圆的方程
方程推导
利用定义式推导;
常见给出方式
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定义式:\(|OA|=r\)
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标准式方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\);
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一般式方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) \((D^2+E^2-4F>0)\)任意一个圆都可以表达成一个二元二次方程,且不含有 \(x\) 和 \(y\) 的交叉项;但是任意一个不含有 \(x\) 和 \(y\) 的交叉项的二元二次方程不一定都能刻画一个圆,必须满足一定的条件,比如\(D^2\)\(+\)\(E^2\)\(-\)\(4F\)\(>\)\(0\);
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直径式方程\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)[其中\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)是圆直径的两端点坐标][1]
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参数式:\(\left\{\begin{array}{l}{x=r\cdot \cos\theta}\\{y=r\cdot \sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数) 或以点的坐标形式给出 \((r\cdot cos\theta,r\cdot sin\theta)\)
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极坐标式:\(\rho=3,\theta\in [0,2\pi)\)
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向量式:已知点\(M\)为曲线上的动点,点\(A,B\)为两个定点,且满足关系\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\),则点\(M\)的轨迹方程是圆。
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复数式:已知复数 \(z=a+bi\),\(a,b\in R\),满足 \(|z|=1\) 或满足 \(|\overrightarrow{OZ}|=1\) ,即复数对应的点 \(Z(a,b)\) 的轨迹是 以 \(O\) 为圆心半径为 \(1\) 的圆;再如 \(2\)\(\leqslant\)$ |z-(2+i)|$$\leqslant$$3$,刻画的是复平面内以复数 \(2+i\) 对应的点为圆心,以 \(2\) 和 \(3\) 为半径的两个圆所夹的圆环,包含内外边界。
特殊圆的方程
圆心在坐标原点 | \(x^2+y^2=r^2\) |
圆心在\(x\)轴上 | \((x-a)^2+y^2=r^2\) |
圆心在\(y\)轴上 | \(x^2+(y-a)^2=r^2\) |
经过原点 | \((x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2\)(\(a\),\(b\)不同时为\(0\)) |
与\(x\)轴相切 | \((x-a)^2+(y-b)^2=b^2\)(\(b\neq 0\)) |
与\(y\)轴相切 | \((x-a)^2+(y-b)^2=a^2\)(\(a\neq 0\)) |
与坐标轴都相切 | \((x\pm a)^2+(y\pm a)^2=a^2\)(\(a\neq 0\)) |
以\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\)为直径的两端点 | \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\) |
运算技巧
配方法,普通方程,极坐标式方程,参数式方程的互化;
圆切线相关
有空加以证明或验证说明,并配图说明
➊过圆\(x^2+y^2=r^2\)上一点\(P(x_0,y_0)\)的切线的方程为\(x_0x+y_0y=r^2\) ;[2]
➋过圆\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)上一点\(P(x_0,y_0)\)的切线的方程为\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\);
➌过圆\(x^2+y^2=r^2\)外一点\(P(x_0,y_0)\)做圆的两条切线,切点分别为\(A\),\(B\) ,则过\(A\),\(B\)两点的直线方程为\(x_0x+y_0y=r^2\);
➍过圆\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)(\(D^2+E^2-4F>0\))外一点\(P(x_0,y_0)\)做圆的切线,切点为\(T\),则\(|PT|=\sqrt{x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F}\)
➎过圆\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)外一点\(P(x_0,y_0)\)做圆的两条切线,切点分别为\(A\),\(B\),则直线\(AB\)的方程(切点弦所在的直线方程)为\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\);
➏过圆\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)外一点\(P(x_0,y_0)\)做圆的切线,切点为\(T\),则\(|PT|=\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2}\),
点圆位置关系
给定点\(P(x_0,y_0)\),和圆\(x^2+y^2=R^2\),则该点和该圆的位置关系有三种,
从形的角度刻画:点在圆外,点在圆上,点在圆内,配图可自行制作;
从数的角度刻画[注意和上面的对应]:\(x_0^2+y_0^2>R^2\),\(x_0^2+y_0^2=R^2\),\(x_0^2+y_0^2<R^2\),
类比上述情形,我们也可以写出其他点和圆的位置关系的数的表达不等式;
典例剖析
(1)、求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围;
分析:圆的标准方程为\((x-3)^2+y^2=2^2\),
故圆心坐标\(C_1(3,0)\),半径为\(r=2\),
设直线\(l\)的方程为\(y=kx\),即\(kx-y=0\),
则圆心\(C_1\)到直线\(l\)的距离\(d=\cfrac{|3k|}{\sqrt{k^2+1}}< 2\),
解得\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}< k< \cfrac{2\sqrt{5}}{5}\);
(2)、求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程。
分析【法1】:设直线\(AB\)的方程为\(y=kx\),点\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\)
与圆\(C_1\)联立,消\(y\)得到,\((1+k^2)x^2-6x+5=0\),
由\(\Delta =(-6)^2-4\times 5(1+k^2)>0\),可得\(k^2<\cfrac{4}{5}\),
由韦达定理可得,\(x_1+x_2=\cfrac{6}{1+k^2}\),
则线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{3}{1+k^2}①}\\{y=\cfrac{3k}{1+k^2}②}\end{array}\right.\),其中\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}<k<\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\),
如何消参数呢?两式相比,得到\(y=kx\),即\(k=\cfrac{y}{x}\),代入①变形整理后得到,\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\),
又由于\(k^2<\cfrac{4}{5}\),得到\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\),
故线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程为\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\),其中\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)。
【法2】有空,再思考补充 点差法。 \((x_1+x_2)[(x_1-x_2)-6]=-(y_1+y_2)(y_1-y_2)\)。
分析:设\(\Delta PAB\)底边\(AB\)上的高线为\(h\),则\(S_{\Delta PAB}=\cfrac{1}{2}\cdot AB \cdot h\),由于\(AB\)是定长的,故其面积的最小值取决于\(h\)的最小值。
【法1】:利用圆的特殊性,用几何方法求解高线的最小值;
【法2】:平行线法,
【法3】:三角函数法+圆的参数方程法
分析:由于点\(P\)在双曲线右支上,故满足\(|PF_1|-|PF_2|=2a\),
又由于\(M\)是线段\(PF_{1}\)的中点,则\(|MF_{1}|=|PM|=\cfrac{1}{2}|PF_{1}|\),
又由于\(O\)是线段\(F_{1}F_{2}\)的中点,则\(|MO|=\cfrac{1}{2}|PF_{2}|\),则\(\cfrac{1}{2}|PF_{1}|-\cfrac{1}{2}|PF_{2}|=a\),
即得到\(|MF_{1}|-|OM|=a\),从而有\(|OM|=|MF_{1}|-a\),
即圆心距等于两圆的半径之差,故以线段\(PF_{1}\)为直径的圆与圆\(x^{-2}+y^{2}=a^{2}\)的位置关系是相内切,故选\(B\).
有时候,圆或者半圆会以函数的形式出现,此时一般都会是根式函数的形式;
分析:见到曲线 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\),既要能看到其是二次函数和根式函数的复合函数,也要能看到两边同时平方后,能和半圆联系起来,用后者的思路求解此题目就更简单。
解析:由曲线 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\),两边同时平方,
同解变形为\((x-1)^2+y^2=1(y\geqslant 0)\),这是个圆心在点 \((1,0)\),半径为 \(1\) 的 \(x\) 轴上方的半圆;
在同一个坐标系中,做出两个函数的图像,从形的角度入手分析,利用数形结合求解即可;
直线 \(y=k(x-2)+2\) 经过点 \((2,2)\) 和 \((0,0)\) 时,斜率为\(1\);
当直线和半圆相切时,直线斜率的求法思路之一:令\(\angle ABx=\theta\),
则\(\tan\theta=2\),由此求得\(\tan2\theta=\cfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=-\cfrac{4}{3}\),
故直线和曲线相切时的斜率\(k=\cfrac{3}{4}\),
由图像可知,直线和曲线仅有两个交点时, \(k\in(\cfrac{3}{4}, 1]\),
当直线和半圆相切时,直线斜率的求法思路之二:利用导数求解,略;
当直线和半圆相切时,直线斜率的求法思路之三:利用点 \((1,0)\) 到直线的距离\(d=r=1\)来求解,
点 \((1,0)\) 到直线 \(y=k(x-2)+2\),即直线 \(kx-y-2k+2=0\) 的距离 \(d=\cfrac{|k\times 1-0-2k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=1\),
化简为 \(|k-2|=\sqrt{k^2+1}\),解得 \(k=\cfrac{3}{4}\),故直线和半圆相切时的斜率为 \(k=\cfrac{3}{4}\) .
证明:法1,可以用向量式证明。
设圆上动点为\(P(x,y)\),则当点\(P\)不同于点\(A\)和点\(B\)时,总有\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0\),
而\(\overrightarrow{AP}=(x-x_1,x-x_2)\),\(\overrightarrow{BP}=(y-y_1,y-y_2)\),
当点\(P\)和点\(A\)重合,或和点\(B\)重合时,也满足上述条件;
故有\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\),即其为圆的直径式方程。
[其中圆的直径的端点是\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)]。
证明:法2,可以借助圆方程的标准形式来证明。
由于圆直径的端点是 \(A(x_1,y_1)\) , \(B(x_2,y_2)\),
则圆心坐标为 \((\cfrac{x_1+x_2}{2},\cfrac{y_1+y_2}{2})\),圆的半径为 \(r=\cfrac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\),
将其代入圆的标准方程 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\),得到,
\((x-\cfrac{x_1+x_2}{2})^2+(y-\cfrac{y_1+y_2}{2})^2=\left [\cfrac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\right]^2\),
即\(x^2-(x_1+x_2)x+\cfrac{(x_1+x_2)^2}{4}\)+\(y^2-(y_1+y_2)y+\cfrac{(y_1+y_2)^2}{4}=\cfrac{(x_1-x_2)^2}{4}\)+\(\cfrac{(y_1-y_2)^2}{4}\),
整理得到,\([x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]+ [y^2-(y_1+y_2)y+y_1y_2]=0\),
即可化为 \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\),即其为圆的直径式方程。
可以用向量式证明。设圆上动点为\(P(x,y)\),则当点\(P\)不同于点\(A\)和点\(B\)时,总有\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0\)
而\(\overrightarrow{AP}=(x-x_1,x-x_2)\),\(\overrightarrow{BP}=(y-y_1,y-y_2)\),
当点\(P\)和点\(A\)重合,或和点\(B\)重合时,也满足上述条件;
故有\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\),即其为圆的直径式方程。[其中圆的直径的端点是\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)] ↩︎证明:由于点 \(P(x_0,y_0)\),可知直线 \(OP\) 的斜率为 \(K_{_{OP}}=\cfrac{y_0}{x_0}\),
则圆的经过点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线的斜率为 \(-\cfrac{x_0}{y_0}\),
由直线的点斜式方程可得,切线方程为 \(y-y_0=-\cfrac{x_0}{y_0}(x-x_0)\),
整理为 \(x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2\),由于 \(x_0^2+y_0^2=r^2\),故有 \(x_0x+y_0y=r^2\),
也即是说,过圆\(x^2+y^2=r^2\)上一点\(P(x_0,y_0)\)的切线的方程为\(x_0x+y_0y=r^2\); ↩︎