2019届高三理科数学[月考3]试题及参考答案

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参考答案

答案详解

【2019届高三理科数学月考三试题】

已知定义在$[2a-1，3a]$上的奇函数$f(x)=x^3+(2b-1)x^2+x+(2a-c)$，则$f(a)$， $f(b)$，$f(c)$的大小关系为$f(b)>f(c)>f(a)$；

分析：奇函数定义域关于原点对称，则有\(2a-1+3a=0\)，解得\(a=\cfrac{1}{5}\)；

又多项式函数\(f(x)\)为奇函数，则有\(2b-1=0\)，\(2a-c=0\)，解得\(b=\cfrac{1}{2}\)，\(c=\cfrac{2}{5}\)；

此时函数\(f(x)=x^3+x\)，在\(R\)上单调递增，故\(f(\cfrac{1}{5})<f(\cfrac{2}{5})<f(\cfrac{1}{2})\)，

故\(f(b)>f(c)>f(a)\)；

【2019届高三理科数学月考三试题】

甲、乙、丙三人各自独立地做同一道数学题，当他们把答案公布出来后，甲说：“我做错了”；乙说：“丙作对了”；丙说：“我做错了”；在一旁的老师看了他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三人中有一个人做对了，有一个人说对了”。请问他们中做对了的人是__________。

分析：若甲做对了，则在第二行和第三行中的红色的对号应该只有一个，而叉号有两个；

若乙做对了，则在第二行和第三行中的蓝色的对号应该只有一个，而叉号有两个；

若丙做对了，则在第二行和第三行中的绿色的对号应该只有一个，而叉号有两个；

故只有甲做对了。

三人	若甲✔			乙✔			丙✔
说的	✘	✔	✔	✘	✘	✔	✔	✔	✘
做的	✔	✘	✘	✘	✔	✘	✘	✘	✔

【2019届高三理科数学月考三试题】

如图所示，在$\Delta ABC$中，$AD=DB$，$F$在线段$CD$上，设$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$， $\overrightarrow{AC}=\vec{b}$，$\overrightarrow{AF}=x\vec{a}+y\vec{b}$，则$\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}$的最小值为___________。

分析：本题目属于限定条件下的最值问题，限定条件是以向量刻画的三点共线形式给出的，

由于\(\overrightarrow{AF}=x\vec{a}+y\vec{b}=2x\overrightarrow{AD}+y\vec{b}\)，又\(D、C、F\)三点共线，

故有\(2x+y=1\)，此时题目转化为已知\(2x+y=1\)，求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}\)的最小值，

接下来，利用乘常数除常数的思路进行就可以了。

\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}=(2x+y)(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y})=2+4+\cfrac{y}{x}+\cfrac{8x}{y}\)

\(\ge 6+2\sqrt{8}=6+4\sqrt{2}\)，

当且仅当\(2x+y=1\)且\(\cfrac{y}{x}=\cfrac{8x}{y}\)，即\(x=\cfrac{\sqrt{2}-1}{2}\)，\(y=2-\sqrt{2}\)时取到等号；

故\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}\)的最小值为\(6+4\sqrt{2}\)。

【2019届高三理科数学月考三试题】已知定义在\(R\)上的偶函数\(f(x)\)满足\(f(x+4)=f(x)\)，且当\(0\leq x\leq 2\)时，\(f(x)=min\{-x^2+2x，2-x\}\)，若方程\(f(x)-mx=0\)恰有两个根，则\(m\)的取值范围是_____________。

分析：先由奇偶性和周期性推知对称性，\(f(-x)=f(x)\)，和\(f(x+4)=f(x)\)，则有\(f(4+x)=f(-x)\)，

则函数\(f(x)\)的对称轴\(x=2\)，

由于当\(0\leq x\leq 2\)时，\(f(x)=min\{-x^2+2x，2-x\}\)，

即当\(0\leq x \leq 2\)时，函数\(f(x)\)的解析式如下，它是做图像的基础。

\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-x^2+2x，0\leq x\leq 1}\\{2-x，1<x\leq 2}\end{array}\right.\)，

由于方程\(f(x)-mx\)恰有两个根，则函数\(y=f(x)\)与\(y=mx\)恰有两个交点，

做函数\(y=f(x)\)与\(y=mx\)的图像如下图所示，

先看\(x>0\)这一段，记过点\((0，0)\)和\((3，1)\)的直线的斜率为\(k_1\)，则\(k_1=\cfrac{1}{3}\)，

记过点\((0，0)\)且和函数\(y=f(x)=-x^2+2x(0\leq x\leq 1)\)相切的直线的斜率为\(k_2\)，切点为\((x_0，y_0)\)，

则有\(f'(x_0)=-2x_0+2=m①\)；\(y_0=mx_0②\)；\(y_0=-x_0^2+2x_0③\)，

解得\(x_0=0\)，\(y_0=0\)，则切点坐标为\((0，0)\)，斜率\(k_2=2\)，

故在\(x>0\)这一段，两个函数要有两个交点，由图像可得，\(\cfrac{1}{3}<m<2\)，

又由于函数\(f(x)\)定义在\(R\)上，且为偶函数，故在\(x<0\)这一段上，两个函数要有两个交点，\(-2<m<-\cfrac{1}{3}\)，

综上所述，\(m\in (-2，-\cfrac{1}{3})\cup(\cfrac{1}{3}，2)\)。