：\(T=2\pi\)；
对称性：对称轴方程 \(x=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)；对称中心 \((k\pi，0)(k\in Z)\)；
零 点：\(x=k\pi (k\in Z)\)；
最 值：\(x=2k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)时，\(y_{max}=1\)；\(x=2k\pi-\cfrac{\pi}{2}\)时，\(y_{min}=-1\)；
五点法作图：
| \(x\) | \(0\) | \(\cfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\cfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=sinx\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(点的坐标\) | \((0,0)\) | \((\cfrac{\pi}{2},1)\) | \((\pi,0)\) | \((\cfrac{3\pi}{2},-1)\) | \((2\pi,0)\) |
效果图如下：
使用示例
当研究清楚了上述的函数\(y=sinx\)的性质后，我们就能够以此为依托，研究更复杂的正弦型函数的各种性质了。
我们以\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)为例子加以说明；
定义域：\(x\in R\)；
值域：由于\(-1\leqslant sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\leqslant 1\)，
故\((-1)\times 2+1\leqslant 2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\leqslant 1\times 2+1\)，即\(-1\leqslant y\leqslant 3\)；
单调性：由于\(2\)倍和后边的\(+1\)不影响单调性，故利用\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)求单调区间；
令\(2k\pi-\cfrac{\pi}{2}\leqslant 2x+\cfrac{\pi}{6}\leqslant 2k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，
解得单调递增区间为\([k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{6}]\)，\((k\in Z)\)；
令\(2k\pi+\cfrac{\pi}{2}\leqslant 2x+\cfrac{\pi}{6}\leqslant 2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，
解得单调递减区间为\([k\pi+\cfrac{\pi}{6}，k\pi+\cfrac{2\pi}{3}]\)，\((k\in Z)\)；
奇偶性：由于\(f(0)\neq 0\)，且\(f(0)\)没有取到最值，故函数没有奇偶性；
周期性：\(T=\cfrac{2\pi}{2}=\pi\)；
对称性：比如求对称轴方程，此时后边的\(+1\)不影响其对称性，前边的2倍也不影响，
故利用\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)求对称轴方程，
令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，解得对称轴方程为：\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)，
求对称中心，先利用\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)求对称中心，最后补充\(+1\)；
令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi(k\in Z)\)，解得\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}(k\in Z)\)，
故对称中心坐标为\((\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}，1)(k\in Z)\)
零点：令\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1=0\)，即\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})=-\cfrac{1}{2}\)，
则\(2x+\cfrac{\pi}{6}=2k\pi-\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)或\(2x+\cfrac{\pi}{6}=2k\pi-\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)
即\(x=k\pi-\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)或\(x=k\pi-\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，
最值：\(y_{min}=-1\)，\(y_{max}=3\)
五点法作图
五点法作图1：自定周期的起止点；函数为\(f(x)=2sin(3x-\cfrac{\pi}{6})\)
| \(x\) | $$\cfrac{\pi}{18}$$ | \(\cfrac{2\pi}{9}\) | \(\cfrac{7\pi}{18}\) | \(\cfrac{5\pi}{9}\) | $$\cfrac{13\pi}{18}$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3x-\cfrac{\pi}{6}\) | \(0\) | \(\cfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\cfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
| \(sin(3x-\cfrac{\pi}{6})\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(2\) | \(0\) | \(-2\) | \(0\) |
| \(点的坐标\) | \((\cfrac{\pi}{18},0)\) | \((\cfrac{2\pi}{9},2)\) | \((\cfrac{7\pi}{18},0)\) | \((\cfrac{5\pi}{9},-2)\) | \((\cfrac{13\pi}{18},0)\) |
效果图如下：
五点法作图2：自定周期的起止点；函数为\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)
| \(x\) | $$-\cfrac{\pi}{12}$$ | \(\cfrac{2\pi}{12}\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{5\pi}{12}\) | \(\cfrac{8\pi}{12}\)\(=\)\(\cfrac{2\pi}{3}\) | $$\cfrac{11\pi}{12}$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| \(2x+\cfrac{\pi}{6}\) | \(0\) | \(\cfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\cfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
| \(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(f(x)\) | \(1\) | \(3\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(点的坐标\) | \((-\cfrac{\pi}{12},1)\) | \((\cfrac{\pi}{6},3)\) | \((\cfrac{5\pi}{12},1)\) | \((\cfrac{2\pi}{3},-1)\) | \((\cfrac{11\pi}{12},1)\) |
效果图如下：
分析：在上题作图的基础上修正如下即可，
| \(x\) | $$0$$ | \(\cfrac{2\pi}{12}\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{5\pi}{12}\) | \(\cfrac{8\pi}{12}\)\(=\)\(\cfrac{2\pi}{3}\) | $$\cfrac{11\pi}{12}$$ | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2x+\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\cfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) | \(\cfrac{13\pi}{6}\) |
| \(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\) | \(\cfrac{1}{2}\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(\cfrac{1}{2}\) |
| \(f(x)\) | \(2\) | \(3\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) |
| \(坐标\) | \((0,2)\) | \((\cfrac{\pi}{6},3)\) | \((\cfrac{5\pi}{12},1)\) | \((\cfrac{2\pi}{3},-1)\) | \((\cfrac{11\pi}{12},1)\) | \((\pi,2)\) |
效果图如下：待整理；
模板函数2
- 核心的模板函数\(y=\cos x\)，其性质如下：
定义域：\(x\in R\)；
值 域：\(y=\cos x\in [-1，1]\)
单调性：单增区间 \([2k\pi-\pi，2k\pi](k\in Z)\)； 单减区间 \([2k\pi，2k\pi+\pi](k\in Z)\)；
奇偶性：奇函数；\(\cos(-x)=\cos x\)；
周期性：\(T=2\pi\)；
对称性：对称轴方程 \(x=k\pi(k\in Z)\)；对称中心 \((k\pi+\cfrac{\pi}{2}，0)(k\in Z)\)；
零 点：\(x=k\pi+\cfrac{\pi}{2} (k\in Z)\)；
最 值：\(x=2k\pi\)时，\(y_{max}=1\)；\(x=2k\pi+\pi\)时，\(y_{min}=-1\)；
五点法作图：
| \(x\) | \(0\) | \(\cfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\cfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=\cos x\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(点的坐标\) | \((0,1)\) | \((\cfrac{\pi}{2},0)\) | \((\pi,-1)\) | \((\cfrac{3\pi}{2},0)\) | \((2\pi,1)\) |
效果图如下：
以下内容，有时间再编辑；
使用示例
当研究清楚了上述的函数\(y=sinx\)的性质后，我们就能够以此为依托，研究更复杂的正弦型函数的各种性质了。
我们以\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)为例子加以说明；
定义域：\(x\in R\)；
值域：由于\(-1\leqslant sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\leqslant 1\)，
故\((-1)\times 2+1\leqslant 2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\leqslant 1\times 2+1\)，即\(-1\leqslant y\leqslant 3\)；
单调性：由于\(2\)倍和后边的\(+1\)不影响单调性，故利用\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)求单调区间；
令\(2k\pi-\cfrac{\pi}{2}\leqslant 2x+\cfrac{\pi}{6}\leqslant 2k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，
解得单调递增区间为\([k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{6}]\)，\((k\in Z)\)；
令\(2k\pi+\cfrac{\pi}{2}\leqslant 2x+\cfrac{\pi}{6}\leqslant 2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，
解得单调递减区间为\([k\pi+\cfrac{\pi}{6}，k\pi+\cfrac{2\pi}{3}]\)，\((k\in Z)\)；
奇偶性：由于\(f(0)\neq 0\)，且\(f(0)\)没有取到最值，故函数没有奇偶性；
周期性：\(T=\cfrac{2\pi}{2}=\pi\)；
对称性：比如求对称轴方程，此时后边的\(+1\)不影响其对称性，前边的2倍也不影响，
故利用\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)求对称轴方程，
令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，解得对称轴方程为：\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)，
求对称中心，先利用\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)求对称中心，最后补充\(+1\)；
令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi(k\in Z)\)，解得\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}(k\in Z)\)，
故对称中心坐标为\((\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}，1)(k\in Z)\)
零点：令\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1=0\)，即\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})=-\cfrac{1}{2}\)，
则\(2x+\cfrac{\pi}{6}=2k\pi-\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)或\(2x+\cfrac{\pi}{6}=2k\pi-\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)
即\(x=k\pi-\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)或\(x=k\pi-\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，
最值：\(y_{min}=-1\)，\(y_{max}=3\)
五点法作图
五点法作图：自定周期的起止点；函数为\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)
| \(x\) | $$-\cfrac{\pi}{12}$$ | \(\cfrac{2\pi}{12}\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{5\pi}{12}\) | \(\cfrac{8\pi}{12}\)\(=\)\(\cfrac{2\pi}{3}\) | $$\cfrac{11\pi}{12}$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| \(2x+\cfrac{\pi}{6}\) | \(0\) | \(\cfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\cfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
| \(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(f(x)\) | \(1\) | \(3\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(点的坐标\) | \((-\cfrac{\pi}{12},1)\) | \((\cfrac{\pi}{6},3)\) | \((\cfrac{5\pi}{12},1)\) | \((\cfrac{2\pi}{3},-1)\) | \((\cfrac{11\pi}{12},1)\) |
效果图如下：
分析：在上题作图的基础上修正如下即可，
| \(x\) | $$0$$ | \(\cfrac{2\pi}{12}\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{5\pi}{12}\) | \(\cfrac{8\pi}{12}\)\(=\)\(\cfrac{2\pi}{3}\) | $$\cfrac{11\pi}{12}$$ | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2x+\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\cfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) | \(\cfrac{13\pi}{6}\) |
| \(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\) | \(\cfrac{1}{2}\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(\cfrac{1}{2}\) |
| \(f(x)\) | \(2\) | \(3\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) |
| \(坐标\) | \((0,2)\) | \((\cfrac{\pi}{6},3)\) | \((\cfrac{5\pi}{12},1)\) | \((\cfrac{2\pi}{3},-1)\) | \((\cfrac{11\pi}{12},1)\) | \((\pi,2)\) |
效果图如下：待整理；
