古典概型中的几何体计数

前言

计数策略

• 注意三个维度；
• 利用类比思维；
• 注意剔除重复情形；

典例剖析

已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的六个面的中心分别为\(E\)，\(F\)，\(G\)，\(H\)，\(I\)，\(J\)，甲从这 \(6\) 个点任选 \(2\) 个点连成直线 \(l_1\)，乙也从这 \(6\) 个点任选 \(2\) 个点连成与直线 \(l_1\) 垂直的直线 \(l_2\)，则 \(l_1\) 与 \(l_2\) 异面的直线的概率是___________。

分析：先做出正方体，以及六个面的中心，如下图所示，

然后将这六个中心两两相连，得到线段为\(C_6^2=15\)条，如下图所示，外观是个正八面体。

接下来，我们先考虑\(l_1\perp l_2\)的所有情形，为便于计数，我们对线段依次编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮；

\(1^{\circ}\)，绕\(z\)轴方向，即上下方向的维度上，相互垂直的直线有：

和⑮垂直的直线有：⑨，⑩，⑪，⑫，⑬，⑭，共有6对；

以及在\(yoz\)平面中，相互垂直的直线有①③；③⑤；⑤⑦；①⑦，共有4对；

\(2^{\circ}\)，绕\(x\)轴方向，即前后方向的维度上，相互垂直的直线有：

和⑬垂直的直线有：①，③，⑤，⑦，⑭，共有5对；

以及在\(xoz\)平面中，相互垂直的直线有②④；④⑧；⑥⑧；②⑥；共有4对；

\(3^{\circ}\)，绕\(y\)轴方向，即左右方向的维度上，相互垂直的直线有：

和⑭垂直的直线有：②，④，⑥，⑧，共有4对；

以及在\(xoy\)平面中，相互垂直的直线有⑨⑩；⑩⑪；⑪⑫；⑨⑫；共有4对；

故所有情形有\(6+5+4+3\times 4=27\)，其中属于异面垂直的直线有：每个维度上有4对，三个维度，共有12对，

故所求概率为\(P=\cfrac{12}{27}=\cfrac{4}{9}\)。

如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率是__________。

分析：我们容易判断该问题是古典概型，分母是\(C_8^4\)，难点是分子的确定。如图所示，我们选其中一个顶点，比如选\(A\)，

则过点\(A\)有三个维度，上下，左右，前后，先选定一个维度，比如上下，由于点\(A\)在上底面，故我们在下底面中寻找，自然先找到点\(A'\)，再找到点\(B'\)，最后找到点\(C'\)，这样一个“三节棍体”的四面体就得到了，我们先判断一下为什么四面体\(A-A_1B_1C_1\)称为“三节棍体”的四面体，然后回头思考其中的三节棍是哪些线段？\(AA_1\)，\(A_1B_1\)，\(B_1C_1\)，这三条线段的特点为两两垂直。

当选了点\(A\)后，在下底面就不会选\(B_1\)、\(C_1\)、\(D_1\)三个点，而会接着选\(A1\)、\(D_1\)、\(C_1\)三个点，得到“三节棍体”的四面体\(A-A_1D_1C_1\)，于是在一个维度上有2个符合题意的“三节棍体”，那么在三个维度上共有\(3\times2=6\)个“三节棍体”；同理，类似点\(A\)的顶点共有8个，故共有“三节棍体”的个数为\(6\times 8=48\)个；

接下来考虑是否有重复的情形，其实上述的情形刚好重复了一倍，比如当顶点为\(C_1\)时，得到的“三节棍体”\(C_1-A_1D_1A\)和\(A-A_1D_1C_1\)是相同的，这样应该有\(\cfrac{1}{2}\times 48=24\)，

故所求概率为\(P=\cfrac{24}{C_8^4}=\cfrac{12}{35}\)。