2019届宝鸡理数质检Ⅰ解析版
2019届宝鸡理数质检Ⅰ解析版
一、选择题：
\(A.\)求两个正数\(a\)，\(b\)的最小公倍数
\(B.\)判断两个正数\(a\)，\(b\)是否相等
\(C.\)判断其中一个正数能否被另一个正数整除
\(D.\)求两个正数\(a\)，\(b\)的最大公约数
分析：抽象问题具体化，采用特殊化策略，
令\(a=6\)，\(b=8\)，按程序框图执行，
STEP1：\(a\neq b\)，是，\(a>b\)，否，\(b=2\)；
STEP2：\(a\neq b\)，是，\(a>b\)，是，\(a=4\)；
STEP3：\(a\neq b\)，是，\(a>b\)，是，\(a=2\)；
STEP4：\(a\neq b\)，否，输出\(a=2\)；
即算法的功能是利用“更相减损术”求两个正数的最大公约数。故选\(D\)。
分析：属于三角函数中已知两边和一边的对角的形式，常用正弦定理或余弦定理求解；
更多的采用余弦定理的方程表达形式，也是考试中对余弦定理考察形式中的高频考查模式。
\(b^2=a^2+c^2-2accosB\)，即\(7=a^2+14-2a\times 4\times\cfrac{3}{4}\)，
得到\(a^2-6a+9=0\)，即\(a=3\)，又由于\(sinB=\cfrac{\sqrt{7}}{4}\)，
故\(S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}acsinB=\cfrac{3\sqrt{7}}{2}\)，选\(B\)。
分析：由题意可知，\(|PQ|=|PD|\)，但是用这个不好建立轨迹方程，或者不能有效的和抛物线的定义建立联系，
故等价转化为\(|PA|=|PB|\)，且其模型为\(y^2=2px\)。
这样就可以理解为平面内一个动点\(P\)到一个定点\(A\)的距离等于其到定直线\(x=-2\)的距离。
由抛物线的定义可知，\(-\cfrac{p}{2}=-2\)，即\(p=4\)，故\(y^2=2\times 4x=8x\)，故选\(A\)。
分析：由题目可知，数列为单调递增数列，则有\(S_8-S_5<0\)，且\(S_9-S_5>0\)
即\(S_8-S_5=a_6+a_7+a_8=3a_7<0\)，\(a_7<0\)，
\(S_9-S_5=a_6+a_7+a_8+a_9=2(a_7+a_8)>0\)，即\(a_8>0\)，且\(|a_8|>|a_7|\)，故选\(D\)。
【法1】空间向量法，第一种建系方式；以点\(A\)为坐标原点，以\(AC\)，\(AA_1\)分别为\(y\)、\(z\)轴，以和\(AC\)垂直的直线为\(x\)轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则\(A(0，0，0)\)，\(B(\sqrt{3}，1，0)\)，\(A_1(0，0，2)\)，\(B_1(\sqrt{3}，1，2)\)，\(C(0，2，0)\)，
\(\overrightarrow{AB_1}=(\sqrt{3}，1，2)\)，\(\overrightarrow{A_1C}=(0，2，-2)\)，且线线角的范围是\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)，
故所求角的余弦值为\(|cos<\overrightarrow{AB_1}，\overrightarrow{A_1C}>|=\cfrac{|1\times 2+2\times(-2)|}{\sqrt{8}\times\sqrt{8}}=\cfrac{1}{4}\)。故选\(C\)。
【法1】空间向量法，第二种建系方式；以\(BN\)的中点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则\(A(1，0，0)\)，\(B(0，\sqrt{3}，0)\)，\(C(-1，0，0)\)，\(A_1(1，0，2)\)，\(B_1(0，\sqrt{3}，2)\)，\(C_1(-1，0，2)\)，
\(\overrightarrow{AB_1}=(-1，\sqrt{3}，2)\)，\(\overrightarrow{A_1C}=(-2，0，-2)\)，且线线角的范围是\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)，
故所求角的余弦值为\(|cos<\overrightarrow{AB_1}，\overrightarrow{A_1C}>|=\cfrac{|-1\times (-2)+\sqrt{3}\times 0+2\times(-2)|}{\sqrt{8}\times\sqrt{8}}=\cfrac{1}{4}\)。故选\(C\)。
【法2】：立体几何法，补体平移法，将正三棱柱补体为一个底面为菱形的直四棱柱，连结\(B_1D\)，则\(B_1D//A_1C\)，
故异面直线\(AB_1\)与\(CA_1\)所成角，即转化为共面直线\(AB_1\)与\(B_1D\)所成的角\(\angle AB_1D\)，连结\(AD\)，
在\(\Delta AB_1D\)中，\(AB=AA_1=2\)，可得\(AB_1=B_1D=2\sqrt{2}\)，\(AD=2\sqrt{3}\)，
由余弦定理可知，\(cos\angle AB_1D=\cfrac{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2}{2\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{3}}=\cfrac{1}{4}\)，
故所求为\(\cfrac{1}{4}\)，故选\(C\)。
法1：做出如图所示的示意图如下，
由图可知，设右焦点为\(G\)，则\(|PG|=|FQ|\)，则由\(|PF|=3|FQ|\)，得到\(|PF|=3|PG|\)，
又由双曲线的定义可知，\(|PF|-|PG|=2a\)，即得到\(|PG|=a\)，
这样在\(\triangle POG\)中，\(|OP|=b\)，\(|PG|=a\)，\(|OG|=c\)，
在\(\triangle POF\)中，\(|OP|=b\)，\(|PF|=3a\)，\(|OF|=c\)，
由\(cos\angle POG+cos\angle POF=0\)，即\(\cfrac{b^2+c^2-(3a)^2}{2bc}+\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=0\)，
解得\(c^2=3a^2\)，即\((\cfrac{c}{a})^2=3\)，即\(e=\sqrt{3}\)。
法2：特殊化策略，待思考整理。
分析：由于题目告诉我们，存在\(x_0\)，使得\(f(x_0)\leq \cfrac{4}{5}\)成立，
则需要我们求解函数\(f(x)\)的最小值，最容易想到的就是利用导数求解函数的最小值，
这个最小值中会含有参数\(a\)，让其小于等于\(\cfrac{4}{5}\)，求解即可。
但是观察函数的特征，你会感觉这可能不是一个很好的选择。
那么有没有更好的选择呢，详细观察所给的函数结构特征，发现其和平面内任意两点见的距离公式很接近，
所以我们可以这样考虑：
函数\(f(x)\)的最小值应该是点\((x，lnx^2)\)和点\((a，2a)\)之间的最小距离的平方，再次转化为
函数\(y=g(x)=lnx^2=2lnx\)上的动点\((x，y)\)与函数\(y=h(x)=2x\)上的动点\((m，n)\)之间的最小距离的平方，
从而问题转化为先求解曲线\(y=2lnx\)上的动点到直线\(y=2x\)的最小距离了。
利用平行线法，设直线\(y=2x+m\)与曲线相切于点\((x_0，y_0)\)，
则有\(g'(x_0)=\cfrac{2}{x_0}=2\)，解得\(x_0=1\)，
代入\(y=2lnx\)，得到\(y_0=0\)，即切点为\((1，0)\)点，
代入\(y=2x+m\)，得到\(m=-2\)
即切线为\(y=2x-2\)，此时函数\(f(x)\)的最小值，也就是曲线上的点\((1，0)\)到直线\(y=2x\)的点线距的平方，
也是两条直线\(y=2x\)和\(y=2x-2\)之间的线线距的平方，其中线线距\(d=\cfrac{|2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\cfrac{2}{\sqrt{5}}\)
故\(d^2=\cfrac{4}{5}\)，说明这样的\(x_0\)是存在的，\(x_0=1\)，
那么\(a\)为多少?该如何求解呢？由于\(a\)是使得函数\(f(x)\)取得最小值的参数，
即本题目中应该是点\((1，0)\)在直线\(y=2x\)上的垂足的横坐标。
由于过点\((1，0)\)和\(y=2x\)垂直的直线为\(y-0=-\cfrac{1}{2}(x-1)\)，
联立\(\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\cfrac{1}{2}(x-1)}\end{array}\right.\)，解得\(x=\cfrac{1}{5}\)，
即\(a=\cfrac{1}{5}\)，故选\(B\)。
法2：验证法，待整理。
二、填空题：
分析：
\(\begin{array}{ccc} \color{red}{3}&4&5\\ 2\times1+1&2\times1\times(1+1)&2\times1\times(1+1)+1\\ 5&12&13\\ 2\times2+1&2\times2\times(2+1)&2\times2\times(2+1)+1\\ 7&24&25\\ 2\times3+1&2\times3\times(3+1)&2\times3\times(3+1)+1\\ 9&40&41\\ 2\times4+1&2\times4\times(4+1)&2\times4\times(4+1)+1\\ 11&60&61\\ 2\times5+1&2\times5\times(5+1)&2\times5\times(5+1)+1\\ 13&84&85\\ 2\times6+1&2\times6\times(6+1)&2\times6\times(6+1)+1\\ 15&112&113\\ 2\times7+1&2\times7\times(7+1)&2\times7\times(7+1)+1\\ \end{array}\)
故第五组勾股数为\(11，60，61\)；
推广得到第\(n\)组勾股数的组成规律：
\(a=2\times n+1\)，\(b=2\times(n+1)+1\)，\(a=2\times n\times (n+1)+1\)，
分析：直接构造，很难，
由题意可采用割补法，考虑到四面体\(ABCD\)的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以\(a\)，\(\sqrt{5}\)，\(\sqrt{5}\)为三边的三角形作为底面，且分别为\(x\)，\(y\)，\(z\)为侧棱长、且侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为\(x\)，\(y\)，\(z\)的长方体，
则有\(x^2+y^2=a^2\)，\(x^2+z^2=5\)，\(y^2+z^2=5\)，设球半径为\(R\)，则有\((2R)^2=x^2+y^2+z^2=\cfrac{1}{2}a^2+5\)，
又由于四面体\(ABCD\)的外接球的表面积为\(9\pi\)，则球的表面积为\(S=4\pi R^2=9\pi\)．
即\(4R^2=9\)，则\(\cfrac{1}{2}a^2+5=9\)，解得\(a=2\sqrt{2}\)。
分析：本题目涉及构造函数的方法，是个难题，不过还是有一定的规律可以遵循的，
我们先将要求解的不等式中的\(lnx\)理解为一个整体，这样就变形为\(f(t)>3t+1\)，
所以就容易看出来该怎么构造函数了，做差构造。【为什么这样构造？带着问题继续往下看】
令\(g(x)=f(x)-3x-1\)，这样\(g'(x)=f'(x)-3\)，由\(f'(x)<3\)，可知\(g'(x)<0\)，
即这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性，即函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递减，
又\(g(1)=f(1)-3\times 1-1=f(1)-4=0\)，
即到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质，在\(R\)上单调递减，且有唯一的零点为\(x=1\)，
故由\(g(x)>0\)可以得到解为\(x<1\)，由\(g(x)<0\)可以得到解为\(x>1\)，
现在\(f(lnx)>3lnx+1\)等价于\(g(lnx)>0\)，故得到\(lnx<1\)，
解得\(0<x<e\)，故解集为\((0，e)\)。
相关阅读： 构造函数的几种常见角度；构造函数习题
分析：完全仿照上述题目解法完成。
简解：令\(g(x)=f(x)-2x+1\)，则\(g'(x)=f'(x)-2<0\)，故函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递减，
又\(g(1)=f(1)-2\times 1+1=0\)，故可知\(g(x)>0\)时的解集为\(\{x\mid x<1\}\)，
又由于原不等式\(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1\)等价于\(g(|log_2x|)>0\)，
故先得到\(|log_2x|<1\)，即\(-1<log_2x<1\)，即\(log_2\cfrac{1}{2}<x<log_22\)，
解得\(\cfrac{1}{2}<x<2\)，故选\(D\)。
三、解答题：
(1)求椭圆\(C\)的方程；
分析：由题目可知，\(b=1\)，\(c=1\)，则\(a^2=2\)，
故椭圆方程为\(C：\cfrac{x^2}{2}+y^2=1\)；
(2)若斜率为\(k\)的直线过点\(M(2，0)\)，且与椭圆\(C\)相交于\(A、B\)两点，试探讨\(k\)为何值时，\(OA\perp OB\)。
分析：设点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，直线\(AB\)的方程为\(y=k(x-2)\)，
由\(\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-2)}\\{\cfrac{x^2}{2}+y^2=1}\end{array}\right.\)，消去\(y\)得到，\((1+2k^2)x^2-8k^2x+8k^2-2=0\)，
所以\(x_1+x_2=\cfrac{8k^2}{1+2k^2}\)，\(x_1x_2=\cfrac{8k^2-2}{1+2k^2}\)，
由于\(OA\perp OB\)，所以\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。
而\(y_1y_2=k^2(x_1-2)(x_2-2)\)，所以\(x_1x_2+k^2(x_1-2)(x_2-2)=0\)，
即\((1+k^2)x_1x_2-2k^2(x_1+x_2)+4k^2=0\)，
所以\(\cfrac{(1+k^2)(8k^2-2)}{1+2k^2}-\cfrac{16k^4}{1+2k^2}+4k^2=0\)，
解得\(k^2=\cfrac{1}{5}\)，此时\(\Delta >0\)，所以\(k=\pm \cfrac{\sqrt{5}}{5}\)。
某商场销售电冰箱，每周周初购进一定数量的电冰箱，上次每销售一台电冰箱获利\(500\)元，若供大于求，则每台多余的电冰箱需要交保管费\(100\)元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，此时每台电冰箱仅获利\(200\)元。
(1)、若该商场周初购进\(20\)台电冰箱，求当周的利润(单位：元)关于需求量\(n\)(单位：台，\(n\in N\))的函数解析式；
分析：\(1^{\circ}\)，当\(n\ge 20\)且\(n\in N\)时(供不应求)，\(f(n)=500\times 20+200\times(n-20)=200n+6000\)，
\(2^{\circ}\)，当\(n\leq 19\)且\(n\in N\)时(供大于求)，\(f(n)=500\times n-100\times(20-n)=600n-2000\)，
所以\(f(n)=\left\{\begin{array}{l}{200n+6000，n\ge 20}\\{600n-2000，n\leq 19}\end{array}\right.(n\in N)\)
(2)、该商场记录了去年夏天(共10周)的电冰箱需求量\(n\)(单位：台)整理得下表，
| 周需求量 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|
| n | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以记录的每周的需求量的频率作为每周需求量的概率，若商场周初购进\(20\)台电冰箱，\(x\)表示当周的利润(单位：元)，求\(x\)的分布列及数学期望。
分析：由(1)可知，\(f(18)=8800\)，\(f(19)=9400\)，\(f(20)=10000\)，\(f(21)=10200\)，\(f(22)=10400\)，
所以\(x\)的分布列为
| \(x\) | 8800 | 9400 | 10000 | 10200 | 10400 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p\) | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.1 |
所以，\(Ex=8800\times 0.1+9400\times 0.2+10000\times 0.3+10200\times 0.3+10400\times 0.1=9860\)。
（1）讨论\(f(x)\)的单调性．
【分析】利用导函数分解因式后的两个因式函数的图像和符号法则判断导函数的正负，
从而判断原函数的单调性。
【解答】定义域为\(R\)，\(f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)\cdot e^x+2a(x-1)=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a)\)，
在同一个坐标系中做出函数\(y=x-1\)(定图)和函数\(y=e^x+2a\)(动图)的图像，
根据动图\(y=e^x+2a\)是否与\(x\)轴有交点分类讨论如下：
①当\(2a\ge 0\)时，即\(a\ge 0\)时，恒有\(e^x+2a>0\)，
当\(x\in (-\infty，1)\)上时，\(x-1<0\) ，则\(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0\)，故\(f(x)\)单调递减，
当\(x\in (1，+\infty)\)上时，\(x-1>0\) ，则\(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0\)，故\(f(x)\)单调递增，
当\(2a<0\)时，即\(a<0\)时，\(y=e^x+2a\)与\(x\)轴有交点，令\(e^x+2a=0\)，解得\(x=ln(-2a)\)，
然后针对\(ln(-2a)\)与\(1\)的大小关系继续细分如下
②当\(ln(-2a)<1\)时，即\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)时，
当\(x\in(-\infty，ln(-2a))\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
当\(x\in(ln(-2a)，1)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；
当\(x\in(1，+\infty)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
③当\(ln(-2a)=1\)时，即\(a=-\cfrac{e}{2}\)时，
当\(x\in(-\infty，1)\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
当\(x\in(1，+\infty)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
即\(x\in (-\infty，+\infty)\)时，恒有\(f'(x)\ge 0\)，当且仅当\(x=1\)时取到等号，故\(f(x)\)单调递增；
④当\(ln(-2a)>1\)时，即\(a<-\cfrac{e}{2}\)时，
当\(x\in(-\infty，1)\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
当\(x\in(1，ln(-2a))\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；
当\(x\in(ln(-2a)，+\infty)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
综上所述，
当\(a<-\cfrac{e}{2}\)时，单增区间为\((-\infty，1)\)和\((ln(-2a)，+\infty)\)，单减区间为\((1，ln(-2a))\)；
当\(a=-\cfrac{e}{2}\)时，只有单增区间为\((-\infty，+\infty)\)；
当\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)时，单增区间为\((-\infty，ln(-2a))\)和\((1，+\infty)\)，单减区间为\((ln(-2a)，1)\)；
当\(a\ge 0\)时，单减区间为\((-\infty，1)\)，单增区间为\((1，+\infty)\)；
【点评】由于教材上所举例子是从数的角度求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，
故许多学生碰到这个题目时思路会受阻，需要老师做引导，如果从数的角度不能突破，可以考虑从形的角度入手分析。
相关阅读：导数法判断函数的单调性的策略
（2）若函数\(f(x)\)有两个零点，求实数\(a\)的取值范围。
法1：利用第一问的结论，结合极值点的正负判断。
\(1^\circ\)：当\(a>0\)时，由(1)知\(f(x)\)在\((-\infty，1)\)上单调递减，在\((1，+\infty)\)上单调递增，又极小值\(f(1)=-e<0\)，
\(f(2)=a>0\)，取\(b\)满足\(b<0\)且\(b<ln\cfrac{a}{2}\)，则\(f(b)>\cfrac{a}{2}(b-2)+a(b-1)^2=a(b^2-\cfrac{3}{2}b)>0\)，所以有两个零点。
当然，如果想不到上述的零点存在性定理，也可以降而求其次，利用\(x\rightarrow +\infty\)时，\(f(x)\rightarrow +\infty\)，\(x\rightarrow -\infty\)时，\(f(x)\rightarrow +\infty\)，
也能说明有两个零点，只是准确性和精确性不如上述的方法。
\(2^\circ\)：当\(a=0\)时，\(f(x)=(x-2)e^x\)，所以函数\(f(x)\)只有一个零点；
\(3^\circ\)：当\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)时，函数在\((-\infty，ln(-2a))\)上单调递增，在\((ln(-2a)，1)\)上单调递减，在\((1，+\infty)\)上单调递增；
故极大值为\(f(ln(-2a))=(a-2)(-2a)+a(-2a-1)^2=-2a(a-2)+a(2a+1)^2<0\)，极小值为\(f(1)=-e<0\)，故函数只有一个零点；
\(4^\circ\)：当\(-\cfrac{e}{2}=a\)，函数在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增，故函数最多只有一个零点；
\(5^\circ\)：当\(a<-\cfrac{e}{2}\)，函数在\((-\infty，1)\)上单调递增，在\((1，ln(-2a))\)上单调递减，在\((ln(-2a)，+\infty)\)上单调递增；
故极大值为\(f(1)=-e<0\)，极小值为\(f(ln(-2a))=(a-2)(-2a)+a(-2a-1)^2=-2a(a-2)+a(2a+1)^2<0\)，故函数只有一个零点；
综上所述，\(a\)的取值范围是\((0，+\infty)\)。
【反思总结】
-
由于利用函数的单调性，可以知道函数的大致图像，故针对含有参数的函数，可以分类讨论解决给定函数的零点求参数的取值范围问题。
-
注意题目中的隐含条件，如本题目中的\(f(1)=-e\)，\(f(2)=a\)，
-
与函数的零点有关的问题，还常常会和函数的零点存在性定理相关联。
法2：利用数形结合转化为两个函数的图像交点个数问题。
由于函数\(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\)有两个零点，则方程\((x-2)e^x+a(x-1)^2=0\)有两个不同实根，
不完全分离参数得到，方程\((2-x)e^x=a(x-1)^2\)有两个不同实根，
即函数\(h(x)=(2-x)e^x\)与函数\(g(x)=a(x-1)^2\)有两个不同的交点，
先用导数研究函数\(h(x)\)的单调性，具体过程暂略。
做出其函数大致图像，再做出函数\(g(x)\)的图像，
由图可知，当\(a>0\)时，两个函数的图像有两个不同的交点，
当\(a=0\)时，两个函数的图像有一个交点，
当\(a<0\)时，两个函数的图像有一个交点，
综上所述，\(a\)的取值范围是\((0，+\infty)\)。
法3：完全分离参数法，得到\(a=\cfrac{(2-x)e^x}{(x-1)^2}=h(x)\)
由于\([(2-x)e^x]'=-e^x+(2-x)e^x=(1-x)e^x\)，
故\(h'(x)=\cfrac{(1-x)e^x\cdot (x-1)^2-(2-x)e^x\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}\)，
\(=\cfrac{(1-x)(x-1)e^x-2(2-x)e^x}{(x-1)^3}\)
\(=\cfrac{-(x-1)^2e^x+(2x-4)e^x}{(x-1)^3}\)
\(=\cfrac{-e^x[(x-2)^2+1]}{(x-1)^3}\)
当\(x<1\)，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，当\(x>1\)，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，
做出函数\(h(x)\)的简图如下，
由图像可知，要使得\(y=a\)与\(h(x)\)的图像有两个交点，必须\(a>0\)，
即函数\(f(x)\)有两个零点，实数\(a\)的取值范围为\((0，+\infty)\)。
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