三角函数周期的求法
梳理总结三角函数周期的各种常见求法。
前言
总结高考中可能用到的三角函数的周期的求解方法：定义法，公式法，图像法，转化法，定理法[参照网络]；
定义法
- 定义法，利用\(f(x+T)=f(x)\)，\(T\neq 0\)，则\(T\)为函数的一个周期；
分析：此函数为复合函数，内函数 \(y=\cos x\) 为周期函数，故我们尝试用内函数的最小正周期 \(2\pi\) 来验证，
\(f(x+2\pi)=\cos[\cos (x+2\pi)]+\sin[\cos (x+2\pi)]=\cos(\cos x)+\sin(\cos x)=f(x)\)，
故 \(2\pi\) 为函数\(f(x)\) 的周期，那么是不是最小正周期呢？再用 \(\pi\) 来验证，
\(f(x+\pi)=\cos[\cos (x+\pi)]+\sin[\cos (x+\pi)]=\cos(\cos x)-\sin(\cos x)\neq f(x)\)，
则 \(\pi\) 不是函数\(f(x)\) 的周期，综上可知，函数 \(f(x)\) 的最小正周期为 \(2\pi\) .
解：令 \(z=\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{6}\)，由 \(x\in R\) 得 \(z\in R\)，且 \(y=2\sin z\) 的周期为 \(2\pi\) ，即
\(2\sin(z+2\pi)=2\sin z\)，即 \(2\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{6}+2\pi)=2\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{6})\)
所以，\(2\sin[\cfrac{1}{2}(x+4\pi)-\cfrac{\pi}{6}]=2\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{6})\)
即 \(f(x+4\pi)=f(x)\)，由周期函数的定义可知，原函数的周期为 \(4\pi\) 。
公式法
对于\(f(x)=A\sin(\omega x+\phi)+k\)型，\(T=\cfrac{2\pi}{|\omega|}\)；[1]
对于\(f(x)=A\cos(\omega x+\phi)+k\)型，\(T=\cfrac{2\pi}{|\omega|}\)；
对于\(f(x)=A\tan(\omega x+\phi)+k\)型，\(T=\cfrac{\pi}{|\omega|}\)；
分析：\(T=\cfrac{2\pi}{|m|}\)；
图象法
- 图像法，常适用于含有绝对值[或两个]的函数，
分析：\(y=\sin\cfrac{x}{2}\)的最小正周期为\(T=4\pi\)，然后做出整个图像，你会发现其最小正周期减半了，故最小正周期为\(T=2\pi\)；
转化法
- 转化法，对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为正弦型或者正切型等类型，再用公式法求解。
解析： 转化法求解，利用切化弦的思路，转化为正(余)弦型，再用公式求解；
由已知得 \(f(x)=\cfrac{\tan x}{1+\tan^{2}x}=\cfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{2}}\)
\(=\cfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}}=\sin x \cdot \cos x=\cfrac{1}{2}\sin2x\)
所以， \(f(x)\) 的最小正周期为 \(T=\cfrac{2\pi}{2}=\pi\)， 故选 \(C\).
分析：先将函数转化为\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)，
故\(T=\cfrac{2\pi}{2}=\pi\)；
组合用法
- 组合方法，使用两种或两种以上的方法求解，常常将图像法和公式法组合使用，
分析：图像法+公式法，先求得函数\(g(x)=sin(4x-\cfrac{\pi}{3})\)的周期\(T=\cfrac{2\pi}{4}=\cfrac{\pi}{2}\)，
由于绝对值符号的作用，函数\(f(x)\)的周期是函数\(g(x)\)的周期的一半，
故函数\(f(x)\)的周期是\(T=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{\pi}{2}=\cfrac{\pi}{4}\)。
小结：函数\(f(x)=|Asin(\omega x+\phi)|\)的周期的求法公式：\(T=\cfrac{\pi}{|\omega|}\)；
定理法
[来源于网络]如果\(f(x)\)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数\(f(x)=f_1(x)+f_2(x)\)，而\(f_1(x)\)的周期为\(T_1\)， \(f_2(x)\)的周期为\(T_2\)，则\(f(x)\)的周期为\(T=\cfrac{P_2}{T_1}=\cfrac{P_1}{T_2}\)，其中\(P_1\)、\(P_2\in N^*\)，且\((P_1,P_2)=1\)，
事实上, 由 \(\cfrac{T_{1}}{T_{2}}=\cfrac{P_{1}}{P_{2}}\)（既约分数)， 得 \(T=P_{2}T_{1}={P}_{1}T_{2}\)；
因为\(f(x+{P}_{1}T_{2})=f_{1}(x+P_{1}T_{2})+f_{2}(x+P_{1}T_{2})\)
\(=f_{1}(x+P_{1}T_{2})+f_{2}(x+P_{1}T_{2})\)
\(=f_{1}(x+P_{2}T_{1})+f_{2}(x+P_{1}T_{2})\)
\(=f_{1}(x)+f_{2}(x)=f(x)\)
所以， \(P_1T_2\) 为函数 \(f(x)\) 的周期，同理 \(P_2T_1\) 也为函数 \(f(x)\) 的周期；
[我的改进，姑且称为最小公倍数法]如果 \(f(x)\) 是几个周期函数代数和形式的，即是：函数 \(f(x)=f_1(x)+f_2(x)\) ，而 \(f_1(x)\) 的周期为 \(T_1\) ， \(f_2(x)\) 的周期为 \(T_2\) ，则函数 \(f(x)\) 的最小正周期 \(T\) 为 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的最小公倍数；[当最小正周期为 \(\pi\) 的分数倍数时，可以用弧度到角度的换算放大成整数，再求最小公倍数，然后转化回弧度制即可。]
引例1，求函数\(f(x)=\sin\cfrac{x}{3}+\sin\cfrac{x}{2}\)的最小正周期\(T\)；由于\(y_1=\sin\cfrac{x}{3}\)的\(T_1=6\pi\)，由于\(y_2=\sin\cfrac{x}{2}\)的\(T_1=4\pi\)，而\(6\pi\) 和 \(4\pi\)的最小公倍数为\(12\pi\)，故 \(T=12\pi\)；
引例2，求函数\(f(x)=\sin3x+\sin4x\)的最小正周期\(T\)；由于\(y_1=\sin3x\)的\(T_1=\cfrac{2\pi}{3}=120^{\circ}\)，由于\(y_2=\sin4x\)的\(T_2=\cfrac{2\pi}{4}=90^{\circ}\)，而 \(120^{\circ}\) 和 \(90^{\circ}\) 的最小公倍数为 \(360^{\circ}=2\pi\)，故 \(T=2\pi\)；
引例3，求函数\(f(x)=\sin3x-\cos4x\)的最小正周期\(T=2\pi\)；
引例4，求函数 \(f(x)=\sin x+\cfrac{1}{2}\sin2x+\cfrac{1}{3}\sin3x\) 的最小正周期\(T=2\pi\)；
分析：由于周期是在横轴方向上的刻画，故所求函数的周期和 \(g(x)=\sin x+\sin2x+\sin3x\) 的周期应该是一样的，而 \(y=\sin x\) 的周期为 \(T\)\(=\)\(2\pi\)\(=\)\(360^{\circ}\)， \(y\)\(=\)\(\sin 2x\) 的周期为 \(T\)\(=\)\(\pi\)\(=\)\(180^{\circ}\)， \(y\)\(=\)\(\sin 3x\) 的周期为 \(T\)\(=\)\(\cfrac{2\pi}{3}\)\(=\)\(120^{\circ}\)，则 \(360^{\circ}\)， \(180^{\circ}\)， \(120^{\circ}\) 的最小公倍数为 \(360^{\circ}\)，故函数 \(g(x)\) 的最小正周期为 \(T\)\(=\)\(2\pi\) ，即 函数 \(f(x)\) 的最小正周期为 \(T\)\(=\)\(2\pi\) 。
如果 \(f(x)\) 是几个周期函数的乘积的形式，即是：函数 \(f(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)\) ，就题论题；
引例， 函数 \(y=\sin^2x=\cfrac{1-\cos2x}{2}\) 的 \(T=\pi\)， \(y=\sin2x\)的 \(T=\pi\)，
故猜想函数 \(f(x)=\sin^2x\cdot\sin 2x\)的周期为\(\pi\)，
验证：\(f(x+\pi)=\sin^2(x+\pi)\cdot\sin2(x+\pi)=(-\sin x)^2\cdot(\sin 2x)=f(x)\)，故\(T=\pi\)；
结合\(f(x)\) 是周期为 \(\pi\) 的周期函数，
分析：最小公倍数法，
当\(b=0\)时，\(f(x)=sin^2x+c=\cfrac{1-cos2x}{2}+c\)，\(T=\cfrac{2\pi}{2}=\pi\)；
当\(b\neq 0\)时，\(f(x)=sin^2x+c+bsinx\)，
令\(h(x)=sin^2x+c=\cfrac{1-\cos2x}{2}+c\)，其\(T_1=\pi\)，
令\(g(x)=bsinx\)，其\(T_2=2\pi\)；
函数\(f(x)\)的最小正周期为\(T_1\)，\(T_2\)的最小公倍数，即\(T=2\pi\)。
故函数\(f(x)=sin^2x+bsinx+c\)的最小正周期与\(b\)有关，与\(c\)无关。
典例剖析
分析：这个复合函数 \(f(x)\) 有周期性，主要是因为含有\(\sin x\)，尝试探索如下，
\(f(x+2\pi)=-2[\sin (x+2\pi)-\cfrac{\sqrt{3}}{4}]^2+\cfrac{11}{8}=-2(\sin x-\cfrac{\sqrt{3}}{4})^2+\cfrac{11}{8}=f(x)\)
故\(T=2\pi\).
分析：最小公倍数法，
函数\(y=\cos2x\)的最小正周期\(T_1=\pi\)，函数\(y=|\cos x|\)的最小正周期\(T_2=\pi\)，
函数\(f(x)\)的最小正周期为\(T_1\)，\(T_2\)的最小公倍数，即\(T=\pi\)。故选\(B\).
备注：特例备忘，\(f(x)=\sin|x|\)不是周期函数，但是 \(g(x)=\cos|x|=\cos x\)[分类讨论去掉绝对值后，表达式可以合二为一] 却是周期函数，\(T=2\pi\) .
法1：平方变形，\(y^2=(|\sin\cfrac{x}{2}|+|\cos\cfrac{x}{2}|)^2\)
\(=\sin^2\cfrac{x}{2}+\cos^2\cfrac{x}{2}+2|\sin\cfrac{x}{2}|\cdot|\cos\cfrac{x}{2}|\)\(=1+|\sin x|\)，
故\(y=f(x)=\sqrt{1+|\sin x|}\)，由于\(f(x+\pi)=f(x)\)，
故最小正周期为\(T=\pi\)，
法2：图像法，如下图所示，
【法1】：赋值法，令\(a=1\)，则函数\(f(x)=1+sin2x\)，故\(T=\cfrac{2\pi}{2}=\pi\)；
【法2】：将函数变形为\(f(x)=[\sqrt{a^2+1}sin(x+\phi)]^2=(a^2+1)\cdot \cfrac{1-cos(2x+2\phi)}{2}\)，\(T=\cfrac{2\pi}{2}=\pi\)；
备注：若按照平方和公式展开，思路就卡壳了。
解析：此命题是假命题。 由题可知，\(y=\sin ax\) 的周期 \(T_1=\cfrac{2\pi}{a}\)，\(y=a\sin x\) 的周期 \(T_2=2\pi\) ，\(f(x)\) 的周期为 \(T_3\)，
则 易知 \(T_3\) 必为 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的最小公倍数，则 \(T_3=mT_2=nT_1\)，\(m,n\in N^*\)，
整理得到， \(a=\cfrac{n}{m}\)，\(m,n\in N^*\)，所以 \(a\in Q\)；那么当 \(a\in \complement_RQ\)[无理数集合]，必然不存在 \(m,n\in N^*\)，使得 \(T_3\) 必为 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的最小公倍数，故\(f(x)\) 不是周期函数 .
用定义法对正弦型函数的周期公式作以证明：对函数 \(y=f(x)=A\sin(\omega x+\phi)\) \(\omega>0\) 而言，
令\(z=\omega x+\phi\)，由于 \(x\in R\)得到 \(z\in R\)，且函数 \(y=f(x)=A\sin z\) 的周期是 \(2\pi\)，
则 \(A\sin(z+2\pi)=A\sin z\)，
即 \(A\sin(z+2\pi)=A\sin[(\omega x+\phi)+2\pi]=A\sin[\omega(x+\cfrac{2\pi}{\omega})+\phi]\)，
所以自变量 \(x\) 增加 \(\cfrac{2\pi}{\omega}\)，函数值就重复出现，
并且增加量小于 \(\cfrac{2\pi}{\omega}\) 时，函数值不会重复出现，即 \(T=\cfrac{2\pi}{\omega}\) 是使得等式
\(A\sin[\omega(x+T)+\phi]=A\sin(\omega x+\phi)\)，即 \(f(x+T)=f(x)\) 成立的最小正数，
故函数 \(y=f(x)=A\sin(\omega x+\phi)\) 的最小正周期为\(T=\cfrac{2\pi}{\omega}\) ，
当 \(\omega\neq0\) 时，推广为 \(T=\cfrac{2\pi}{|\omega|}\) . ↩︎
