轮换对称式

轮换对称式

比如给定的表达式

\[a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca, \]

如果我们将\(a、b、c\)轮番替换，比如\(a\Rightarrow b，b\Rightarrow c，c\Rightarrow a\)后，

就得到了

\[b^2+c^2+a^2\ge bc+ca+ab, \]

其本质和替换前的是一样的(加法具有交换律)，凡是具有这样的特征的代数式我们就称之为轮换对称式，证明轮换对称式的题目时常常考虑构造对称不等式。

证明思路

轮换对称式的证明主要采用“分合”策略；

\(1^。\) 先说“分”：

分组方式为两项为一组或一项一组，当两项为一组时，或利用现有的项两两构成一组，或添加项构成一组；常利用基本不等式来解决，当一项为一组时，常利用单调性来解决。

• 如\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)，

主要利用形如这样\(a^2+b^2\ge 2ab\)的三个同样结构形式解决。

• 再如\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c)\)，

主要利用形如这样\(\sqrt{a^2+b^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(a+b)}{2}\) 的三个同结构的形式解决。

• 再如锐角三角形中，证明\(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\) ，

主要利用形如\(sinA>cosB\)的三个同结构的形式解决。

\(2^。\) 再说“合”：

往往是把相同形式的三个代数式相加或相乘即可。

• \(\left.\begin{array}{l}{a^2+b^2\ge 2ab}\\{b^2+c^2\ge 2bc}\\{c^2+a^2\ge 2ca}\end{array}\right\}\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ac)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

• \(\left.\begin{array}{l}{\sqrt{a^2+b^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(a+b)}{2}}\\{\sqrt{b^2+c^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(b+c)}{2}}\\{\sqrt{c^2+a^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(c+a)}{2}}\end{array}\right\}\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c)\)

• \(\left.\begin{array}{l}{sinA>cosB}\\{sinB>cosC}\\{sinC>cosA}\end{array}\right\}\Rightarrow sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\)

典例剖析

证明：\(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

分析：\(\cfrac{a^2}{b}+b\ge 2a(a=b时取等号)\)；\(\cfrac{b^2}{c}+c\ge 2b(b=c时取等号)\)；\(\cfrac{c^2}{a}+a\ge 2c(a=c时取等号)\)；

三个式子相加得到\(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)，当且仅当\(a=b=c\)时取到等号。

已知\(a，b，c\)为正实数，且\(a+b+c=1\)，求证：

(1)\(a^2+b^2+c^2\ge \cfrac{1}{3}\)；

【法1】由于\(a+b+c=1\)，

故\(1^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\leq a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)=3(a^2+b^2+c^2)\)，

即\(a^2+b^2+c^2\ge \cfrac{1}{3}\)；

【法2】设\(a=\cfrac{1}{3}+\alpha\)，\(b=\cfrac{1}{3}+\beta\)，\(c=\cfrac{1}{3}+\gamma\)，

则由\(a+b+c=1\)，将上式代入得到\(\alpha+\beta+\gamma=0\)，

则\(a^2+b^2+c^2=(\cfrac{1}{3}+\alpha)^2+(\cfrac{1}{3}+\beta)^2+(\cfrac{1}{3}+\gamma)^2\)

\(=\cfrac{1}{3}+\cfrac{2}{3}(\alpha+\beta+\gamma)+\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\)

\(=\cfrac{1}{3}+\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\ge \cfrac{1}{3}\)。

(2)\(ab+bc+ca\leq \cfrac{1}{3}\)

分析：由于\(a+b+c=1\)，

故\(1^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\ge (ab+bc+ca)+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)\)，

即\(ab+bc+ca\leq \cfrac{1}{3}\)

(3)\(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge 1\)

分析：由例题1可知，

\(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\)，得证。

证明：\(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy}\ge \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\)

分析：\(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}=\cfrac{1}{z}(\cfrac{x}{y}+\cfrac{x}{y})\ge \cfrac{2}{z}(x=y时取到等号)\)；

\(\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy}=\cfrac{1}{x}(\cfrac{y}{z}+\cfrac{z}{y})\ge \cfrac{2}{x}(y=z时取到等号)\)；

\(\cfrac{z}{xy}+\cfrac{x}{yz}=\cfrac{1}{y}(\cfrac{z}{x}+\cfrac{x}{z})\ge \cfrac{2}{y}(z=x时取到等号)\)；

以上三个式子相加，得到\(2(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy})\ge 2(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z})\)，

即\(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy}\ge \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\)(当且仅当\(x=y=z\)时取到等号)。

证明：在锐角三角形中，\(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\)

分析：在锐角三角形中，\(A，B，C\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)，故\(A+B>\cfrac{\pi}{2}\)，

即\(A>\cfrac{\pi}{2}-B\)，此时可知\(A，\cfrac{\pi}{2}-B\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)，

而函数\(y=sinx\)在区间\((0，\cfrac{\pi}{2})\)上单调递增，故\(sinA>sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB\)，

同理，\(sinB>cosC\)，\(sinC>cosA\)，三个式子相加得到，

\(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\)。