超几何分布

前言

数学模型

• 超几何分布

一般的，在含有\(M\)件次品的\(N\)件产品中，任取\(n\)件，其中恰有\(X\)件次品，则事件\(\{X=k\}\)发生的概率为\(P(X=k)=\cfrac{C_M^k\cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，m\))，其中\(m=min\{M，n\}\)，且\(n\leq N\)，\(M\leq N\)，\(n\)，\(M\)，\(N\in N^*\)，称这样的分布列为超几何分布列，如果随机变量\(X\)的分布列具有下表的形式，则称随机变量\(X\)服从超几何分布。

\(X\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(\cdots\)	\(m\)
\(P\)	\(\cfrac{C_M^0C_{N-M}^{n-0}}{C_N^n}\)	\(\cfrac{C_M^1C_{N-M}^{n-1}}{C_N^n}\)	\(\cfrac{C_M^2C_{N-M}^{n-2}}{C_N^n}\)	\(\quad\cdots\quad\)	\(\cfrac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}\)

如果\(X\)服从参数为\(n\)，\(M\)，\(N\)的超几何分布，记作\(X\sim H(n，M，N)\)，其数学期望\(E(X)=\cfrac{nM}{N}\)。

应用实例

①10件产品中含有3件次品，从中任意取4件产品，所取出的次品件数服从超几何分布；

②袋中有8红球4白球，从中任意摸出5个球，摸出红球个数服从超几何分布；

③某班45个学生，女生20人，现从中选7人做代表，代表中所含女生的人数服从超几何分布；

④15张卡片中含有5件写有“奖”字，从中任意取3件产品，所取出的卡片中含有奖字的卡片张数服从超几何分布；

⑤10位代表中有5位支持候选人\(A\)，随机采访3人，其中支持候选人\(A\)的人数服从超几何分布；

⑥盘中装有10个粽子，豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，从中任选3个，取到的豆沙粽的个数服从超几何分布；

注意：在具体题目中，可能需要将上述的三类数据转化为两类数据：豆沙粽子和非豆沙粽子。

典例剖析

【2015高考天津卷】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 \(3\) 名，其中种子选手 \(2\) 名；乙协会的运动员 \(5\) 名，其中种子选手 \(3\) 名。从这 \(8\) 名运动员中随机选择 \(4\) 人参加比赛。

（1）. 设 \(A\) 为事件“选出的 \(4\) 人中恰有 \(2\) 名种子选手，且这 \(2\) 名种子选手来自同一个协会”，求事件 \(A\) 发生的概率；

解析：由已知，从这 \(8\) 名运动员中随机选择 \(4\) 人参加比赛共有 \(C_8^4\) 种等可能的结果，属于古典概型，其中事件 \(A\) 包含的结果数为 \(C_2^2C_3^2+C_3^2C_3^2\) 一种情形是其中 \(2\) 名种子选手都来自甲协会的有 \(C_2^2C_3^2\)(从甲的2种子中选2个，从乙的3非种子中选2个)种，另一种情形是其中 \(2\) 名种子选手来自乙协会的有 \(C_3^2C_3^2\)(从乙的3种子中选2个，从甲和乙的3非种子中选2个，包含两个非种子来源于甲和乙 \(C_3^2C_2^1C_1^1\) 以及两个非种子只来源于乙两种情形 \(C_3^2C_2^2\) )种，种，

\[P(A)=\cfrac{C_2^2C_3^2+C_3^2C_3^2}{C_8^4}=\cfrac{6}{35} \]

所以，事件 \(A\) 发生的概率为\(\cfrac{6}{35}\)。

（2）. 设 \(X\) 为选出的 \(4\) 人中种子选手的人数，求随机变量 \(X\) 的分布列和数学期望。

解析： 从这 \(8\) 名运动员中随机选择 \(4\) 人，是不放回抽取，故应该属于超几何分布分母为 \(C_8^4\)，分子应该是\(C_5^k\cdot C_3^{4-k}\)，即从 5 个种子选手中任取 \(k\) 个，然后从 3 个非种子选手中任取 \(4-k\) 个；。

随机变量 \(X\) 的所有可能取值为 \(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)(最少不可能为 0)，则

\(P(X=k)\)\(=\)\(\cfrac{C_5^{k}C_3^{4-k}}{C_8^4}\)， \(\qquad\) \((k=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4)\)

所以，随机变量 \(X\) 的分布列为

\(X\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(P\)	\(\left(\cfrac{C_5^{1}C_3^{3}}{C_8^4}\right)\)\(\cfrac{1}{14}\)	\(\left(\cfrac{C_5^{2}C_3^{2}}{C_8^4}\right)\)\(\cfrac{3}{7}\)	\(\left(\cfrac{C_5^{3}C_3^{1}}{C_8^4}\right)\)\(\cfrac{3}{7}\)	\(\left(\cfrac{C_5^{4}C_3^{0}}{C_8^4}\right)\)\(\cfrac{1}{14}\)

随机变量 \(X\) 的数学期望为：

\(E(X)\)\(=\)\(1\times\cfrac{1}{14}\)\(+\)\(2\times\cfrac{3}{7}\)\(+\)\(3\times\cfrac{3}{7}\)\(+\)\(4\times\cfrac{1}{14}\)\(=\)\(\cfrac{5}{2}\)

解后反思：

①超几何分布的特点是：总体有A，B两类元素(如男女、正品次品等)组成，从总体中不放回的取出一定数目的元素，其中含有一类元素的个数即服从超几何分布；

②在具体题目中给定的数据种类比较多时，可能需要将其转化为需要的两类。比如本题目第(1)问中，为求解选出的4人中有2个种子选手，且种子选手来自同一协会，我们需要将甲乙两个协会的给定人数转化为两类：情形一，一类为甲协会的2个种子选手，另一类为3个非种子选手，此时将乙协会的两个人不予考虑；情形二，一类为乙协会的3个种子选手，另一类为3个非种子选手，此时将甲协会的两个人不予考虑；本题目第(2)问中，需要将8人分为两类：一类是5个种子选手，另一类是3个非种子选手。

③超几何分布中随机变量取各个值的概率是古典概型，使用古典概型的分式进行计算。