二分查找排序

　　二分查找算法，是在大学阶段学习的基础性算法。算法思想简单，但要写出一个正确的二分查找算法并不简单，从1946年提出，到1962年才完成一个正确的二分查找排序算法。二分查找排序算法的变种，也常常出现在各个IT公司的面试题中。本文总结资料尝试给出一个“正确”的二分查找算法，最后给出一个二分查找排序的变种问题。

　　1. 经典二分查找排序的算法：

int BinarySearch(int* array, int n, int x)
{
    assert((array != NULL) && (0 <= n));

    int low = 0;
    int high = n -1;

    while (low <= high)
    {
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (array[mid] == x)
        {
            return mid;
        }
        if (x > array[mid])
        {
            low = mid + 1;
        }
        else
        {
            high = mid -1;
        }
    }
    return -1;
}

　　可能需要关注细节问题：

　　1）循环条件

　　在第8行，循环的条件设置成 low <=high。如果设置成low<high，是存在问题的：当只有数组只有一个元素，并且该元素就是需要查找的元素时，算法返回错误的值-1，查找失败。

　　2）求中间元素

　　在第10行，求中间元素使用的代码：mid = low + ((high - low) >> 1)。一些书籍中给出的是：mid = (high + low) >> 1，如果high+low很大时，会造成溢出。这种情况出现的概率较小，但是为了程序适应比较恶劣条件，使用第10行代码求中间元素就显得有必要了。

（ps:上面的代码可能还存在带完善的地方，欢迎拍砖。。。）

　　2. 二分查找排序算法的变种

　　问题描述：已知一个有序的数组a[N]，循环左移k位(k<N)后得到新的数组b[N]，在这个新的数组中查找元素x。例如：数组 a[N] = {1, 3, 5, 7, 9, 10}，循环左移2位后变成数组b[N]= {5, 7, 9, 10, 1, 3}，在这个新的数组上查找某个元素x。

　　上题是我在面试中问道的问题，比较庆幸的是我在《剑指offer》一书中碰到了类似的一题，书中需要找出数组b[N]最小的最小元素，因此能比较迅速的解决了这个问题。解决问题的思路和《剑指offer》提供的思路一致。

　　解题思路：数组b[N]中存在着两个部分有序的子数组，b1：{5, 7, 9, 10}和b2:{1, 3}，其中b1中的元素均大于b2中的元素。在使用二分查找算法时，中间元素mid必定落入b1或者b2某个递增序列中，具体解决步骤如下：

　　Init:    low = 0, high = N-1, mid = b[low + (high - low) >> 1]

　　step1: 求出数组b的中间元素mid， 如果mid == x，则返回成功，否则进入步骤step2。

　　step2: if(a[low]<mid)，mid落入b1数组，此时：

　　　　　　　　 1） if (a[low]<x<mid)， x在有序区间[low, mid)，则将high = mid -1

　　　　　　　　 2） 否则，x落入区间(mid, high]，则将low = mid +1

　　　　　  else mid落入b2数组，此时：

　　　　　　　　 1）if (mid< x< b[high])，x在有序区间(mid, high]，则将low = mid + 1

　　　　　　　　 2）否则， x落入区间[low, mid)，则将hign = mid -1

　　step3: if(low <= hign) 继续步骤step1，否则返回查找失败

 具体的代码如下：

int rotate_array_search(int a[], int n, int x)
{
  int low = 0;
  int high = n-1; 
  while(low <= high) 
  {
    int mid = low + ((high - low) >> 1); 

    if(a[mid] == x)
      return mid;

    if(a[mid] >= a[low]) 
    {
      if(x < a[mid] && x >= a[low])
      {
         high = mid -1;
      }
     else 
     {
         low = mid + 1;
     }
    } 
    else 
    { 
      if(x > a[mid] && x <= a[high])
      {
          low = mid + 1;
      } 
　　　　　else 
     {
          high = mid -1;
      }
    }
  }
  return -1; // 查找失败，则返回-1
}