算法设计与分析--动态规划

Why？为什么用动态规划

分治技术的问题：

　　子问题是相互独立的

　　如果子问题不是相互独立的，分治算法将重复计算公共子空间，效率很低

提高效率的方法：

　　从规模最小的子问题开始计算

　　用恰当数据结构存储子问题的解，供以后查询

　　确保每个子问题只求解一次

优化问题：

　　给定一组约束条件和一个代价函数，在解空间中搜索具有最小或最大代价的优化解

　　很多优化问题可分为多个子问题，子问题相互关联，子问题的解被重复使用

What？什么是动态规划

动态规划算法特点

　　把原始问题划分成一系列子问题

　　求解每个子问题仅一次，并将其结果保存在一个表中，以后用到时直接存取，不重复计算，节省计算时间

　　自底向上地计算

适用范围：

　　一类优化问题：可分为多个相关子问题，子问题的解被重复使用

How？怎么做动态规划

使用Dynamic Programming的条件

　　Optimal substructure（优化子结构）

　　　　当一个问题的优化解包含了子问题的优化解时，我们说这个问题具有优化子结构

　　　　缩小子问题集合，只需那些优化问题中包含的子问题，减低实现复杂性

　　　　优化子结构使我们能自下而上地完成求解过程

　　Subteties（重复子问题）

　　　　在问题的求解过程中，很多子问题的解将被多次使用

动态规划算法的设计步骤

　　分析优化解的结构

　　递归的定义最优解的代价

　　自底向上的计算优化解的代价保存之，并获取构造最优解的信息

　　根据构造最优解的信息构造优化解

Longest Common Subsequence

问题的定义

子序列：X=（A,B,C,B,D,B），Z=（B,C,D,B）是X的子序列，W=（B,D,A）不是X的子序列。

公共子序列：Z是序列X与序列Y的公共子序列如果Z是X的子序列也是Y的子序列。

最长公共子序列（LCS）问题：

　　输入：X=（x1,x2,...,xn）,Y=（y1,y2,...,ym）

　　输出：Z=X与Y的最长公共子序列

分析优化解的结构

 

有优化子结构，子问题有重叠性，采用动态规划。

建立LCS长度的递归方程

 

 

自底向上计算LCS的长度

 构造优化解