图像处理基础(3)：均值滤波器及其变种

均值滤波器可以归为低通滤波器，是一种线性滤波器，其输出为邻域模板内的像素的简单平均值，主要用于图像的模糊和降噪。
均值滤波器的概念非常的直观，使用滤波器窗口内的像素的平均灰度值代替图像中的像素值，这样的结果就是降低图像中的“尖锐”变化。这就造成，均值滤波器可以降低噪声的同时，也会模糊图像的边缘。均值滤波器的处理结果是过滤掉图像中的“不相关”细节，其中“不相关”细节指的是：与滤波器模板尺寸相比较小的像素区域。

根据均值计算方法的不同，均值滤波器有以下几种：

• 算术均值滤波器
• 几何均值滤波器
• 谐波均值滤波器
• 逆谐波均值滤波器

算术均值滤波器 Arithmetic Mean Filter

这是最简单的均值滤波器，可以去除均匀噪声和高斯噪声，但会对图像造成一定程度的模糊。
令\(S_xy\)表示中心点在\((x,y)\)处，大小为\(m \times n\)的滤波器窗口。算术均值滤波器就是简单的计算窗口区域的像素均值，然后将均值赋值给窗口中心点处的像素：

\[ f(x,y) = \frac{1}{mn}\sum_{(x,y) \in S_{xy}} g(s,t) \]

其中，\(g(s,t)\)表示原始图像，\(f(x,y)\)表示均值滤波后得到的图像。
基于上述公式，可以很容易的得到的算术均值滤波器的窗口模板，下面以\(3 \times 3\)为例

\[ \frac{1}{9} \left [ \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1& 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right ] \]

在OpenCV中，函数blur表示使用该模板的均值滤波器，其声明如下：

void blur( InputArray src, OutputArray dst,
                        Size ksize, Point anchor = Point(-1,-1),
                        int borderType = BORDER_DEFAULT );

src是输入图像，dst为输出图像；ksize是滤波器模板窗口的大小；后两个参数分别表示，待处理像素在模板窗口的位置，默认值是窗口的中心位置，所以窗口的大小一般为奇数，最后一个参数表示对编解类型的处理，使用默认值即可。其调用示例blur(src,dst,Size(5,5)，模板窗口的大小为\(5 \times 5\)。

盒状滤波器

当滤波器的模板的所有的系数都相等时称之为盒状滤波器 Box Filter。其使用的模板如下（\(3 \times 3\) 为例）：

\[ \alpha \left [ \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1& 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right ] \]

当\(\alpha = 1\)时，盒状滤波器可以很方便的计算图像像素邻域的和，对计算图像的各种积分特性例如图像的协方差矩阵，是很有帮助的。OpenCV中的函数boxFilter就是盒状滤波器，其声明如下：

void boxFilter( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth,
                             Size ksize, Point anchor = Point(-1,-1),
                             bool normalize = true,
                             int borderType = BORDER_DEFAULT );

和blur的参数比较类似，所不同的ddepth是滤波后图像的深度，-1表示和原图像的深度相同；参数normalize表示是否有归一化的参数，这是因为在boxFilter使用的模板如下：

\[K = \alpha \left [ \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1& 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right ] \]

其中，

\[ \alpha = \left \{ \begin{array}{cl} \frac{1}{width * height} & where normalize = true \\ 1& otherwise \end{array} \right. \]

也就是说，当normalize = true时，这也是一个默认值，其就是一个算术均值滤波器；normalize=false，盒状滤波器的作用就是计算模板窗口内的像素的和，然后将值赋给窗口中心位置的像素，主要用来计算邻域像素的和。

加权的均值滤波器

不同于上面的所有像素的系数都是相同的，加权的均值滤波器使用的模板系数，会根据像素和窗口中心像素的距离而取不同的系数。赋予中心点最高的权重，然后随着离中心点的距离增加而减小系数，这样做的目的是在平滑图像的同时尽量降低对图像的模糊。最常用的加权模板如下（\(3 \times 3\)）为例：

\[\frac{1}{16}\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right ] \]

其他的一些非线性均值滤波器

除了上述算术均值滤波器，根据计算均值方法的不同还有几种均值滤波。

几何均值滤波器 Geometric Mean Filter其公式如下：

\[ f(x,y) = \left[ \prod_{(s,t)\in S_{xy}g(s,t)} \right]^{\frac{1}{mn}} \]

滤波后图像的像素由模板窗口内像素的乘积的\(\frac{1}{mn}\)幂给出。 和算术均值滤波器相比，几何均值滤波器能够更好的取出高斯噪声，并且能够更多的保留图像的边缘信息。但，其对0值是非常敏感的，在滤波器的窗口内只要有一个像素的灰度值为0，就会造成滤波器的输出结果为0。

谐波均值滤波器 Harmonic Mean Filter 其公式如下：

\[f(x,y) = \frac{mn}{\sum\limits_{(x,y) \in S_{xy}}\frac{1}{g(s,t)}} \]

谐波均值滤波器对盐粒噪声（白噪声）效果较好，不适用于胡椒噪声；比较适合处理高斯噪声。

逆谐波均值滤波器 Contra-Harmonic Mean Filter其公式如下：

\[f(x,y) = \frac{\sum\limits_{(x,y) \in S_{xy}}g(s,t)^{Q+1}}{\sum\limits_{(x,y) \in S_{xy}}g(s,t)^{Q}} \]

其中Q称为滤波器的阶数，该滤波器可以用来消除椒盐噪声。但是需要不同同时处理盐粒噪声和胡椒噪声，当Q为正时，可以消除胡椒噪声；当Q为负时，消除盐粒噪声。当Q=0时，该滤波器退化为算术均值滤波器；Q=-1时，退化为谐波均值滤波器。

\(Y_p\)均值滤波器 非线性均值滤波器中的一种，其公式如下：

\[ f(x,y) = \left[ \sum\limits_{(x,y) \in S_{xy}} \frac{g(s,t)^P}{N} \right ]^{\frac{1}{P}} \]

P为负数时可以有效的滤去盐粒（白）噪声，正的异常值；P为正时可以过滤胡椒（黑）噪声，负的异常值。

基于OpenCV的实现

上述滤波器的实现大同小异，只是计算均值的方法不同。

    Mat tmp;
    copyMakeBorder(m, tmp, ksize / 2, ksize / 2, ksize / 2, ksize / 2, BorderTypes::BORDER_REFLECT); // 扩展边界
    int rows = tmp.rows - ksize / 2;
    int cols = (tmp.cols - ksize / 2) * tmp.channels();
    for (int i = ksize / 2; i < rows - ksize / 2; i++)
    {
        for (int j = ksize / 2; j < cols - ksize / 2; j++)
        {
           // 遍历窗口内的像素，计算均值
        }
    }
    Rect rect(ksize / 2, ksize / 2, m.cols, m.rows);
    m = tmp(rect);

下面就不再贴全的代码，只给出根据不同的公式计算均值的代码。
几何均值滤波器

// 取得窗口像素
            double mul = 1;
            for (int a = -ksize / 2; a <= ksize / 2; a++)
            {
                for (int b = -ksize / 2; b <= ksize / 2; b++)
                {
                    mul *= tmp.at<uchar>(i + a, j + b);
                }
            }
            auto pixel = pow(mul, 1.0 / (ksize * ksize));
            if (pixel < 0)
                pixel = 0;
            else if (pixel >= 255)
                pixel = 255;
            tmp.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(pixel);

基本就是遍历图像的像素，然后在滤波器的窗口内根据均值的计算方式计算均值；几何滤波器，就是将滤波器窗口内的像素乘积，然后去乘积的\(\frac{1}{ksize *ksize}\)幂。需要说明的是：几何均值滤波器有个致命的缺陷，那就是当窗口内像素只要有一个值为0，则其计算得到的值就是0，这在去去噪时表现的比较明显，例如：

由于噪声的污染比较严重，在使用几何均值滤波器去噪时，会得到一块黑色区域（灰度值为0）。

加权的均值滤波器

            // 取得窗口像素
            int sum = 0;
              int weightSum = 0;
            for (int a = -ksize / 2; a <= ksize / 2; a++)
            {
                for (int b = -ksize / 2; b <= ksize / 2; b++)
                {
                    auto weight = pow(2, ksize - abs(a) - abs(b) - 1);
                    weightSum += weight;
                    sum += weight * tmp.at<uchar>(i + a, j + b);
                }
            }
            auto pixel = static_cast<int>(sum / weightSum);
            if (pixel < 0)
                pixel = 0;
            else if (pixel > 255)
                pixel = 255;
            tmp.at<uchar>(i,j) = pixel;

主要是权值系数的计算，可以发现一定的关系，和中心越近的其权值越高，具体公式：\(2^{ksize - a - b - 1}，其中a,b为和中心在x，y方向的距离\)。

加权的均值滤波器去噪效果和均值滤波器相当，但是在保护图像细节方面比均值滤波器效果要好，上图是\(3 \times 3\)的滤波器，窗口较小，两者的区别不是较大。
下图是\(7 \times 7\)的滤波器，对比就比较明显了。

至于，其他的几种：谐波滤波器、逆谐波滤波器和\(Y_p\)均值滤波器，实现都差不多，代码就不再贴出了。

总结

均值滤波器能够去除均匀分布和高斯分布的噪声，但是在过滤掉噪声的同时，会对图像造成一定的模糊，使用的窗口越大，造成的模糊也就越明显。
根据计算均值方法的不同，有多种均值滤波，经常使用的是算术均值滤波器，计算简单，但是对图像造成的模糊交明显；另外，有加权的均值滤波器，给窗口内的像素不同的系数，距离中心越近则系数越大。
使用加权的均值滤波器，去除噪声的能力和算术均值滤波器相当，但是对图像造成的模糊较轻，能够更好的保护图像的细节。（上面已有对比）

几何均值滤波器，在过滤噪声的同时也能更好的保护图像的细节，但是有个缺陷：在滤波的过程中，窗口内的像素只要有一个为0，则其得出的值就是0.

至于余下的几种，在能够去除高斯噪声，并且对椒盐噪声也有一定的作用，具体如下:

• 谐波均值滤波器 能过滤盐粒噪声,对胡椒噪声无效
• 逆谐波均值滤波器，当阶数Q为正时，可以过滤胡椒噪声；Q为负时可以过滤盐粒噪声。不能同时对椒盐噪声起作用。
• \(Y_p\)均值滤波器， 和逆谐波均值滤波器类似。当P为正时，能够过滤椒盐噪声；P为负时，能够过滤盐粒噪声。