随机事件的概率

前言

廓清认知

• 频率与概率

频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。

• 为什么学习事件的关系和事件的运算

[事件的关系]包含关系：\(A\subseteq C\)；，相等关系：\(A\subseteq B\)且\(B\subseteq A\) \(\Leftrightarrow\) \(A=B\)；

[事件的运算]和事件(并事件)：\(A+B\)或\(A\cup B\)；积事件(交事件)：\(AB\)或\(A\cap B\)

以上内容可以借助集合的关系来理解；学习的目的是为了便于后续内容的刻画，也便于我们将复杂事件拆分为基本事件，为方便解题服务。

• 互斥事件和对立事件

以掷一枚骰子为例，记“向上的点数为1”为事件\(A\)，记“向上的点数为2”为事件\(B\)，记“向上的点数为奇数”为事件\(C\)，记“向上的点数为偶数”为事件\(D\)，

则有：“向上的点数非奇非偶”为不可能事件，“向上的点数为奇数或偶数”为必然事件，

\(A\subseteq C\)；\(B\subseteq D\)；

\(A，B\)为互斥事件，\(C，D\)为对立事件，

“事件\(M，N\)互斥”是“事件\(M，N\)对立”的必要不充分条件。

互斥事件可以推广到有限个，比如\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)，\(A_4\)，\(A_5\)，\(A_6\)彼此互斥；

• 和事件的概率加法公式

当事件\(A\)，\(B\)互斥时，\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)；

当事件\(A\)，\(B\)不互斥时，\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)；

相关链接

• 概率为零的事件必为不可能事件，概率为1的事件必为必然事件。错误

分析：此话在古典概型中是正确的，古典概型的特点是有限等可能的；但是在几何概型中是错误的，几何概型的特点是无限等可能的；

比如，在区间\([0，1]\)上取到数字\(0.5\)的概率为0，但是这个事件不是不可能事件，由于完全有可能取到\(0.5\)；

同理，在区间\([0，1]\)上不取到数字\(0.5\)的概率为1，但是这个事件不是必然事件，由于完全有可能取到\(0.5\)；

解题技巧

在计算事件的概率时，如果事件比较复杂，那么我们就可以将该事件拆分表达为若干个互斥事件之和，利用互斥事件的概率加法公式计算，当然也可以使用互为对立事件的两个事件的概率之和为1来求解，体现了转化划归思想和正难则反的思维的灵活性。

典例剖析

将两颗骰子投掷一次，求以下各情形的概率：

分析：将两颗骰子投掷一次，共有\(6\times 6=36\)种结果，比如用二维坐标形式\((m，n)\)来表示如下，向上的点数之和的不同值共有11种，

(1)向上的点数之和是8的概率；

设“向上的点数之和是8”为事件\(A\)，“向上的点数分别是4和4”为事件\(A_1\)，“向上的点数分别是3和5”为事件\(A_2\)，“向上的点数分别是2和6”为事件\(A_3\)，

则\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)彼此互斥，且\(A=A_1+A_2+A_3\)，

则\(P(A)=P(A_1+A_2+A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\)

\(=\cfrac{1}{36}+\cfrac{2}{36}+\cfrac{2}{36}=\cfrac{5}{36}\)

(8)向上的点数之和不小于8的概率；

分析：设“向上的点数之和不小于8”为事件\(S\)，“向上的点数之和为8”为事件\(A\)，“向上的点数之和为9”为事件\(B\)，“向上的点数之和为10”为事件\(C\)，“向上的点数之和为11”为事件\(D\)，

“向上的点数之和为12”为事件\(E\)，

则\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)彼此互斥，且\(S=A+B+C+D+E\)，

\(P(A)=\cfrac{5}{36}\)，\(P(B)=\cfrac{4}{36}\)，\(P(C)=\cfrac{3}{36}\)，\(P(D)=\cfrac{2}{36}\)，\(P(E)=\cfrac{1}{36}\)，

则\(P(S)=P(A+B+C+D+E)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)\)

\(=\cfrac{5}{36}+\cfrac{4}{36}+\cfrac{3}{36}+\cfrac{2}{36}+\cfrac{1}{36}=\cfrac{15}{36}=\cfrac{5}{12}\)。

【解后反思】：在概率计算题中将随机事件表示为一些互斥事件的和是一种重要的解题技能，这种表示不但可以使得解题过程表达清晰，还能有效的优化解题思路，避免错误。

【互斥事件与对立事件的辨析】从装有2个红球\(R_1，R_2\)和2个黑球\(B_1，B_2\)的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是【】

$A.$“至少有一个黑球”与“都是黑球”；

$B.$“至少有一个黑球”与“都是红球”；

$C.$“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”；

$D.$“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”；

分析：从口袋中任取2个球的所有结果的样本空间集合为\(\Omega=\{R_1R_2，R_1B_1，R_1B_2，R_2B_1，R_2B_2，B_1B_2\}\)

对于选项A.“至少有一个黑球”的集合是\(\{R_1B_1，R_1B_2，R_2B_1，R_2B_2，B_1B_2\}\)，“都是黑球”的集合是\(\{B_1B_2\}\)，故两个事件不是互斥的；

对于选项B.“至少有一个黑球”的集合是\(\{R_1B_1，R_1B_2，R_2B_1，R_2B_2，B_1B_2\}\)，“都是红球”的集合是\(\{R_1R_2\}\)，故两个事件是互斥且对立的；

对于选项C.“至少有一个黑球”的集合是\(\{R_1B_1，R_1B_2，R_2B_1，R_2B_2，B_1B_2\}\)，“至少有一个红球”的集合是\(\{R_1B_1，R_1B_2，R_2B_1，R_2B_2，R_1R_2\}\)，故两个事件不是互斥的；

对于选项D.“恰有一个黑球”的集合是\(\{R_1B_1，R_1B_2，R_2B_1，R_2B_2\}\)，“恰有两个黑球”的集合是\(\{B_1B_2\}\)，故两个事件是互斥而不对立的；故选\(D\)。

设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足\(P(A)+P(B)=1\)”，则甲是乙的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要条件$ $D.既不充分也不必要$

分析：当事件\(A，B\)是对立事件时，必然满足\(P(A)+P(B)=1\)；但是当满足\(P(A)+P(B)=1\)时，事件\(A，B\)可以是分马牛不相及的两个事件，故不一定是对立事件，故选\(A\)。

[研讨]设事件\(A\)，\(B\)，已知\(P(A)=\cfrac{1}{5}\)，\(P(B)=\cfrac{1}{3}\)，\(P(A\cup B)=\cfrac{8}{15}\)，则\(A\)，\(B\)之间的关系一定是【】

$A.两个任意事件$ $B.互斥事件$ $C.非互斥事件$ $D.对立事件$

网上解答：由于\(P(A)+P(B)=\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{8}{15}=P(A\cup B)\)，所以\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，故选\(B\).

研讨：本题目若事件\(A\)，\(B\)同属于同一个样本空间，则由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，可知\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，故选\(B\).

若事件\(A\)，\(B\)不是同属于同一个样本空间，则由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，并不一定能得到\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，可能是互斥事件，也可能是相互独立事件。

若随机事件\(A，B\)互斥，\(A，B\)发生的概率均不等于0，且\(P(A)=2-a\)，\(P(B)=4a-5\)，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.(\cfrac{5}{4}，2)$ $B.(\cfrac{5}{4}，\cfrac{3}{2})$ $C.[\cfrac{5}{4}，\cfrac{3}{2}]$ $D.(\cfrac{5}{4}，\cfrac{4}{3}]$

分析：由于任一随机事件的概率的取值范围是\(0< P(C)< 1\)，互斥事件的概率满足\(P(C)+P(D)\leq 1\)，

故其应该满足条件如下：

\(\left\{\begin{array}{l}{0<2-a < 1}\\{0<4a-5< 1}\\{(2-a)+(4a-5)\leqslant 1}\end{array}\right.\)，化简得\(\left\{\begin{array}{l}{1< a<2}\\{\cfrac{5}{4}<a< \cfrac{3}{2}}\\{a\leqslant \cfrac{4}{3}}\end{array}\right.\)，

解得\(\cfrac{5}{4}<a\leqslant \cfrac{4}{3}\)，故选\(D\)。

若\(A，B\)互为对立事件，其概率分别为\(P(A)=\cfrac{4}{x}\)，\(P(B)=\cfrac{1}{y}\)，则\(x+y\)的最小值为_________。

分析：由\(A，B\)互为对立事件可知，\(P(A)+P(B)=1\)，

即\(\cfrac{4}{x}+\cfrac{1}{y}=1\)，且有\(x>0\)，\(y>0\)，

则\(x+y=(x+y)\times (\cfrac{4}{x}+\cfrac{1}{y})=4+1+\cfrac{4y}{x}+\cfrac{x}{y}\ge 5+2\sqrt{4}=9\)，

当且仅当\(\cfrac{4y}{x}=\cfrac{x}{y}\)且\(\cfrac{4}{x}+\cfrac{1}{y}=1\)，

解得即当\(x=6\)，\(y=3\)时取到等号，故\((x+y)_{min}=9\)。

从一堆产品(正品与次品都多于\(2\)件)中任取\(2\)件，观察正品件数和次品件数，则下列说法：

①“恰好有\(1\)件次品”和“恰好\(2\)件都是次品”是互斥事件；

②“至少有\(1\)件正品”和“全是次品”是对立事件；

③“至少有\(1\)件正品”和“至少有\(1\)件次品”是互斥事件但不是对立事件；

④“至少有\(1\)件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件；

其中正确的有【① ② ④】；

分析：假设正品有\(A、B、C\)三件，次品有\(D、E、F\)三件[具体化时，数目刚满足题意即可，越少越好]，依次得到选项中的各事件；

在选项①中，“恰好有\(1\)件次品”包括\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)共9个基本事件；“恰好\(2\)件都是次品”包括\((D,E)\)，\((D,F)\)，\((E,F)\)共3个基本事件，这两个事件是互斥事件，故①正确；

在选项②中，“至少有\(1\)件正品”包括\((A,B)\)，\((A,C)\)，\((B,C)\)、\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)共12个基本事件；“全是次品”包括\((D,E)\)，\((D,F)\)，\((E,F)\)共3个基本事件，这两个事件的交集为空集，并集为全集[\(C_6^2=15\)]，因此是对立事件，故①正确；

在选项③中，“至少有\(1\)件正品”包括\((A,B)\)，\((A,C)\)，\((B,C)\)、\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)共12个基本事件；“至少有\(1\)件次品”包括\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)，\((D,E)\)，\((D,F)\)，\((E,F)\)共12个基本事件；这两个事件并不是互斥事件，故③错误；

在选项④中，“至少有\(1\)件次品”包括\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)，\((D,E)\)，\((D,F)\)，\((E,F)\)共12个基本事件；“全是正品”包括\((A,B)\)，\((A,C)\)，\((B,C)\)共3个基本事件，这两个事件的交集为空集，并集为全集[\(C_6^2=15\)]，故④正确；

综上所述，填写① ② ④

解题策略：抽象问题具体化。