几何概型习题 | 新高考已删

常规题型

典例剖析

【2018常州八校联考】已知函数\(f(x)=x^2+tx+t\)，对\(\forall x\in R\)，\(f(x)>0\)，函数\(g(x)\)\(=3x^2\)\(-2(t+1)x\)\(+t\)，则“\(\exists a，b\in (0，1)\)，使得\(g(a)=g(b)=0\)”为真命题的概率为【】

$A.\cfrac{1}{2}$ $B.\cfrac{1}{3}$ $C.\cfrac{1}{4}$ $D.\cfrac{1}{5}$

分析：由 \(f(x)>0\) 对 \(x\in R\) 恒成立可知，\(\Delta =t^2-4t<0\)，解得\(t\in (0，4)\)，

到此可知为长度型几何概型，且概率公式的分母为\(4-0=4\)；

对函数\(g(x)\)而言，“\(\exists a，b\in (0，1)\)，使得\(g(a)=g(b)=0\)”为真命题，

即意味函数在区间\((0，1)\)上必须有两个零点，则函数\(g(x)\)须满足条件：

\(\left\{\begin{array}{l}{g(0)>0}\\{g(1)>0}\\{0<-\cfrac{-2(t+1)}{2\times 3}<1}\\{\Delta \ge 0}\end{array}\right.\)，解得\(0<t<1\)，

由长度型几何概型求解公式可知，\(P=\cfrac{1-0}{4-0}=\cfrac{1}{4}\)，故选\(C\)。

解后反思：

①一元二次方程根的分布

②三种数学语言的转化能力

【2019高三理科数学课时作业用题】已知正棱锥\(S-ABC\)的底面边长为\(4\)，高为\(3\)，在正棱锥内任取一点\(P\)，使得\(V_{P-ABC}<\cfrac{1}{2}V_{S-ABC}\)的概率是【】

$A.\cfrac{3}{4}$ $B.\cfrac{7}{8}$ $C.\cfrac{1}{2}$ $D.\cfrac{1}{4}$

分析：做出正棱锥\(S-ABC\)如图所示，设其高线为\(SO=h\)，设三棱锥\(P-ABC\)的高为\(h_1\)，

先将不等关系改写为相等关系，即\(V_{P-ABC}=\cfrac{1}{2}V_{S-ABC}\)，即寻找临界状态下的点\(P\)的位置。

则由\(\cfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot h_1=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot h\)，得到\(h_1=\cfrac{1}{2}h\)，

即处于临界状态时，点\(P\)应该在正棱锥\(S-ABC\)的中截面\(MND\)内，

然后我们就能很容易的分析出要满足\(V_{P-ABC}<\cfrac{1}{2}V_{S-ABC}\)，则点\(P\)应该在正三棱台\(NDM-ABC\)内部，

故所求概率为\(P=1-\cfrac{V_{S-MND}}{V_{S-ABC}}=1-\cfrac{\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2\cdot h_1}{\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4^2\cdot h}=1-\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}\)，故选\(B\)。

【2019届高三理科数学二轮用题】已知一只蚂蚁在底面半径为5cm，高为12cm的圆锥侧面爬行，若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能性相等，且将蚂蚁看作一个点，则蚂蚁距离圆锥顶点超过5cm的概率为【】

$A.\cfrac{12}{13}$ $B.\cfrac{5}{13}$ $C.\cfrac{144}{169}$ $D.\cfrac{25}{169}$

分析：将题目中的圆锥展开后，则其侧面形成一个半径为\(13\)，弧长为\(10\pi\)的扇形，如下图所示，

要使的蚂蚁距离圆锥顶点超过 \(5cm\)，则蚂蚁应该在扇环内部，

而小扇形的弧长可以这样计算\(\cfrac{l}{5}=\cfrac{10\pi}{13}\)，故小扇形的弧长为\(\cfrac{50\pi}{13}\)，

故所求概率为\(P=1-\cfrac{\cfrac{1}{2}\times \cfrac{50\pi}{13}\times 5}{\cfrac{1}{2}\times 10\pi\times 13}=\cfrac{144}{169}\)，故选\(C\)。

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【2019届高三理科数学三轮模拟训练题】公元前6世纪，黄金分割被毕达哥拉斯学派发现，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。欧几里得在《几何原本》中论及正五边形有关黄金分割的定理：正五边形\(ABCDE\)中，\(AD\)，\(BE\)交于点\(H\)，则\(H\)为\(AD\)的黄金分割点，即\(\frac{AH}{HD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)，现从如图所示的正五边形中任取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率是【】

$A.\cfrac{2}{5}$ $B.\cfrac{\sqrt{5}}{5}$ $C.\cfrac{4}{7}$ $D.\cfrac{2+\sqrt{5}}{7}$

法1分析：由\(\frac{AH}{HD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)，

借助比例因子，则可设\(S_{\triangle AEH}=(\sqrt{5}-1)k(k>0)\)，\(S_{\triangle DEH}=2k\)，

且有\(S_{\triangle AHB}=S_{\triangle DHE}\)，又由于正五边形的对称性可知，

\(S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BCD}\)，\(S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BDH}\)，

则\(S_{\triangle ABE}=(\sqrt{5}-1)k+2k=(\sqrt{5}+1)k\)，

则\(S_{阴影}=2k+2k+(\sqrt{5}-1)k=(3+\sqrt{5})k\)，

\(S_{正}=2k+3\cdot (\sqrt{5}+1)k=(5+3\sqrt{5})k\)，

故所求概率为\(P=\cfrac{S_{阴影}}{S_{正}}=\cfrac{(3+\sqrt{5})k}{(5+3\sqrt{5})k}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)。

法2：设正五边形的棱长为\(a\)，则\(S_{正}=5\times\cfrac{1}{2}\times a\times \cfrac{a}{2sin36^{\circ}}\times 54^{\circ}=\cfrac{5a^2}{4}\times \cfrac{cos36^{\circ}}{sin36^{\circ}}\)

\(S_{\triangle ABE}=\cfrac{1}{2}a^2\times sin108^{\circ}\)，则由比例关系可得，

\(S_{阴影}=\cfrac{1}{2}a^2\times cos18^{\circ}(1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}+1)=\cfrac{1}{2}a^2\times cos18^{\circ}\times \cfrac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}+1}\)

故\(P=\cfrac{S_{阴影}}{S_{正}}=\cdots=\cfrac{\sqrt{5}+1}{5}\cdot \cfrac{cos18^{\circ}sin36^{\circ}}{cos36^{\circ}}=\cdots=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\).

【相关储备】计算\(sin18^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)

\(sin3\theta=3sin\theta cos^2\theta-sin^3\theta\)，\(cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta\)，

则由\(sin54^{\circ}=cos36^{\circ}\)，

可得\(3sin18^{\circ}cos^218^{\circ}-sin^318^{\circ}=cos^218^{\circ}-sin^218^{\circ}\).

整理得到，\(4sin^318^{\circ}-2sin^218^{\circ}-3sin18^{\circ}+1=0\)，

用试商法尝试分解\(x=1\)为其一个根，

故可以分解为\((sin18^{\circ}-1)(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1)=0\)，

\(sin18^{\circ}=1\)舍去，由\(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1=0\)，

得到\(sin18^{\circ}=\cfrac{-2\pm \sqrt{4+4\times4}}{2\times 4}=\cfrac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\)，

舍去负值，得到\(sin18^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)，

即\(2sin18^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)。

【易错题目】如图，在一个棱长为 \(2\) 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是【】

$A.1-\cfrac{\pi}{4}$ $B.\cfrac{\pi}{12}$ $C.\cfrac{\pi}{4}$ $D.1-\cfrac{\pi}{12}$

分析：选\(A\)， 本题目应该是面积型几何概型，容易错误理解为体积型几何概型；那么如何理解呢，若是体积型几何概型，则鱼食投放到鱼缸里的每一个点处都应该是等可能的，从上往下垂直投放鱼食，鱼食落在圆锥的外面正方体的下底面的中心附近的概率为零，落在下底面的顶点处的概率不为零，即不是等可能事件，故不应该是体积型几何概型。

引申：若将圆锥替换为等底的圆柱，答案应该还是 \(A\) 。

用面积比较大小