第三次作业
1、 参考书《数据压缩导论（第4版）》 P 100 5， 6
5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a1a1a3a2a3a1 的实值标签。
字母 概率
a1 0.2
a2 0.3
a3 0.5
解：定义随机变量X（ai）=i，假定我们对113231进行编码，则
由概率模型可知：
FX（k）=0，k<=0，FX（1）=P（a1）=0.2，FX（2）=P（a1）+P（a2）=0.2+0.3=0.5，
FX（3）=P（a1）+P（a2）+P（a3）=0.2+0.3+0.5=1，FX（k）=1，k>3，
我们先确定标签的上下界，将l（0）初始化为0，将u（0）初始化为1。
那么，此序列的第一个元素为1，则得到以下更新：
u（1）=l（0）+（u（0）-l（0））*FX（1）=0+（1-0）*0.2=0.2
l（1）=l（0）+（u（0）-l（0））*FX（1-1）=0+（1-0）*0=0
也就是说，该标签包含在区间[0,0.2）中。
那么，此序列的第二个元素为1，则得到以下更新：
u（2）=l（1）+（u（1）-l（1））*FX（1）=0+（0.2-0）*0.2=0.04
l（2）=l（1）+（u（1）-l（1））*FX（1-1）=0+（0.2-0）*0=0
也就是说，该标签包含在区间[0,0.04）中。
那么，此序列的第三个元素为3，则得到以下更新：
u（3）=l（2）+（u（2）-l（2））*FX（3）=0+（0.04-0）*1=0.04
l（3）=l（2）+（u（2）-l（2））*FX（3-1）=0+（0.04-0）*0.5=0.02
也就是说，该标签包含在区间[0.02,0.04）中。
那么，此序列的第四个元素为2，则得到以下更新：
u（4）=l（3）+（u（3）-l（3））*FX（2）=0.02+（0.04-0.02）*0.5=0.03
l（4）=l（3）+（u（3）-l（3））*FX（2-1）=0.02+（0.04-0.02）*0.2=0.024
也就是说，该标签包含在区间[0.024,0.03）中。
那么，此序列的第五个元素为3，则得到以下更新：
u（5）=l（4）+（u（4）-l（4））*FX（3）=0.024+（0.03-0.024）*1=0.03
l（5）=l（4）+（u（4）-l（4））*FX（3-1）=0.024+（0.03-0.024）*0.5=0.027
也就是说，该标签包含在区间[0.027,0.03）中
那么，此序列的第六个元素为1，则得到以下更新：
u（6）=l（5）+（u（5）-l（5））*FX（1）=0.027+（0.03-0.027）*0.2=0.00276
l（6）=l（5）+（u（5）-l（5））*FX（1-1）=0.027+（0.03-0.027）*0=0.027
也就是说，该标签包含在区间[0.027,0.00276）中。
可以生成序列113231的标签如下：
TX（113131）=（0.027+0.0276）/2=0.0273
TX（a1a1a3a2a3a1 ）=（0.027+0.0276）/2=0.0273
6、对于表4-9给出的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。
解：由概率模型可知：
FX（k）=0，k<=0，FX（1）=P（a1）=0.2，FX（2）=P（a1）+P（a2）=0.2+0.3=0.5，
FX（3）=P（a1）+P（a2）+P（a3）=0.2+0.3+0.5=1，FX（k）=1，k>3，
我们先确定标签的上下界，我们将l（0）初始化为0，u（0）初始化为1，那么有
u（1）=l（0）+（u（0）-l（0））*FX（X1）=0+（1-0）* FX（X1）= FX（X1）
l（1）=l（0）+（u（0）-l（0））*FX（X1-1）=0+（1-0）* FX（X1-1）= FX（X1-1）
若X1=1，FX（X1）=0.2，FX（X1-1）=0，则该标签所在区间为[0,0.2）；
若X1=2，FX（X1）=0.5，FX（X1-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.2,0.5）；
若X1=3，FX（X1）=1，FX（X1-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.5，1）。
因为0.63215699在区间[0.5，1）中，所以X1=3，l（1）=0..5，u（1）=1，该序列的第一个元素为a3
u（2）=l（1）+（u（1）-l（1））*FX（X2）=0.5+（1-0.5）* FX（X2）=0.5+0.5 * FX（X2）
l（2）=l（1）+（u（1）-l（1））*FX（X2-1）=0.5+（1-0.5）* FX（X2-1）=0.5+0.5* FX（X2-1）
若X2=1，FX（X2）=0.2，FX（X2-1）=0，则该标签所在区间为[0.5,0.6）；
若X2=2，FX（X2）=0.5，FX（X2-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.6,0.75）；
若X2=3，FX（X2）=1，FX（X2-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.75,1）；
因为0.63215699在区间[0.6,0.75）中，所以X1=2，l（2）=0.6，u（2）=0.75，该序列的第二个元素为a2
u（3）=l（2）+（u（2）-l（2））*FX（X3）=0.6+（0.75-0.6）* FX（X3）=0.6+0.15 * FX（X3）
l（3）=l（2）+（u（2）-l（2））*FX（X3-1）=0.6+（0.75-0.6）* FX（X3-1）=0.6+0.15 * FX（X3-1）
若X3=1，FX（X3）=0.2，FX（X3-1）=0，则该标签所在区间为[0.6,0.63）；
若X3=2，FX（X3）=0.5，FX（X3-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.63,0.675）；
若X3=3，FX（X3）=1，FX（X3-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.675,0.75）；
因为0.63215699在区间[0.675,0.75）中，所以X3=2，l（3）=0.63，u（3）=0.675，该序列的第三个元素为a2
u（4）=l（3）+（u（3）-l（3））*FX（X4）=0.63+（0.675-0.63）* FX（X4）=0.63+0.045 * FX（X4）
l（4）=l（3）+（u（3）-l（3））*FX（X4-1）=0.63+（0.675-0.63）* FX（X4-1）=0.63+0.045 * FX（X4-1）
若X4=1，FX（X4）=0.2，FX（X4-1）=0，则该标签所在区间为[0.63,0.639）；
若X4=2，FX（X4）=0.5，FX（X4-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.639,0.6525）；
若X4=3，FX（X4）=1，FX（X4-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.6525,0.675）；
因为0.63215699在区间[0.63,0.639）中，所以X4=1，l（4）=0.63，u（4）=0.639，该序列的第四个元素为a1
u（5）=l（4）+（u（4）-l（4））*FX（X5）=0.63+（0.639-0.63）* FX（X5）=0.63+0.009 * FX（X5）
l（5）=l（4）+（u（4）-l（4））*FX（X5-1）=0.63+（0.639-0.63）* FX（X5-1）=0.63+0.009 * FX（X5-1）
若X5=1，FX（X5）=0.2，FX（X5-1）=0，则该标签所在区间为[0.63,0.6318）；
若X5=2，FX（X5）=0.5，FX（X5-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.6318,0.6345）；
若X5=3，FX（X5）=1，FX（X5-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.6345,0.639）；
因为0.63215699在区间[0.6318,0.6345）中，所以X5=2，l （5）=0.6318，u（5）=0.6345，该序列的第五个元素为a2
u（6）=l（5）+（u（5）-l（5））*FX（X6）=0.6318+（0.6345-0.6318）* FX（X6）=0.6318+0.0027 * FX（X6）
l（6）=l（5）+（u（5）-l（5））*FX（X6-1）=0.6318+（0.6345-0.6318）* FX（X6-1）=0.6318+0.0027 * FX（X6-1）
若X6=1，FX（X6）=0.2，FX（X6-1）=0，则该标签所在区间为[0.6318,0.63234）；
若X6=2，FX（X6）=0.5，FX（X6-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.63234,0.63315）；
若X6=3，FX（X6）=1，FX（X6-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.63315,0.6345）；
因为0.63215699在区间[0.6318,0.63234）中，所以X6=1，l （6）=0.6318，u（6）=0.63234，该序列的第六个元素为a1
u（7）=l（6）+（u（6）-l（6））*FX（X7）=0.6318+（0.63234-0.6318）* FX（X7）=0.6318+0.00054 * FX（X7）
l（7）=l（6）+（u（6）-l（6））*FX（X7-1）=0.6318+（0.63234-0.6318）* FX（X7-1）=0.6318+0.00054 * FX（X7-1）
若X7=1，FX（X7）=0.2，FX（X7-1）=0，则该标签所在区间为[0.6318,0.631908）；
若X7=2，FX（X7）=0.5，FX（X7-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.631908,0.63207）；
若X7=3，FX（X7）=1，FX（X7-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.63207,0.63234）；
因为0.63215699在区间[0.63207,0.63234）中，所以X7=3，l （7）=0.63207，u（7）=0.63234，该序列的第七个元素为a3
u（8）=l（7）+（u（7）-l（7））*FX（X8）=0.63207+（0.63234-0.63207）* FX（X8）=0.63207+0.00027 * FX（X8）
l（8）=l（7）+（u（7）-l（7））*FX（X8-1）=0.63207+（0.63234-0.63207）* FX（X8-1）=0.63207+0.00027 * FX（X8-1）
若X8=1，FX（X8）=0.2，FX（X8-1）=0，则该标签所在区间为[0.63207,0.632124）；
若X8=2，FX（X8）=0.5，FX（X8-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.632124,0.632205）；
若X8=3，FX（X8）=1，FX（X8-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.632205,0.63234）；
因为0.63215699在区间[0.632124,0.632205）中，所以X8=3，l （8）=0.632124，u（8）=0.632205，该序列的第八个元素为a3
u（9）=l（8）+（u（8）-l（8））*FX（X9）=0.632124+（0.632205-0.632124）* FX（X9）=0.632124+0.000081 * FX（X9）
l（9）=l（8）+（u（8）-l（8））*FX（X9-1）=0.632124+（0.632205-0.632124）* FX（X9-1）=0.632124+0.000081* FX（X9-1）
若X9=1，FX（X9）=0.2，FX（X9-1）=0，则该标签所在区间为[0.632124,0.6321402）；
若X9=2，FX（X9）=0.5，FX（X9-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.6321402,0.6321645）；
若X9=3，FX（X9）=1，FX（X9-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.6321645,0.632205）；
因为0.63215699在区间[0.6321402,0.6321645）中，所以X9=2，l （9）=0.6321402，u（9）=0.6321645，该序列的第九个元素为a2
u（10）=l（9）+（u（9）-l（9））*FX（X10）=0.6321402+（0.6321645-0.6321402）* FX（X10）=0.6321402+0.0000243 * FX（X10）
l（10）=l（9）+（u（9）-l（9））*FX（X10-1）=0.6321402+（0.6321645-0.6321402）* FX（X10-1）=0.6321402+0.0000243 * FX（X10-1）
若X10=1，FX（X10）=0.2，FX（X10-1）=0，则该标签所在区间为[0.6321402, 0.63214506）；
若X10=2，FX（X10）=0.5，FX（X10-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.63214506, 0.63215235）；
若X10=3，FX（X10）=1，FX（X10-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.63215235,0.6321645）；
因为0.63215699在区间[0.63215235,0.6321645）中，所以X10=3，l （10）=0.63215235，u（10）=0.6321645，该序列的第十个元素为a3
所以该序列为a3a2a2a1a2a1a3a2a2a3
